函数与导数专题

1、函数与导数专题1. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1) 曲线yf x在 xx0 处的切线的斜率等于f x0 ，切线方程为yf x0 xx0 f x0 (2) 如可导函数yf x 在xx0处取得极值，就f x0 0 ；反之，不成立；(3) 对于可导函数f x ，不等式f x0（0）的解集打算函数f x 的递增（减）区间；(4) 函数f x 在区间 i 上递增（减）的充要条件是：xif x0 0 恒成立(5) 函数f x 在区间 i上不单调等价于f x 在区间 i上有极值，就可等价转化为方程f x0 在区间 i 上有实根且为非二重根；（如 f x 为二次函数且 i=r，就有0 ）；(6)

2、fx 在区间 i上无极值等价于f x 在区间在上是单调函数，进而得到fx0 或fx0 在 i上恒成立(7) 如xi ，f x0 恒成立，就f x min0;如xi ，f x0 恒成立，就f xmax0(8) 如x0i ，使得f x0 0 ，就f x max0 ；如x0i ，使得f x0 0 ，就f xmin0 .(9) 设f x 与g x 的定义域的交集为d 如xdf xg x 恒成立就有f xg xmin0(10) 如对x1i1 、 x2i 2，f x1 g x2 恒成立，就f x ming xmax .如对x1i1 ，x2i 2 ，使得f x1 g x2 ,就f x ming xmin .

3、如对x1i1 ，x2i 2 ，使得f x1 g x2 ，就f xmaxg x max .（ 11 ）已知f x 在区间i1 上的值域为 a,， g x在区间i 2 上值域为 b，如对x1i 1 ,x2i 2 ，使得f x1 = g x2 成立，就 ab ；(12) 如三次函数 fx 有三个零点， 就方程f x0 有两个不等实根x1 、x2 ，且极大值大于 0，微小值小于0.x(13) 证题中常用的不等式 : ln xx1 x0 ln（ x+1）x x1 e1x ex1x ln xx1 ln x11x12 x1 x0x 222 x 2考点一：导数几何意义：角度一求切线方程12021 ·

4、洛阳统考 已知函数 fx3xcos 2xsin2x， a f的导函数，就过曲线yx3 上一点 pa， b的切线方程为 a 3x y 20b 4x 3y 1 0 c 3x y20 或 3x4y10d 3x y 20 或 4x3y1 04 ，fx 是 fx解析： 选 a由 fx 3x cos 2xsin 2x 得 fx3 2sin 2x 2cos 2x，就 a32342f3 2sin 2cos2 1.由 y x得 y 3x，过曲线 y x上一点 pa，b的切线的斜率 k3a2 3×12 3.又 ba3，就 b1，所以切点 p 的坐标为 1,1，故过曲线 y x3 上的点 p 的切线方程为

5、y13x 1，即 3x y 20.角度二求切点坐标22021 ·辽宁五校其次次联考 曲线 y 3lnx x 2 在点 p0 处的切线方程为4x y 10，就点 p0 的坐标是 a 0,1b1， 1c 1,3d1,0解析： 选 c由题意知 y31 4，解得 x 1，此时 4× 1 y1 0，解得 y x 3，点 p0 的坐标是 1,3角度三求参数的值13已知 fxln x，gx2x2 mx 7 m<0，直线 l 与函数 fx，gx的图像都相2切，且与 fx图像的切点为 1， f1，就 m 等于a 1b 3c 4d 2，解析： 选 d f x1x直线 l 的斜率为 k f

6、 1 1，又 f1 0，切线 l 的方程为 y x 1.gx x m，设直线 l 与 gx的图像的切点为 x0， y0，就有 x m 1，y x 1， y 12 mx7m<0，000002x0 ，2于是解得 m 2，应选 d.考点二：判定函数单调性，求函数的单调区间；典例 1已知函数 fx x2ex 试判定 fx的单调性并赐予证明 解 ： fx x2 ex，fx 在 r 上 单 调 递 减 ， fx2xex，只要证明 fx 0 恒成立刻可设 gxf x2xex，就 g x2 ex， 当 xln 2 时， gx 0，当 x ，ln 2时， g x>0， 当 xln 2， 时， g x

