四川省2014年“联测促改”活动数学(理工类)

1、四川省2014年“联测促改”活动数学(理工类)一、选择题：1.集合，则 ( )A. B. C. D. 2.复数的共扼复数是 ( )A. B. C. D. 3.“”是“”成立的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件4.编号为1,2,3,4,5,6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法 ( )A.60种 B.120种 C.240种 D.480种5.已知菱形ABCD的对角线AC长为4，则 ( )A.2 B.4 C.6 D.8 6.设a,b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )A. 若a，则a B. 若ab，a

2、，则b C. 若a，b，则ab D. 若ab，a，则b7.函数的零点个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4 8.某算法程序框图如图所示，若，则输出的结果是 ( )A. B. C. D. 9.已知ABC的周长为,且.若ABC的面积为,则角C的大小为( )A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 10.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,分别过A,B作抛物线的切线,则与的交点P的轨迹方程是 ( )A. B. C. D. 二、填空题：11.二项式的展开式中的常数项是 12.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方

3、形,俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 .13.已知a,b是正数,且,则ab的最小值为 .14.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若满足的直线l共有3条,则实数 .15.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为。现有下列命题:已知P (1,3)，Q() ()，则d(P,Q)为定值；原点O到直线上任一点P的直角距离d (O, P)的最小值为;若表示P、Q两点间的距离，那么；设A(x,y)且，若点A是在过P (1,3)与Q(5,7)的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个.其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)四川省2014

4、年“联测促改”活动数学(理工类)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题（本大题 共5个小题，每小题5分，共25分）11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6位同学，这6位同学的成绩(分数)如茎叶图所示.求这6位同学成绩的平均数和标准差;从这6位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况，设为这两位同学中成绩低于平均分的人数，求的分布列和期望.17.( 12分)学校餐厅每天供应500名学

5、生用餐,每星期一有A, B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有改选B菜;而选B菜的,下星期一会有改选A菜.分别表示第个星期选A的人数和选B的人数.试用表示，判断数列是否成等比数列并说明理由;若第一个星期一选A神菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人?18. (12分)已知向量，函数.设，x为某三角形的内角，求时x的值;设，当函数取最大值时，求cos2x的值.19. (12分)已知四棱锥P-ABCD中,PB平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ABC=BCD=90°,PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一点,且PA平面QBD.确定Q的位置;求

6、二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.20.(13分)巳知椭圆的离心率是.若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程;若存在过点A(1,0)的直线，使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.21.(14分)已知函数.求函数在处的切线方程；当时，求证：；若，且对任意恒成立，求k的最大值.四川省2014年“联测促改”活动数学(理工类)一、选择题：1.集合，则 ( C )A. B. C. D. 2.复数的共扼复数是 ( B )A. B. C. D. 3.“”是“”成立的 ( D )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件4.编号为1,2,

7、3,4,5,6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法 ( C )A.60种 B.120种 C.240种 D.480种5.已知菱形ABCD的对角线AC长为4，则 ( D )A.2 B.4 C.6 D.8 6.设a,b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( B )A. 若a，则a B. 若ab，a，则b C. 若a，b，则ab D. 若ab，a，则b7.函数的零点个数为 ( B )A.1 B.2 C.3 D.4 8.某算法程序框图如图所示，若，则输出的结果是 ( D )A. B. C. D. 9.已知ABC的周长为,且.若ABC的面积为,则角C的大小为 ( B )

8、A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 10.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线,则与的交点P的轨迹方程是 ( A )A. B. C. D. 二、填空题：11.二项式的展开式中的常数项是 15 .12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 .13.已知a,b是正数，且，则ab的最小值为 9 .14.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若满足的直线l共有3条，则实数 4 .15.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距

9、离”为.现有下列命题:已知P (1,3)，Q() ()，则d(P,Q)为定值;原点O到直线上任一点P的直角距离d (O, P)的最小值为;若表示P、Q两点间的距离,那么;设A(x,y)且，若点A是在过P (1,3)与Q(5,7)的直线上,且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8,那么满足条件的点A只有5个.其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)三、解答题：16.(12分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6位同学，这6位同学的成绩(分数)如茎叶图所示.求这6位同学成绩的平均数和标准差;从这6位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况，设为这两位同学中成绩低于平均分的

10、人数，求的分布列和期望.解:这6位同学的成绩平均效为,又故这6位问学成绩的标准差为s=7(6分);随机变量可能的取值为0,1,2,则012P故的分布列为即的数学期望12分17.( 12分)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A, B两种菜可供选择。调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有改选B菜;而选B菜的，下星期一会有改选A菜。用分别表示第个星期选A的人数和选B的人数.试用表示，判断数列是否成等比数列并说明理由;若第一个星期一选A神菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人?解:由题知,对有,所以当且时,当时,不是等比数列；当时，是以 为首项，为公比的等比数列 (

11、7分);当时,第10个星期一选A种菜的大约有300人(12分).18. (12分)已知向量,函数.设，x为某三角形的内角，求时x的值;设,当函数取最大值时，求cos2x的值.解:由题可知,当时,为三角形的内角,(5分);当时,其中为锐角,且当且仅当时,函数.此时则.12分19. (12分)已知四棱锥P-ABCD中,PB平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ABC=BCD=90°,PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一点，且PA平面QBD.确定Q的位置;求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.解:当时，PA平面QBD，证明如下:连结AC交BD于点M，2CD=AB,CDAB,AM=2MC,

12、过PA的平面PAC平面QBD=MQ,PA平面QBD,APMQ,PQ=2QC(4分);设BC=1，如图，以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O- xyz(其中点B与点O重合)，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).PQ=2QC，设平而QBD的一个法向量为,则取.又平面CBD的一个法向量为,设二面角Q-BD-C的平面角为，又为锐角二面角Q-BD-C的平面角的余弦值(12分).20.(13分)巳知椭圆的离心率是.若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程;若存在过点A(1,0)的直线，使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.解:,点P(2,1)在椭圆上,(5分);依题意,直线l的斜率存在且不为0,则直线l的方程为：.设点C(2, 0)关于直线l的对称点为,则,若点在椭圆上,则,设,因此原问题转化为关于t的方程有正根.当时,