多项式最大公因式性质定理及求解方法

1、多项式最大公因式性质定理及求解方法作者：xxx 指导教师：xxx摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究本文所考虑的多项式均为数域上的一元多项式环

2、内的多项式§1最大公因式的定义及性质首先我们给出最大公因式的定义：定义1：设是多项式与的一个公因式，若是能被与的每一个公因式整除，那么叫做与的一个最大公因式以表示与在中最高项系数为1的最大公因式 例1如果，那么是和的最大公因式证明：按定义1有是与的一个公因式， 设是和的任一公因式，则有： ， 所以按定义，有是与的最大公因式为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：引理1：如果多项式是多项式和的公因式，和是上的两个任意多项式，那么一定是多项式的因式证明：因为是的因式，所以 可设 ， ，其中，又因为 所以 是的因式注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式例2：求和的

3、最大公因式解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是： 的因式，又因为 ，可知所求的最大公因式就是定理1:设，其中，则有 注：定理1的结论可以形象的叙述为：.证明：设是和的最大公因式，那么根据引理得：也是的因式，从而是和的公因式；其次，设是和的任一公因式，那么由引理得：是的因式，所以是的因式.因此, 是和的公因式,从而可知能够整除；所以是和的最大公因式根据引理和定理不难得到：定理：如果和不全是零多项式，那么和一定有最大公因式，并且和的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的具体证明过程可参阅1 、2两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：定理：若是的多项式和的公因式，

4、则以下命题等价：（i）为和的一个最大公因式；（ii）在里存在多项式与使.证明：由(i)推(ii):若，那么，这时中任何两个多项式都可以取作与若与不都等于零，不妨假定，用辗转相除法来求（，）.用去除应用带余除法，得商式及余式如果0，那么再以除，得商式及余式如果0，再以除，得商式及余式如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式，使得，于是我们得到一串等式：， (1) ， ， 则 就是与的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得，令 ，那么上面的等式可以写成 : （3）由（1）的倒数第三个等式，得把的这个表达式带入(3)中，并令 ，所

5、以有 如此继续利用（1）中的等式，最后可得到但与的最大公因式等于中不为零的数与的积：，因此 取，即得所证由(ii)推(i):设是与的任一公因式，则，由引理1得h(x)是的因式，即又因为是与的公因式，所以是与的一个最大公因式若，则称多项式与互素与定理3类似的还有下面一条重要的定理：定理4 ：在中，设，且与不全为零，则是与的最大公因式证明：充分性：如果，则由多项式互素的判定定理有，存在，使，则 等式两边同时乘以，得,由命题条件，知是与的公因式，结合上式同时有，所以，由定理3得是与的一个最大公因式必要性：若是与的一个最大公因式，则由定理3得，存在，使因为 ，所以代进上式变为，又因为，不全为零，所以，

6、可用除等式两边，得，所以 1是与的公因式，由得,已知，则，,一般地有：定理5 ：令与是的多项式，而、是中的数，并且，则是与的最大公因式也是与的最大公因式证明：设是与的最大公因式，并令.命 ，现只需证明即可由 引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式， 所以 是F(x)与G(x)的公因式设 是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明如下：因为 ，且,所以 从F(x)与G(x)的表达式中可得：，又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以，,从而即证明了是与的最大公因式 因为 是与的最大公因式 ，由可知在Fx里总可以求得多项式与使 ,即 令 ,则 由引理1得是的因式，同

7、时也是的因式又 , 综合得是与的最大公因式§2关于定理3中，的结构前面研究了多项式最大公因式的性质定理，为了更好理解这一定理，现将对定理3中的，作进一步分析，从而得出有关，的一些新的结论，以此作为上述定理3的补充定理3中涉及一个事实，即,与，使得, 设，由§1中定理4得作了上面的准备工作，现给出，的结构定理，并加以证明定理6：（1）设s(x),t(x)F(x),，取，则；（2）如果有使，则，使，证明：（1）设d(x)=(f(x),g(x),将，代入下式得 =其中又因为 ,所以 ，从而 （2）因为 ，上边两式左右两边同时作差得：，因为 ，两边同除以，则有：，又因为 ，从 (*

8、)中，得，即 ，使得，又因为，所以有 ，代入(*)式得即 这个定理一方面指出了满足的，是不唯一的，同时也给出了所有，的一般形式，这对研究多项式最大公因式的理论是有很大的作用§3最大公因式的求解方法在前面对多项式最大公因式的理论研究指导下，现来研究一下多项式最大公因式的几种求解方法1因式分解法利用因式分解法求多项式的最大公因式，一般先求两个（或多个）多项式的标准分解式，如设多项式与的标准分解式分别为：，其中每一，不等于任何，令是与两个自然数中较小的一个，那么，就是与的最大公因式例3求实数域R上多项式与的最大公因式解：分别对两个多项式进行标准因式分解得， ，由与的标准分解式可看出：应该指