7、<0. f xmax gxmaxgln 2 2ln 2 2<0， f x<0 恒成立， fx在 r 上单调递减典例 22021 北·京高考改编 已知函数 fx ax21a0， gx x3bx.1如曲线 yfx与曲线 ygx在它们的交点 1，c处具有公共切线，求a，b 的值；2当 a2 4b 时，求函数 fxgx的单调区间解1f x2ax， gx3x2 b，由已知可得f 1 a 1c，g 1 1bc， 2a 3b，解得 ab3.a2a22令 fx fx gx x3ax2 4 x1， fx3x2 2ax 4 ，令 f x 0，aa得 x1 2， x2 6， a>0

8、， x1<x2，aa由 f x>0 得， x<2或 x>6；由 f x<0 得， a<x< a26.aaaa.单调递增区间是 ， 2 ， 针对训练 ， ；单调递减区间为 ，6262021 ·重庆高考 设 fxax 52 6ln x，其中 ar，曲线 yfx在点1，f1处的切线与 y 轴相交于点 0,61确定 a 的值；2求函数 fx的单调区间与极值.解： 1由于 fxax 52 6ln x，故 fx 2ax 5 6x令 x 1，得 f1 16a， f1 6 8a，所以曲线yfx在点1，f1处的切线 方程为 y16a6 8a ·x1，

9、由点 0,6在切线上可得 6 16a 8a 6，.故 a1212由1知， fx 2x52 6ln xx>0，fxx 5 6 x 2x 3 .xx令 f x0，解得 x1 2， x2 3.当 0<x<2 或 x>3 时， fx>0，故 fx在0,2，3， 上为增函数；当2<x<3时， fx<0，故 fx在2,3上为减函数由此可知 fx在 x 2 处取得极大值 f2 6ln 3.考点三：已知函数的单调性求参数的范畴9 6ln 2，在 x 3 处取得微小值 f32 2典例 2021 山·西诊断 已知函数 fxln xa2x2axa r1当 a

10、1 时，求函数 fx的单调区间；2如函数 fx在区间 1， 上是减函数，求实数a 的取值范畴解1当 a1 时， fx ln x x2x，其定义域是 0， ，xfx1 2x 12x2 x1x，2x2x11令 f x0，即 x>0， x1.x 0，解得 x 2或 x 1.当 0<x<1 时， fx>0；当 x>1 时， f x<0.函数 fx在区间 0,1上单调递增，在区间 1， 上单调递减2明显函数 fxln x a2x2 ax 的定义域为 0， ， f x 12a2xax2a2x2 ax 1x 2ax 1ax 1x.1当 a 0 时， fxx>0， f

11、x在区间 1， 上为增函数，不合题意，当 a>0 时， fx 0x>0等价于 2ax 1·ax 1 0x>0，即 x1a1此时 fx的单调递减区间为a， .1由a 1，a>0，得 a 1.12当 a<0 时， f x 0x>0等价于 2ax 1· ax10x>0，即 x ，此a1时 fx的单调递减区间为2a， . 1由2a1，1得 a2.a<0，综上，实数 a 的取值范畴是 ， 12 1， 针对训练 12021 ·荆州质检 设函数 fx 3x3ax2 bx c，曲线 y fx在点0，f0处的切2线方程为 y 1.1求

12、 b，c 的值；2如 a>0，求函数 fx的单调区间；3设函数 gx fx 2x，且 gx在区间 2， 1内存在单调递减区间， 求实数a 的取值范畴解： 1f xx2 ax b，由题意得f 0 1， f 0 0，c 1，即b 0.2由1得， fxx2axxx aa>0， 当 x ，0时， f x>0，当 x0，a时， fx<0， 当 xa， 时， f x>0.所以函数 fx的单调递增区间为 ，0， a， ，单调递减区间为 0，a 3gxx2ax2，依题意，存在x 2， 1，使不等式 gx x2ax2<0 成立，2即 x2， 1时， a< x x max

13、 22，2当且仅当 “ x x”即 x2时等号成立，所以满意要求的a 的取值范畴是 ， 22 考点四：用导数解决函数的极值问题典例 2021数a福·建高考节选 已知函数fx x1exar， e 为自然对数的底1如曲线 yfx在点1，f1处的切线平行于x 轴，求 a 的值；2求函数 fx的极值解1由 fx x 1 a ，得 fx 1 a .exex又曲线 yfx在点 1，f1处的切线平行于x 轴，a得 f 10，即 1x2f x1 a ，e0，解得 ae. e当 a 0 时， fx>0， fx为 ， 上的增函数，所以函数fx无极值当 a>0 时，令 fx 0，得 exa，即

