分式方程的解法及应用导学案+习题

1、学习必备欢迎下载分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 明白分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程2. 会列出分式方程解简洁的应用问题【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（ 1）分式方程的重要特点：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数 .（ 2）分式方程和整式方程的区分就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数） . 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（ 3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.

2、 转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母. 在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根. 由于解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必需验根.解分式方程的一般步骤：（ 1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（留意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（ 2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（ 3）检验：将求得的解代入最简公分母，如最简公分母不等于0，就这个解是原分式方程的解，如最简公分母等于0，就这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的缘由方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原

3、方程的增根.产生增根的缘由：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（ 1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的. 依据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程 . 假如方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根 .（ 2）解分式方程肯定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误， 而是检验是否显现增根， 它是在解方程的过程中没有错

4、误的前提下进行的 .要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按以下步骤进行：（ 1）审题明白已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（ 2）设未知数；（ 3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（ 4）解这个分式方程；（ 5）验根，检验是否是增根；（ 6）写出答案 .学习必备欢迎下载【典型例题】类型一、判别分式方程1、以下方程中，是分式方程的是（）a x3x21x1x24b4312x1x1x1c 3x21 x05xadx ，（ a ， b 为非零常数）ab【答案】 b；【解析】 a、c两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；d

5、项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有 b 项中的方程符合分式方程的定义【总结升华】 要判定一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数类型二、解分式方程2、 解分式方程（ 1）1052 ；（ 2）510 【答案与解析】2x112 xx23xx2x解：（ 1）1052 ，2x112 x将方程两边同乘2 x1 ，得10522 x1 7解方程，得x4检验：将 x7代入 2x41，得 2x150 27x是原方程的解4（ 2）510 ，x23xx2x方程两边同乘以x x3x1 ，得 5 x1) x30 解这个方程，得x2 检验：把 x2

6、代入最简公分母，得2× 5× 1 100原方程的解是x2 【总结升华】 将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项特殊提示：解分式方程时，肯定要检验方程的根举一反三：【变式】解方程：2xx12 33x【答案】学习必备欢迎下载2x1解：2 ，x33x方程两边都乘x3 ，得 2x12 x3 ，解这个方程，得x3 ，检验：当x3 时， x30 ，x3 是增根，原方程无解类型三、分式方程的增根【高清课堂分式方程的解法及应用例 3（ 1）】23、 m 为何值时，关于x 的方程2mxx2x43会产生增根？x2【思路点拨】 如分式方程产生增根，就 x2

7、 x2) 0 ，即 x2 或 x2 ，然后把 x2代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值【答案与解析】解：方程两边同乘 x2 x2 约去分母，得 2 x2mx3 x2 整理得 m1 x10 原方程有增根， x2 x20 ，即 x2 或 x2 把 x2 代入 m1x10 ，解得 m4把 x2 代入 m1 x10 ，解得 m6 所以当 m4 或 m6 时，方程会产生增根【总结升华】 处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解举一反三：【变式】假如方程13 1x有增根，那么增根是 【答案】 xx22x2 ；提示：由于增根是使分式的分母为零的根，由分母x2

8、0 或 2x0 可得x2 所以增根是x2 类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参与绿化校内植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种60 棵树所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相等求甲、乙两班每小时各种多少棵树 .【思路点拨】 此题的等量关系为：甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相等【答案与解析】学习必备欢迎下载解：设甲班每小时种x 棵树，就乙班每小时种x2 棵树由题意可得6066，解这个方程，得x20 xx2经检验 x20 是原方程的根且符合题意所以 x222 棵 答：甲班每小时种20 棵树，乙班每小时种22 棵树【总结升华】 解此题的关键是设出未知数后，用

9、含 x 的分式表示甲、 乙两班种树所用的时间举一反三：【变式】 两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1 个月完成总工程的1 ，这时增3加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成哪个队的施工速度快.【答案】解：设乙队单独施工1 个月能完成工程的1 ，总工程量为1x依据工程的实际进度，得1111362x方程两边同时乘以6x ，得 2xx36x 解这个方程得x1 检验：当 x1 时， 6x 6 0，所以 x1 是原分式方程的解由上可知，如乙队单独工作1 个月可以完成全部任务，对比甲队1 个月完成任务的1 ，3可知乙队施工速度快答：乙队施工速度快【巩固练习】一. 挑选题1以下关于x 的方

