导数与函数解答题专题练习作业1含答案

1、导数与函数专练·作业(三十三)1(2014·郑州质量预测)(本小题满分14分)已知函数f(x)xex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当0<x<1时，f(x)>f()，求实数k的取值范围解析(1)由题知f(x)(1x)ex(xR)，当f(x)>0时，x<1，当f(x)<0时，x>1，(3分)所以函数f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)，其极大值为f(1)，无极小值(5分)(2)由题知0<x<1，当k0时，因为0<x<1，由(1)知函数f(x)在(，1)上单调递增，所以f(x)&

2、gt;f()，符合题意；(7分)当0<k<1时，取xk，可得f(k)>f(1)，这与函数在(，1)上单调递增不符；(9分)当k1时，因为>1，由(1)知函数f(x)在(1，)上单调递减，所以f()f()，即只需证f(x)>f()，即证xex>e.即lnxx>lnx，2lnxx>0，令h(x)2lnxx(0<x<1)，则h(x)<0对0<x<1恒成立，所以h(x)为(0,1)上的减函数，所以h(x)>h(1)0.所以f(x)>f()，符合题意(13分)综上：k(，01，)为所求(14分)2(2014

3、3;南通调研)(本小题满分16分)已知函数f(x)(xa)2ex在x2处取得极小值(1)求实数a的值；(2)是否存在区间m，n，使得f(x)在该区间上的值域为e4m，e4n？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由解析(1)f(x)ex(xa)(xa2)，由题意知f(2)0，解得a2或a4.(2分)当a2时，f(x)exx(x2)，易知f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，符合题意；当a4时，f(x)ex(x2)(x4)，易知f(x)在(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，不符合题意所以满足条件的a2.(5分)(2)因为f(x)0，所以m0.(7分)若m0，因为f(

4、0)4<e4n，则n>2，所以(n2)2ene4n.(9分)设g(x)ex(x>2)，则g(x)ex>0，所以g(x)在(2，)上为增函数由于g(4)e4，即方程(n2)2ene4n有唯一的解为n4.(11分)若m>0，则2m，n，即n>m>2或0<m<n<2.当n>m>2时，由可知不存在满足条件的m，n.(13分)当0<m<n<2时，两式相除，得m(m2)2emn(n2)2en.设h(x)x(x2)2ex(0<x<2)则h(x)(x3x24x4)ex(x2)(x1)(x2)ex.h(x)在(

5、0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，由h(m)h(n)，得0<m<1,1<n<2.此时(m2)2em<4<e4n，与(m2)2eme4n矛盾综上所述，满足条件的m，n的值只有一组，即m0，n4.(16分)3(2014·湖南郴州二模)(本小题满分14分)设函数f(x)x2aln(x1)有两个极值点x1，x2，且x1<x2.(1)求实数a的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对任意的x(x1，)，都有f(x)>m成立，求实数m的取值范围解析(1)由f(x)x2aln(x1)，得f(x)2x(x>1)令g(x)2x

6、22xa(x>1)，则其对称轴为x，故由题意可知x1，x2是方程g(x)0的两个均大于1的不相等的实数根，其充要条件为解得0<a<.(5分)(2)由(1)可知f(x)，其中1<x1<x2，故当x(1，x1)时，f(x)>0，即f(x)在区间(1，x1)上单调递增；当x(x1，x2)时，f(x)<0，即f(x)在区间(x1，x2)上单调递减；当x(x2，)时，f(x)>0，即f(x)在区间(x2，)上单调递增(9分)(3)由(2)可知f(x)在区间(x1，)上的最小值为f(x2)又由于g(0)a>0，因此<x2<0.又由g(x2)

7、2x2x2a0可得a(2x2x2)，从而f(x2)xaln(x21)x(2x2x2)ln(x21)设h(x)x2(2x22x)ln(x1)，其中<x<0，则h(x)2x2(2x1)ln(x1)2x2(2x1)ln(x1)由<x<0，知2x1>0，ln(x1)<0.故h(x)>0，故h(x)在(，0)上单调递增所以f(x2)h(x2)>h().故实数m的取值范围为m.(14分)4(2014·湖南)(本小题满分13分)已知函数f(x)xcosxsinx1(x>0)(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN

8、*)个零点，证明：对一切nN*，有<.思路(1)根据导数运算法则求出函数导数，根据导数的符号判断其单调性及相应单调区间；(2)根据函数零点的定义及判断方法确定出函数零点的范围解析(1)f(x)cosxxsinxcosxxsinx.令f(x)0，得xk(kN*)当x(2k，(2k1)(kN)时，sinx>0，此时f(x)<0；当x(2k1)，(2k2) (kN)时，sinx<0，此时f(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(5分)(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减，又f0，故x1.当nN*时，因为f(n)f(n1)(1)nn1(1)n1(n1)1<0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一