大学数学微分

1、微分 微分的定义和几何意义微分的定义和几何意义微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则问题的提出问题的提出一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由由 变到变到 （如图），问此薄片的面积（如图），问此薄片的面积改变了多少？改变了多少？0 xxx 020 xa 0 x0 xx x 2)( x xx 0 xx 0,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xa 正正方方形形面面积积2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷

2、小xx :)1(:)2(一般地一般地,如果函数如果函数y=f(x)满足一定条件满足一定条件,则函数的增量则函数的增量 可表示可表示为为y )( xoxay 其中其中a是不依赖于是不依赖于 的常数的常数,因此因此 是是 的线性函数的线性函数,且它与且它与 之差之差x xa x y )( xoxay 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,所以所以,当当 ,且且 很小时很小时,我们就可我们就可以近似地用以近似地用 来代替来代替x 0 ax y xa 微分的概念微分的概念0000000( ) ()()(),()( ),.fxxxxxxyfxxfxa xoxoxxfxxdydya xxaxa x 设函数在

3、点的邻域内有定义，给以的增量（仍在该邻域内），若函数增量可表示是不依赖于的常数为其中，是比高阶的无穷小，则称为函数在点处的，记做即此时，微分也称函数在点可微。例例1 求求 在点在点 处的微分。处的微分。2yx2x 解解 因为函数增量为因为函数增量为222224yxxx 而而20lim0 xxx 所以所以224xd xx ;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量 xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydya dyy xaxo )(1).0(1 x).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx

4、;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxa 由定义知由定义知: :可微与可导的关系可微与可导的关系可微可微 可导可导证明证明 如果函数如果函数 在在 点可微点可微( )f x0 x则函数增量可表示为则函数增量可表示为ya xox 所以所以0()fxa反过来，如果函数反过来，如果函数 在在 点可导点可导( )f x0 x则则00lim()xyfxx 所以所以 0oxyaaxxx 则有则有00() lim0 xyfxx 所以所以0()yf xxx 所以，函数所以，函数 在在 点可微点可微( )f x0 x结论：结论：可导可导 可微，可微，且且 0()dyfxx一般形

5、式一般形式dxx ( )dyfx dx例例2 2处的微分处的微分和和在在求函数求函数312 xxxy解解处的微分处的微分在在函数函数12 xxy21()xdyxx处的微分处的微分在在3 x23()xdyxx.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数例例3 3.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxy解解xxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 2; x 6 x 微分的几何意义微分的几何意义mnxyo0 x( )yf xq0()f x0()f x

6、x0 xxxypdy0tan()qpmqx fxdy ( )yyf xdy 当是曲线上的点的纵坐标的增量时,就是曲线的切线上点的纵坐标 的相应增量。以直代曲以直代曲,.xmmpmn当很小时 在点 的附近 切线段可近似代替曲线段函数的微分的求法函数的微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .基本微分公式基本微分公式与基本导数公式一一对应与基本导数公式一一对应1( )0()()ln()xxxxd cd xxdxd aaadxd ee dx1(log)ln1(ln )adxdxxadxdxx(sin )cos(cos )sin

7、dxxdxdxxdx22221(arcsin)11(arccos)11(arctan)11(cot)1dxdxxdxdxxdxdxxd arcxdxx22(tan )sec(cot )csc(sec )sectan(csc )csc cotdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdx 2()()()( )(0)uvuvcucuuvu vuvuu vuvvvv2()()()( )(0)d uvdudvd cucdud uvvduudvuvduudvdvvv微分的四则运算法则微分的四则运算法则导数运算导数运算微分运算微分运算复合函数的微分法则复合函数的微分法则( )( ) ( )( )( )xyf

8、 uug xyf g xdyy dxfu g x dx 设及都可导, 则复合函数的微分为( )gx dxdu因为，所以( )dyf u dusin(21),yxdy求21ux( )dyf u ducosuducos(21(21xdx）cos(21 2xdx）2cos(21)xdx例例4解解221(1)1xxdydee2ln(1),xyedy求例例5解解2221()1xxe d xe2221xxxedxe1 3cos ,xyexdy求1 3(cos )xdyd ex1 31 3cos()(cos )xxxd eedx1 31 3(cos )(1 3 )( sin)xxx edxexdx()d uvvduudv例例6解解1 33cossinxexx dx 在括号中填入适当的函数，使等式成立在括号中填入适当的函数，使等式成立xxd) (d )1( ttdcos) (d )2( 解解 (1)我们知道我们知道xdxxd2)(2 可见可见21()2xdxd x即即xdxxd )2(2一般地一般地,有有xdxcxd )2(2(c为任意常数为任意常数)2()2xd(2),co