理论力学计算题复习

1、B点之矩。【解答】：r、.2MB(Fi)F1 lsin 45F2rMbGF2lF lr.2MbGF3 11 sin 45F2rMb(F4)0。习题1-1图中设AB=I,在A点受四个大小均等于习题1-2如图所示正平行六面体 今将其斜放使它的底面与水平面成ABCD，重为 FP=100N，边长 AB=60cm，AD=80cm。30角，试求其重力对棱 A的力矩。又问当 等于多【解法1直接计算法】设AC与BD的交点为O,/ BAO=,则:cos()cos cossin sin3J41-0.11961 AO -5252.80260250cm=0.5m2 rMa(Fp)FP dFpAO cos()1000.

2、50.1196 5.98Nm大时，该力矩等于零。当ma（Fp） o时，重力FP的作用线必通过令 cos()cos cossinsin3tant36 52 。4【解法2 利用合力矩定理】:rrr将重力FP分解为两个正交分力FP1和 FP2,rr其中：FP1 PAD , FP2 PAB，则:Fpi Fp cos ， Fp2Fp sin精选rrrABADMA(Fp) Ma(Fp1)Ma(Fp2)FP12FP22根据合力矩定理：Fpcos0.3 Fpsin0.4100J 30.3 100-0.4 5.98Nmr22确定等于多大时，Ma(Fp)0令Ma£)o,即：FP cos0.3FP sin

3、0.40t 100cos 0.3100 sin0.40 t tan3t3652o4习题1-11习题1-22习题2-1三力作用在正方形上，各力的大小、方向及位置如图所示， 试求合力的大小、方向及位置。分别以 O点和A点为简化中心,讨论选不同的简化中心对结果是否有影精选响。2N【解答】：(1 )以O点为简化中心，求主矢和主矩。Fx 10 3 2 4N54Fy 104 4N y 5因此，主矢大小为：(2)确定最终合成结果)Fx)2(Fy)242 42 4、,2n根据主矢和主矩均不为零，可知力系最终合成一个合力，合力大小和方向与主矢相同,即: FrFr合力作用线方程由下式确定：x FRy y Frx

4、Mot 4x 4y 4a这说明合力作用线通过 A点，如上图所示。(3)如果以A点为简化中心，求得主矢为：Fr,(Fx)2(Fy)242424、2N主矩为：MaMa(F)2 a4a 10a 05此时合力等于主矢。习题 2-2如图所示等边三角形 ABC，边长为小相等的力F ,试求此力系的简化结果。【解答】：力系的合成结果与简化中心的选择无关,因此任选一点（例如 A点作简化中心），建立坐标系,计算主矢和主矩：（注意三角形ABC为等边三角形）Fx F F cos60 F cos60 0Fy F sin60 F sin60 0因此主矢大小为：FrMA Ma(F) F 丨 sin603 Fl (逆时针)2

5、由此判断力系的简化结果是一个逆时针转动的力偶，力偶矩等于主矩。1m。习题2-7求如图所示平行力系合力的大小和方向，并求平行力系中心。图中每格代表【解答】：（1 ）根据题目示意图，合力大小为:10 15 20 30 25kN写出各力的作用点坐标:X11，y1，Z10X21，y23，Z20X32，y32，Z30X43，y15，z0(2)根据平行力系中心坐标公式，求力系的中心:F1 x1F2 X2F3 X3F4 X410 115 120 2 30 34.2 m10 15 20 30习题3-1如图所示简易起重机用钢丝绳吊起重为2kN的重物。不计杆件自重、摩擦及滑轮尺寸，A、B、C三处简化为铰链连接，试

6、求杆 AB和AC所受的力。【解答】：（1 ）选择销钉A为研究对象，画出其受力图忽略滑轮的大小尺寸，则 AC杆、AB杆以及绳子作用在销钉上的力组成平面汇交力系而且处于平衡状态。根据定滑轮的性质可知:2kN30°（2）列平衡方程QFx 0， F ACsin 30 Fabcos30Ftsin 75Fy 0， F ACcos30Fabsin 30Ftcos75（3）解平衡方程,确定未知量求解上面的方程组，得到:0.4142kN3.146kN （书中答案有误，请更正）习题 3-2 均质杆AB重力为Fp、长为I，两端置于相互垂直的两光滑斜面上，如图所 示。已知一斜面与水平成角【解答】：选择AB杆

