函数的单调性与导数教案

1、§ 1.3.1函数的单调性与导数【教学目标】1正确懂得利用导数判定函数的单调性的原理；2把握利用导数判定函数单调性的方法；【教学重点 】 利用导数判定函数单调性；【教学难点】利用导数判定函数单调性；【内容分析 】以前，我们用定义来判定函数的单调性对于任意的两个数x1， x2 i ，且当x1 x2时，都有 f x1 f x2 ，那么函数f x 就是区间i 上的增函数对于任意的两个数x1，x2i ，且当 x1 x2 时，都有f x1 f x2 ，那么函数f x 就是区间i 上的减函数；在函数 y=fx比较复杂的情形下，比较 fx 1 与 fx 2 的大小并不很简洁假如利用导数来判定函数的

2、单调性就比较简洁；【教学过程】一、复习引入1 常见函数的导数公式：c'0 ； xn 'nx n1 ； sinx'cos x；cos x'sin x 2法就 1 u xv x 'u ' xv' x 法就 2 u xv xu 'xv xu xv 'x ,cu xcu 'x 法就 3'uu ' vuv 'vvv20 3复合函数的导数：设函数u= x 在点 x 处有导数u x= x ，函数 y=f u 在点 x的对应点 u 处有导数 y u=f u ，就复合函数y=f x 在点 x 处也有导数， 且

3、或 f x x= f u x a4复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代y'xy' uu' x5对数函数的导数：lnx'1xlog ax'1 loge x6指数函数的导数：ex 'e x ；a x 'a x ln a 二、讲解新课1 函数的导数与函数的单调性的关系：我 们 已 经 知 道 ， 曲 线y=fx的 切 线 的 斜 率 就 是 函 数y=fx的 导 数 从 函 数yx 24x3 的图像可以看到：y=f x= x2 4x+3切线的斜率f xyf x=x2-4 x +32 ， +增函数正0 ， 2减函数负0（ 2，）内，切线的斜

4、率为正，函数y=fx在区间的bo123xa值随着 x 的增大而增大， 即y / >0 时，函数 y=fx在区间（ 2，）内为增函数； 在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数 y=fx的值随着x 的增大而减小， 即 y /区间（， 2）内为减函数0 时，函数 y=fx在定义：一般地，设函数y=fx在某个区间内有导数，假如在这个区间内y / >0，那么函数 y=fx在为这个区间内的增函数；假如在这个区间内间内的减函数2用导数求函数单调区间的步骤：求函数f x 的导数 f x y / <0，那么函数 y=fx在为这个区令 f x 0 解不等式，得x 的范畴就是递增区间；令 f x

5、0 解不等式，得x 的范畴，就是递减区间；三、讲解范例2例 1 确定函数 f x= x 2x+4在哪个区间内是增哪个区间内是减函数；2解： f x= x 2x+4 =2x 2 令 2x 2 0，解得 x 1当 x1 ， + 时， f x 0， f x 是增函令 2x 2 0，解得 x 1当 x ， 1 时，f x 0，f x 是减函例 2 确定函数 f x=2 x3 6x2+7 在哪个区间内是数，哪个区间内是减函数y2f x =x2 -2 x +4o1xy函数，数数 增函322解： f x=2 x 6x +7 =6x 12x令 6x2 12x 0，解得 x 2 或 x 0f x =2 x3 -

6、6 x2 +7当 x ， 0 时，f x 0，f x 是增函数当 x 2 ，+ 时，f x 0，f x 是增函数2令 6x 12x 0，解得 0 x 2当 x 0 ，2 时，f x 0，f x 是减函数例 3 证明函数f x=1在 0 ，+ 上是减函数xo12x证法一：（用以前学的方法证）证法二：（用导数方法证）12121f x= = 1 · xx=， x0， x 0，x2 0f x 0，x2f x=1在0 ， + 上是减函数；x2点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些假如是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性；例 4 求函数 y=x21 x

7、 3 的单调区间23322解： y =x 1 x =2x1 x +x · 31 x · 1=x1 x 2 21 x 3x =x1 x 2· 2 5x2令 x1 x2 5x 0，解得 0x2 y=x 1 x2523的单调增区间是0 ，5令 x1 x22 5x 0，解得 x0 或 x2 且 x 15 x1 为拐点， y=x21 x 3y的单调减区间是 ， 0 ，2， + 5f x= x21-x 3o21x52例 5 当 x 0 时，证明不等式：1+2x e x2x0分析：假设令f x= e 1 2x f 0= e 1 0=0,假如能够证明f x 在0 ，+ 上是增函数

8、，那么f x 0，就不等式就可以证明；证明：令f x= e2x 1 2x f x=2 e2x 2=2 e2x 12 x02xx 0， e e =1， 2 e1 0,即 f x 0f x= e2x 12x 在0 ，+ 上是增函数；02xf 0= e 10=0当 x 0 时， f x f 0=0 ，即 e2x1+2x e 12x 0点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特别点找出来使函数的值为0；1例 6 已知函数y=x+x，试争论出此函数的单调区间；解： y = x+ 1 x2y1f x = x+x2 2x1 x1 x1-1o 1x=1 1·x=2-2x2x x

9、1 x令x21 0解得 x 1 或 x 11y=x+x的单调增区间是 ， 1 和1 ， + x1 x令x21 0，解得 1 x 0 或 0 x 1y=x+ 1x的单调减区间是 1， 0 和 0 ， 1 四、课堂练习1确定以下函数的单调区间1 y=x3 9x2+24x 2y=x x33221 解： y= x 9x +24x =3x 18x+24=3 x 2 x 4令 3 x 2 x 4 0，解得 x4 或 x232y=x 9x +24x 的单调增区间是4 ，+ 和 ， 232令 3 x 2 x 4 0，解得 2x 4 y=x 9x +24x 的单调减区间是2 ， 432 解： y= x x =1

10、221x 3 x = 3 x+33 x3=333令 3 x+3 x33 0，解得333 x33y=x x3的单调增区间是 3 ，3 33令 3 x+3 x33 0，解得 x33 或 x3 33y=x x3的单调减区间是 ，3 和33 ，+ 32争论二次函数y=ax2 +bx+c a0 的单调区间2b解： y = ax+bx+c =2ax+b,令 2ax+b 0，解得 x2ay=ax2+bx+c a 0 的单调增区间是 b， + 2ab令 2ax+b 0，解得 x2ay=ax2+bx+c a 0 的单调减区间是 ，b 2ax23求以下函数的单调区间1 y=xx(2) y=x29(3) y=x +xx21 解： y=xxx22 =x2x2当 x 0 时，2 0， y 0x2y=x2的单调减区间是 ， 0 与0 ， + xx2 解： y= x 29x29 x 2x2x9 2x2 x299 2x2 x299 2当 x± 3 时，x2 x2992 0， y 0xy=x2的单调减区间是 ， 3 ， 3， 3 与 3