14、 x ln a. x ，ln a， f x<0； x ln a， ，fx>0，所以 fx在 ，ln a上单调递减，在 ln a， 上单调递增， 故 fx在 xln a 处取得微小值，且微小值为 fln aln a，无极大值 综上，当 a 0 时，函数 fx无极值；当 a>0 时， fx在 xln a 处取得微小值 ln a，无极大值 针对训练 设 fx2x3ax2bx 1 的导数为 fx，如函数 y f x的图像关于直线x1 2对称，且 f 10.1求实数 a，b 的值；2求函数 fx的极值解： 1由于 fx2x3 ax2 bx 1， 故 f x6x2 2axb，aa2从而

15、f x 6 x 6 2 b 6 ，即 yfx关于直线 xa对称6，即从而由题设条件知 a 162a3.又由于 f10，即 6 2a b0， 得 b 12.2由1知 fx 2x33x2 12x1，所以 f x 6x26x126x 1x 2， 令 f x0，即 6x 1x 20， 解得 x 2 或 x 1，当 x ， 2时， fx>0， 即 fx在 ， 2上单调递增； 当 x2,1时， f x<0，即 fx在 2,1上单调递减； 当 x1， 时， f x>0， 即 fx在1， 上单调递增从而函数 fx在 x 2 处取得极大值 f 221， 在 x1 处取得微小值 f1 6.考点五

16、运用导数解决函数的最值问题典例 已知函数 fx ln x axa r1求函数 fx的单调区间；2当 a>0 时，求函数 fx在1,2上的最小值1解1f x xax>0，当 a 0 时， fx1xa>0，即函数 fx的单调增区间为 0， 11当 a>0 时，令 fx x a0，可得 xa，当 0<x<1时， f x a1 axx>0；时，当 x>1fx a1 axx<0，1故函数 fx的单调递增区间为0，a ，1单调递减区间为a， .2当 ln 22a.111，即 a1 时，函数 fx在区间 1,2 上是减函数， fx的最小值是 f2 a1当

17、a 2，即 0<a a.时，函数 fx在区间 1,2 上是增函数， fx的最小值是 f1 2当11111<<2，即 <a<1 时，函数 fx在 1，a 上是增函数， 在，2 上是减函数 又a2a1f2 f1 ln 2a，当 2<a<ln 2 时，最小值是 f1 a；当 ln 2 a<1 时，最小值为 f2 ln 2 2a.综上可知，当 0<a<ln 2 时，函数 fx的最小值是 a； 当 aln 2 时，函数 f x的最小值是 ln 2 2a.针对训练 2相切，设函数 fx aln xbx2x>0，如函数 fx在 x1 处与直线

18、 y 11求实数 a，b 的值；12求函数 fx在，e 上的最大值e解： 1f xa2bx， x1函数 fx在 x1 处与直线 y 2相切，f 1 a2b 0，1f 1 b 2，1a 1，解得1b2.11 x22fx ln x2x2， f x xxx，当1 x e 时，令 f x>0 得1x<1；ee令 f x<0，得 1<xe，fx在 1， 1 上单调递增， 在1 ，e上单调递减， fxemax f1 1.2考点六：用导数解决函数极值、最值问题典例 2021 北·京丰台高三期末 已知函数fxax2 bx cexa>0的导函数yfx的两个零点为 3 和

19、0.1求 fx的单调区间；2如 fx的微小值为 e3，求 fx在区间 5， 上的最大值 2axb ex ax2bxc ex解1f xax2 2ab x b cex 2ex，令 gx ax22a bxbc，由于 ex>0，所以 y f x的零点就是gx ax2 2abx b c 的零点，且fx与 gx符号相同又由于 a>0，所以 3<x<0 时， gx>0，即 f x>0，当 x<3 或 x>0 时，gx<0，即 fx<0，所以 fx的单调增区间是 3,0，单调减区间是 ， 3， 0， 2由1知， x 3 是 fx的微小值点，所以有9a