7、为研究对象, 画出受力图。根据三力平衡汇交定理，AB杆 保持平衡必须满足以下条件：一点（图中D点）。Fa、FB、FP的作用线汇交于，求平衡时杆与水平所成的角及距离OA。又因为AB杆的重心C必为其中点， 则在矩形OADB中，AB为一条对角线,rDCO连线也为对角线，所以重力 Fp的作用线必通过o点。根据图中几何关系可知：ADO ABO DAB，得到如下结果:A、90 t 902 , OA AB sin l sin【解答】：（1 ）选择构件AB为研究对象，画出受力图B端为活动铰支座，约束力 Fb必须垂直于斜支承面，再结合力偶只能与力偶平衡的性质,可知a端固定铰支座的约束力Fa必与FB组成力偶（等值

8、、反向、平行），才能与主动力偶 （F，£）相平衡。根据平面力偶系的平衡方程，得：M 0，Fa 丨 sin45 F a 0解方程，得：Fa Fb.2Fa。习题3-8求如图所示物体在 A、B处的支座约束力，图中长度单位为m。IkN/m2kNIkN/m一_TnrnTrFTTnIm【解答】：此题示意图有一些问题，请按上图更正。（1）画出水平杆的受力图（在题目示意图基础上加上A、B两处的约束力即可）（2）列平衡方程并求解:Fx 0，Fax 0 ；ri15 1Ma(F) 0, Fb 2 2 0.51(kN/m) 3(kN) 1(m)=0Fb0.25kN2 21Fy 0, FAy Fb 21 3

9、0 t FAy 3.5 0.25 3.25kN。y2习题 3-24重力为Fp的矩形水平板由三根铅垂直杆吊挂，尺寸如图（a）所示，求各杆内力。若在板的形心处（ 应改为在D点处）放置一重物，则各杆内力又如何?（a）（b）（c）【解答】：（1）画出矩形板的受力图如图（b）所示，为空间平行力系的平衡问题。（2 ）列出平衡方程：F0,F1F2F3Fp> 0(1)ra1mx(F)0 ,F 3a F p20 t F32Fp(2)rb1my(F)0,F1 b FP20 t f1-Fp2 P(3)将（2)、(3)代入（1）得：F20（3）当在D点放一重物时，假设其重力大小为FW，画出受力图如图（c）所示。

10、列平衡方程如下：F0,F1F2F3FpF W0(4)ra -1mx(F)0,F3a F pF W2a 0 t F3FpFw2(5)rb厂,cL1 LLmy(F)0,F1b FPFWb0 t F1 F PFW， (6)22将（5）、（ 6）代入（4）得：F2Fw。习题3-25如图所示三圆盘 A、B和C的半径分别为15cm、10cm 和5cm,三轴OA、OB和OC在同一平面内，/ AOB为直角, 在这三圆盘上分别作用力偶。组成各力偶的力作用在轮缘上, 它们的大小分别等于 10N、20N和F。若这三圆盘所构成的物系是自由的，求能使此物系平衡的角度力F的大小。【解答】：用矢量表示A、B、C三个轮上作用

11、的力偶矩，如图（b）所示。各力偶矩大小分别为:Ma与Mb的合力偶矩大小为：Mr 、M a Mb42 32 5N m|Mb|4tan r ,53.13|Ma|3使此物系平衡的条件是，Mc与Mr等值、反向、共线，即:Mc F 2 r32 0.05 F 5N m ,5N m50N 。0.1m由图中关系得：180126.8790360 t 36090126.87143.13143 8。习题4-1试求如图所示各桁架上标有数字的各杆的内力。图（a）中各杆的长度相等。【（a）解答】：（1 ）取整体画受力图，列平衡方程，求一端约束力Me(F)Fi 4a F0,2.5a2F 1.5a0解方程，得:FiVf（2）