9、出的是多项式的标准分解式一般不易求得因此，求两个多项式的最大公因式一般不用此法2辗转相除法利用辗转相除法不但证明任意两个多项式都存在最大公因式，而且也是求最大公因式的一种有效方法但是在运算过程中经常会出现分数运算，为了简化过程可用中一个非零常数去乘被除式或除式，这种做法可在求最大公因式的每个步骤中进行，而对求出多项式的最大公因式d(x)的结果不会受到影响，原因如下:设f(x)，g(x)F(x),其中q(x)是g(x)除f(x)的商式，r(x)是余式，即表示为：，对且有 ， ，故由§1定理1得：，根据此结论，在用辗转相除法求最大公因式的过程中，用中的非零常数去乘被除式或除式，会给运算带

10、来很大的方便，以下用例题说明：例4令是有理数域，求的多项式：与的最大公因式解法一，对与作辗转相除法，但对过程中的系数不作处理，这种解法的过程略解法二，对与作辗转相除，对相除中的系数作一些处理： 观察与的系数，先对的系数作处理即 2=，用去除2，商，余，观察此步对系数作处理得2（）=，用去除，商1，余，观察此步对系数作处理得，用去除，商-2，余，观察此步对系数作处理得=，用去除，商-13，余，观察此步对系数作处理得，用去除，商，余，观察此步对系数作处理得 ，用去除，商1，余0.所以 .由上式的求解过程可以看出，有时系数很大，给运算带来不便，根据§1中引理可知，将被除式减去除式的某个倍式

11、，再做辗转相除法而不影响求的结果，由§1中引理1有：解法三，对与作辗转相除：，令 ，则有，令 ，则有，令 ，则有，故 很明显，解法三比解法一、二均简便，所以在解题的过程中应尽量利用最大公因式的性质定理使求解过程更简便3矩阵的初等变换法给出数域上个多项式，如何求其最大公因式?现给出个多项式的最大公因式的定义：定义2：设是数域上的个多项式，并且是多项式，,的一个公因式，若是能被中的每一个公因式整除，那么叫做的一个最大公因式规定用符号()表示在中最高次项系数为1的最大公因式由上述定义及§1的结论得关于数域F上n个一元多项式最大公因式的性质：（1）：设是F(x)中的n个一元多项式，

12、则有 =,（2）：设是F(x)中的n个一元多项式，则有，且，为常数（3）：设是F(x)中的n个一元多项式，则有,其中性质（1）、（2）、(3)阐述了在求解多项式的最大公因式时的不变性，由这些不变性又可得到下面推论：推论1：设是F(x)中的n个一元多项式，则有，其中，为任意常数.再给出一个引理：引理2：设是F上的n个一元多项式，d(x)= ()，若中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式的常数项必不为0证明：假设的常数项等于0，则能被x整除，所以的常数项均为0，与条件矛盾，证毕再由前3个性质及推论1得性质4：（4）：设是F(x)中的n个一元多项式，并设，其中，为非负整数，为常数项不为0的一元

13、多项式，其中，且，则 证明：设,显然 是的一个公因式其次 设是的任一公因式，则，而 (,)的常数项非零，则不含这一因式，从而，因而是,的公因式,所以 .所以 为了更方便的介绍个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括： 交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；把某一多项式的倍，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变；性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式（只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立）现再给出行多项式矩阵的定义：定义3：设是F上的n个一

14、元多项式，且这个多项式的最高次项的次数是次，现将每个多项式各项的系数（按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0）排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n个多项式的n行多项式矩阵，n个多项式所组成的n行多项式矩阵记为，并规定该矩阵表示()的最高次项系数为1的最大公因式下面将给出关于n行多项式矩阵的一些结论：定理7：设是F上的n个一元多项式，对这个多项式（至少有一个常数项不等于0）组成的多项式矩阵，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由前面谈到的n个多项式最大公因式的四条性质直接得到在前面的基础上，现给出定理8：定理：对于行多项式矩阵，一定可以通过四

15、种初等变换，化成的形式，其中就是它的最大公因式定理8的证明过程参阅3下面以实例阐述多项式最大公因式的矩阵求法例5设，求解：对矩阵施行矩阵的初等变换得：.故 .例6设，+，求它们的最大公因式解：对矩阵施行初等变换得：故 .参考文献：1余元庆.方程论初步上海：教育出版社,1979.2张禾瑞,郝炳新高等代数（第四版）北京：高等教育出版社，1997.3郁金祥多项式最大公因式求解方法的推广嘉兴学院学报，2003，（3）：27-29.4汪军关于多项式最大公因式的进一步探讨工科数学，1999，（3）：137-139.5王向东高等代数常用方法科学出版社，1989.6万哲先代数导引科学出版社，2004.The proprties and methods about the greatestcommon divisor of the polynomialsWang Fei Directed by Prof.Dong HuiyingAbstract This paper summaries the important proprties about the greatest common divisor of the polynomials,among which is further researche