10、程中，不是分式方程的是（）a 1x1 xb3x4x21c x3 x2345d x516x62解分式方程1x12x21，可得结果 a. x1b. x1c. x3d. 无解3要使xx4 的值和 4542 x 的值互为倒数，就x 的值为 xa.0b. 1c.1d.12x14已知x2y3，如用含 x 的代数式表示y ，就以下结果正确选项y4a. yx103b. yx2c. y10x 3d. y7 x2学习必备欢迎下载5如关于x 的方程3x11k有增根，就k 的值为 1xa.3b.1c.0d. 16完成某项工作，甲独做需a 小时，乙独做需b 小时，就两人合作完成这项工作的80， 所需要的时间是a. 4

11、ab 小时b.4 11 小时55abc.4ab小时d.ab小时5abab二. 填空题7.当 x 时，分式3 与2的值互为相反数x6x8仓库贮存水果a 吨，原方案每天供应市场m 吨，如每天多供应2 吨，就要少供应 天9 x 时，两分式4与3的值相等x4x110当 a 时，关于 x 的方程2ax3ax5 的根是 1411如方程x1x14x211有增根，就增根是 12关于 x 的方程ax1三. 解答题1的解是负数，就a 的取值范畴为 13. 解以下分式方程：11x（1）5x3 ；（ 2）2723x；（ 3）2210 x22xx3x2x1x2x1x2x114. 甲、乙两地相距50 km ，a 骑自行车

12、， b 乘汽车，同时从甲城动身去乙城已知汽车的 速度是自行车速度的2.5 倍， b 中途休息了0.5 小时仍比a 早到 2 小时，求自行车和汽车的速度15. 有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是 2，求这个两位数【答案与解析】一. 挑选题1. 【答案】 c；【解析】 c选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2. 【答案】 d；【解析】x1是原方程的增根.3. 【答案】 b；【解析】由题意x442 x1，化简得：2x41解得 x1 .x54xx5学习必备欢迎下载4. 【答案】 c；【解析】由题意x1y4x2y3 ，化简得：3 y10x ，所以选 c

13、.5. 【答案】 a；【解析】将x1 代入 3x1k ，得 k3.6. 【答案】 c；【解析】由题意45 11ab4 ab5 ab，所以选c.二. 填空题7. 【答案】 18；【解析】320 ，解得 x18 .x6x8. 【答案】2a；m22maa2a【解析】原方案能供应9. 【答案】 8；天，现在能供应m天，就少供应2天.m2m2m【解析】10. 【答案】43，解得 x8 .x4x117；3【解析】将x1 代入原方程，得8a55a12 ，解得 a17 .311. 【答案】x1；【解析】原方程化为：2x14x21 ，解得 x1 ，经检验 x1 是增根 .12. 【答案】 a1且 a 0；【解析

14、】原方程化为三. 解答题13. 【解析】ax1，xa10 ，解得 a1 .x -1 ，解得 a 0.解： 1 方程的两边都乘x2 ，得 1x13 x2 解这个整式方程，得x 2检验：当 x 2 时， x 20，所以 2 是增根，所以原方程无解2 方程两边同乘 x2 x1) 约去分母，得5 x72 x23 x1 整理，得 5x75x7 这个式子为恒等式.检验：当x1 ， x2 时， x2 x10 ，所以 x1 和 x2 是增根因此，原方程的解是x1且 x2 的任何实数3 方程两边同乘 x2 x1 x1 ，学习必备欢迎下载得 xx22 x1 x1 x2 x10 解此方程，得x4 5检验：把x4代入 x52 x1 x1得4241410，555所以原方程的解是x4 514. 【解析】解：设自行车的速度为xkm/ h ，汽车的速度为2.5xkm/ h ，由题意， 50500.52 ，x2.5x解方程得： 12550