12、用截面法截断为研究对象，画受力图，列平衡方程, 求1、2、3杆的内力。1、2、3杆，取右半桁架Fy0,FiF2sin 60解得：F2FiFsin 60（71)F2.3DH0.433FMg(F)0, F1Fi 2a 0,解得：F1；2.598FMc(F)0, Fi1.5aF30,解得：F381.52.382F。【（b ）解答】：本题用截面法截断1、2、3杆，取右半桁架为研究对象，画受力图，列平衡方程，不需 要求出左端的约束力，即可求出1、2、3杆的内力。Mg(F)3a3 70,F a F 2a F 3a 0解得：f34F ；Mf(F)0,精选F1 4aF a F 2aF 3aF 4a 0解得：F

13、_!5.590F0,Fi2"5F2aa2 (1.5a)2F30解得：F25.590F25( 4F)1.803F如图所示AB杆的A端放在水平面上, 都是0.25。试求能够支承荷重 F的最大距离【（b ）解答】：本题用全约束力和摩擦角的概念求解更简单。 画出AB杆的临界平衡状态的受力图， 则A、B两处的全约束力Fra、FrB与主动 力F应该满足三力平衡汇交定理，三力相交 于C点。根据摩擦角概念和图中的几何关系，可知：习题4-3B端放在斜面上，A、B处的摩擦因数 a。杆重不计。90ABC 30tan m f直角三角形m ?0.25。ADC和直角三角形BDC有CD，在两个三角形中分别表一条公

14、共边示出来，在直角三角形 ADC中，有:CD a tan(90 m)tan m0.25在直角三角形BDC中，有:p30°Da)于 0"5ACD (l a) tan(30m) (la)tan 30tan m1 tan 30 tan m(l1- 0.253结合上面两式，可得一个代数方程:0.25 (l a) 3 - °251 ' 0.253解方程，得：a 0.193 。Xaty 2t2t2习题5-5动点A和B在同一笛卡尔坐标系中的运动方程分别为Yb 2t4其中x、y以cm计，t以s计，试求：（1）两点的运动轨迹方程；（2）两点相遇时刻;（3）相遇时A、B点的速

15、度、加速度。习题 5-8图示摇杆机构的滑杆 AB以匀速u向上运动，试建立摇杆 OC上点C的运动方程，并求此点在-的速度大小。假定初始瞬时习题5-9曲柄OA长r，在平面内绕O轴转动，如图所示。杆AB通过固定于点N的套筒与曲柄OA铰接于点A。设习题5-13 一绳缠绕在鼓轮上，绳端系一重物M , M以速度v和加速度a向下运动，如图所示。问绳上两点 A、D和轮缘上两点 B、C的加速度是否相同？习题5-16搅拌机如图所示，已知 OiA=O2B=R, OiO2=AB，杆OiA以不变的转速n转动。 试分析BAM构件上M点的轨迹、速度和加速度。一习题5-22如图所示为一偏心圆盘凸轮机构。圆盘C的半径为R,偏心

16、距为e。设凸轮以匀B角速度 绕O轴转动，求导板 AB的速度和加速度。习题5-24如图所示摩擦传动机构的主动轮I的转速为n=600r/min，它与轮n的接触点按箭头所示的方向平移，距离d按规律d 10 0.5t变化，单位为厘米。摩擦轮的半径r 5 cm。 求：（1）以距离d表示的n的角加速度；（2）当d r时，轮n边缘上一点的全加速度的大 小。习题6-3汽车A以速度vi 40km/h沿直线道路向东行驶，汽车B以v2 40、2km/h沿另一岔道向东南方行驶，如图所示。求在B车上观察到A车的速度。【解答】：（1）因为需要在 B车上观察到A车的速 度，所以选A车为动点，则动参考系建立在 B车上。（2）

17、分析三种运动和三种速度绝对运动：A车向正东方向的直线运动，绝对速度大小Va Vi 40km/h，方向水平向右（东）。相对运动：在 B车上观察到 A车的运动，相对速度 Vr大小和方 向均未知。牵连运动：B车沿东南方向的直线运动 （直线平动），则动参考系 中任何一点的速度均相同，牵连速度大小为：ve v240.2km/h（2）根据速度合成定理 Va Ve Vr，作速度平行四边形，如右 图所示。根据图中的几何关系和已知条件，由余弦定理求得相对 速度大小为:vr.'v； v； 2 va ve COS45 ,;202 (20 .2)2 2 20 20 2 cos45 20km/h则该速度平行四边