20、 3b c3e 3 e ，g 0 b c0，g 3 9a 3 2a b bc0， 解得 a 1， b5， c 5，x2 5x 5所以 fxex.由于 fx的单调增区间是 3,0，单调减区间是 ， 3， 0， ， 所以 f05 为函数 fx的极大值，故 fx在区间 5， 上的最大值取 f 5和 f0中的最大者而 f 5 5 5e5>5 f0，所以函数 fx在区间 5， 上的最大值是 5e5.e 5针对训练 已知函数 fxx3ax2 bx c，曲线 y fx在点 x1 处的切线为 l： 3x y1 2 0，如 x 3时， yfx有极值1求 a，b，c 的值；2求 yfx在 3,1上的最大值和

21、最小值解： 1由 fx x3ax2 bx c，得 f x 3x22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab 0，时，当 x23y fx有极值，就 f 23 0，可得 4a 3b 4 0，由，解得a 2，b 4.由于切点的横坐标为1，所以 f14.所以 1 a bc 4.所以 c 5.2由1，可得 fx x32x2 4x 5，f x3x2 4x 4.令 f x 0，解之，得x 2， x 2123.当 x 变化时， fx，fx的取值及变化情形如下表所示：x33， 2 2 2， 2233211，3f x00fx81395427.所以 y fx在3,1 上的最大值为 13，最小值为

22、9527考点七：利用导数讨论恒成立问题及参数求解典例2021 全·国卷 设函数 fx x2axb，gx excxd如曲线 y fx和曲线 ygx都过点 p0，2，且在点 p 处有相同的切线y 4x2.1求 a，b，c， d 的值；2如 x 2 时， fxkgx，求 k 的取值范畴解1由已知得 f02， g02， f0 4， g04.而 f x2xa， g xexcx d c，故 b 2，d2， a 4，dc 4.从而 a 4， b2， c 2，d 2.2由1知， fx x2 4x 2， gx 2exx 1 设函数 fxkgx fx 2kexx 1 x24x2， 就 f x 2kexx

23、2 2x 42x 2kex 1 由题设可得 f00，即 k 1.令 f x 0 得 x1 ln k， x2 2.如 1 ke2，就 2x1 0.从而当 x2， x1时， f x 0；当 x x1， 时， fx 0，即 fx在2， x1上单调递减，在 x1， 上单调递增，故1fx在 2， 上的最小值为 fx1而 fx1 2x12 x24x1 2 x1x1 2 0.故当 x 2 时， fx 0，即 fx kgx恒成立如 k e2，就 fx2e2x 2exe 2从而当 x 2 时， f x 0，即fx在2， 上单调递增，而 f 2 0，故当 x 2 时， fx 0，即 fx kgx恒成立 2 22如

24、 ke2，就 f 2 2ke2 2e·k e 0.从而当 x 2时，fxkgx不行能恒成立综上， k 的取值范畴是 1， e2 针对训练 设函数 fx 1 2ex xex.2x1求 fx的单调区间；2如当 x 2,2时，不等式 fx>m 恒成立，求实数m 的取值范畴解： 1函数 fx的定义域为 ， ， f x xex ex xex x1ex， 如 x0，就 f x 0；如 x<0，就 1ex>0，所以 f x<0； 如 x>0，就 1ex<0，所以 f x<0. fx在 ， 上为减函数， 即 fx的单调减区间为 ， 2由1知， fx在 2,2

25、上单调递减 故fxmin f2 2 e2， m<2 e2 时，不等式 fx>m 恒成立 故 m 的取值范畴为 ， 2 e2 考点八、 利用导数证明不等式问题典例 2021 河·南省三市调研 已知函数 fxaxexa>01如 a1，求函数 fx的单调区间；22当 1a1 e 时，求证： fxx.解1当 a1fx 1 ex.2时，2xfx1 ex，令 fx0，得 x ln 2.2当 x<ln 2 时， f x>0；当 x>ln 2 时， f x<0，函数 fx的单调递增区间为 ， ln 2，单调递减区间为 ln 2， 2证明： 法一：令 fxxfxex a1x，当 a 1 时， fxex>0， fxx 成立当 1<a 1 e 时， fx exa1 ex elna 1，当 x<ln a1时， f x<0； 当 x>lna 1时， fx>0， fx在 ， ln a1上单调递减，在 lna1， 上单调递增 fx fln a1 eln a 1 a 1 ·lna 1a11 lna1， 1<a 1 e， a 1>0,1 ln a1 1ln1 e10， fx 0，即 fx x 成立综上，当 1 a1 e 时，有 fxx.法二：令 ga x fx xaxex，只要证