18、形的一半为一个等腰直角三角形，因此习题6-5图示两种机构中，已知精选(a)(b)结论：在B车上观察到A车的运动速度大小为 20km/h，方向指向正北方。O1O2 a 20cm，1 3rad/s。求图示位置时O2A杆的角速度。【解答】：（1）在图（a）中选OiA杆上的A点 为动点，则动参考系建立在O2A杆上。由图中几何关系知：O1A=O1O2=a分析三种运动和三种速度绝对运动：。识 杆作定轴转动，则 A 点的绝对运动为圆周运动，速度大小为:va O1A 1 a 20 3 60cm/s 方向垂直于 OiA。相对运动：套管沿 O2A的直线运动，相对速度方向已知，大小未知。牵连运动：O2A的定轴转动，

19、牵连速度方向垂直于O2A，大小未知。根据速度合成定理Va Ve Vr，以Va为对角线，以Ve、Vr为邻边，作出如图所示的速度平行四边形。由图中的几何关系，得到:Ve va COS30根据牵连速度与a260cm/sO2A杆的角速度关系，得:VeO2A603cm/s，得:2VeVeO2 A 2acos30=1.5rad/s（2）在图（b）中选O2A杆上的A点为动点，则动参考系建立在系知：OiA=O 102= aOiA杆上。由图中几何关分析三种运动和三种速度绝对运动：O2A杆作定轴转动，则 A点的绝对运动为圆周运动，速度大小未知，方向垂直 于 O2A。相对运动：套管沿 OiA的直线运动，相对速度方向

20、已知，大小未知。牵连运动：OiA的定轴转动，牵连速度方向垂直于OiA，牵连速度大小为：ve O1A 1 a 20 3 60cm/s根据速度合成定理Vr，以Va为对角线，以Ve、Vr为邻边，作出如图所示的速度平行四边形。由图中的几何关系，得到:VeVa cos30a3120 cm/s332根据牵连速度与O2A杆的角速度关系，得:VeO2Acm/s，得:Va120O2A2acos30120 32 20 2=2rad/s。习题6-15如图所示曲柄滑道机构中，曲柄长OA=10cm ,可绕0轴转动。在某瞬时，其角速度1rad/s，角加速度 1rad/s， AOB 30，求导杆上点C的加速度和滑块 A在滑

21、道上的相对加速度。【解答】：（1 ）选OA杆上的销钉 A点为动点，贝U 动参考系应该建立在导杆 BC上。同时在地面建立 静参考系。（2）分析三种运动和三种加速度绝对运动：A点随同OA杆转动而作圆周运动，因 为以下确定 A点的绝对加速度需要 A点的绝对速 度，因此先确定绝对速度。 绝对速度Ja方向垂直于OA，其大小为：va r 10 1 10cm/s绝对切向加速度方向垂直于OA，其大小为：2aa r 10 1 10cm/s绝对法向加速度方向沿 OA指向圆心O,其大小为:相对运动：销钉 A带动滑块A在BC杆滑道中的左右直线运动，相对加速度方向水平（假 定向右），大小未知。牵连运动：导杆 BC的上下

22、平动，牵连加速度方向沿竖直线（假定向上），大小未知。根据上面的分析画出各加速度矢量，如图所示。（3）根据牵连运动为平动时的加速度合成定理aa aa aa ae ar，将各加速度矢量向x轴投影，得到滑块 A在滑道上的相对加速度大小为:ar aa cos30a： sin 3010匕10 18.66525.66cm/s22将各加速度矢量向y轴投影，得到导杆上点 C（任何一点）的加速度大小：ae aa sin 30naacos30101 10 -J5 8.66213.66cm/s。221=3rad/s绕O轴转动。习题7-8如图所示四连杆机构中，OA=O 1B= AB，曲柄以角速度2求在图示位置时杆 A

23、B和杆O1B的角速度。【解答】：此题用瞬心法较方便。（1） OA杆和01B杆作定轴转动，AB杆作平 面运动。根据A、B两点的速度方向，可以确定 AB杆的瞬时速度中心为 0点。 (2)求AB杆的角速度Va OA OA ab，得:AB3rad/s。题目不要求计算A点速度，可以不求解。精选(3)求杆OiB的角速度根据 Vb O|BOtB 0B AB，得:OtBOB ABOiB-A 3 3 3OA5.2rad/s。习题7-10习题7-16在图中，两个轮子沿水平面只滚不滑， m/s,方向向右。求 AB的角速度。【解答】：两个轮子和 AB杆均作平面运动， 两个轮子的瞬时速度中心为它们各自与地面 的接触点。

24、据此确定A、B两点的速度方向，可知AB杆作瞬时平动，其角速度aB 0它们彼此用杆AB相连。P点的速度为V 12a* a,ay0习题8-1质量m = 6kg的小球，放在倾角 =30的光滑面上，并用平行于斜面的软绳将小1球固定在图示位置。如斜面以a g的加速度向左3r运动，求绳之张力 Ft及斜面的约束力Fn，欲使绳 之张力为零，斜面的加速度 a应该多大？【解答】：(1)画出小球的受力图当绳子的张力不等于零时，小球与斜面之间无 相对运动，则此时小球与斜面具有相同的绝对加速 度a。(2)建立如图所示的直角坐标系，则小球的加速度分量为: 写出小球(质点)直角坐标形式的动力学基本方程：maxFx，将加速度

25、分量和力的投影代入，得:mayFym( a) Ft cosFN sin0Ft sinFn cos mg求解上面的方程组，得：Fnmg cosmas in69.83 6 1239.8 0.5 60.72NFtmg Fn cos6 9.860.72 0.86612.43Nsin0.5(2)当绳子拉力为零时，即:(mg cosma sin )cosmg，解方程，得此时斜面的加速度为a g(12cos ) g 0.5Lg0.577gsincos332mg FN cos0，将上面的结果代入，得:X习题8-5 物块A、B的质量分别为mi=20kg和m2=40kg，用弹簧相连，如图所示。物块2A沿铅垂线以y

26、 H cost作简谐运动，式中振幅H=IOmm，周期T=0.25s。弹簧的质量T| 叫 XI： 1略去不计。求水平面所受压力的最大值和最小值。【解答】：(1 )分别画出A、B两个物块的受力图H=l0mm，周叭rji(2)物块A受弹簧的作用力Fna大小和方向周期性变化，因此其加速度也随时间而变化，写出质点运动微分方程:mAd2ydt2FnamAg，将 y2H cos Tt代入，得:Fd2yF NAmA , 2dt4 22mAgmAg maH cos(t)（3）物块B受到弹簧作用力，自身重力和地面支持力，在地面保持静止（弹簧作用力向下 或弹簧作用力虽然向上，但小于物块B的重力时）；或者向上作加速运

27、动（弹簧作用力向上且超过物块B的重力时）。按平衡条件列方程，得：Fnb mBg Fna 0，得地面支持力为：4 22Fnb mBg Fna mBgmA H 严 cos（t）FNBmax1时，地面支持力达到最大，其值为:40 9.8 20 9.820 0.010.252714.33NF NBmin1时，地面支持力达到最小，其值为:40 9.8 20 9.8 20 0.010.252461.67N因为地面支持力最小值大于零，因此物块B始终静止在地面上。根据作用与反作用定律，物块B对地面压力的最大值为714.33N，最小值为 461.67N。习题8-9已知物体的质量为 m,自高度h处以速度V0水平抛

28、出，空气阻力可视为与速度的一次方成正比，即 F= kmv，式中k为比例常数, 体的运动方程和轨迹。【解答】：（1 ）画出物体在任意位置的受力图物体受自身重力和空气阻力，在水平方向和 竖直方向均做变速运动。（2）写出质点运动微分方程：d2x m 2dt2kmv<也m2dt2mg kmvyd2x根据時dt2dVx d2y dt ， dt2dVydt，得到如下微分方程dvxm为物体的质量，v为物体速度。求物 y| /*' = -kmvdtdVym dtkmvx，约去质量m，并分离变量求解，考虑运动初始条件:mg kmvyt 0 , VxVo , Vy0,得运动方程为:V0 “ktx (1 e ) ky h gt 各(1