初一三角形知识总结与练习题

1、学习必备精品学问点三角形的有关概念（ 1）三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，它有三条边、 三个内角和三个顶点，三角形可用符号“”表示（ 2）三角形的角平分线：在三角形中， 一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（ 3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线（ 4）三角形的高线： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线2、 三角形的有关性质（ 1）边的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边（ 2）角

2、的性质：三角形的内角和为180°，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，直角三角形的两个锐角互余（ 3）稳固性：即三角形的三边的长度确定后，三角形的外形保持不变 3、 三角形的分类（ 1）按边分不等边三角形底与腰不相等的等腰三 角形等腰三角形等边三角形（ 2）按角分直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形4、 全等三角形的有关概念和性质（ 1）全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形全等图形的特点：全等图形的外形和大小都相等全等三角形： 两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形，两个全等三角形重合时，相互重合的边叫做对应边，相互重合的顶点叫做对应顶点

3、，相互重合的角叫做对应角（ 2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等5、 全等三角形的判定条件（ 1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：边角边（ sas ）；角边角 asa; 角角边 aas; 边边边 sss.2直角三角形的全等的条件:除了使用 sas 、asa 、aas 、sss 判别方法外，仍有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（hl ）判别方法 .6.判别两个三角形全等1已知两边找 夹 角 找 直 角 找另一边sas hlsss（1）边为角的对边找任一角aas2已知一边一角找夹角的另一边sas（2）边为角的邻边找夹角的另一边的对角asa找边的对角aas3已知两角找夹

4、边asa找夹边外的任一边aas学习必备精品学问点7.作三角形用尺规作三角形的类型主要有：（ 1）己知三角形的三边，求作这个三角形（ 2）己知三角形的两边及夹角，求作这个三角形（ 3）己知三角形的两角及夹边，求作这个三角形二、应留意的问题1.三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条线段，后者是一条射线三角形的高线是线段，而线段的垂线是直线；锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部，直角三角形中，有两条高线恰好是它的两条边，钝角三角形的三条高线中，有两条高线在三角形的外部，它们的垂足落在边的延长线上三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点2、留意：不能把

5、“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据3书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.4、留意：在作三角形等几何作图中，作图痕迹务必保留，不能将作图痕迹抹掉在作符合某些条件的三角形时，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正确的三、经典例题例 1如图 1，有一块边长为4 的正方形塑料模板abcd ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在a点，两条直角边分别与cd 交于点 f，与 cb 延长线交于点e就四边形aecf 的面积是 分析：本例看似是正方形的问题，其实质是考查全等三角形的判定由于 eaf= bad=90 °可得出 eab= daf ， abe= d=90 &

6、#176;， ab=ad ， abe adf ，所以，四边形 aecf 的面积等于正方形abcd 的面积等于16eababedaf ，d ，解：由于 eaf= bad=90 °，所以 eab= daf ，abad abe adf 四边形 aecf 的面积等于正方形abcd 的面积等于16.例 2如图 2，在 abc 与 def 中，给出以下六个条件：ab=de ； bc=ef ； ac=df ； a= d； b= e； c= f，以其中三个条件作为已知，不能判定abc 与 def 全等的是 a bcd分析：三角形全等的判定方法有：“边、边、边” 、“边、角、边” 、“角、边、adbc

7、 ef图 2角”或“角、角、边”.此题可采纳排除法查找答案. “、真” 为“边角边”判定方法；“、 真”为“边边边”判定方法；“、真 ”为“角角边”判定方法；“、假 ”，为两边和其中一边的对角没有这样的判定方法，因此，不能判定abc 与 def 全等的是d.例 3如图 3，巳知： ce ad 于 e，bf ad 于 f，你能说明 bdf 和 cde 全等吗 . 如能， 请你说明理由；如不能， 在不用增加帮助线的情形下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是 ，说明这两个三角形全等，并写出证明过程分析：题目要证明的两个三角形全等已满意两组角对应相等，但三角形全等至少要有一组边对应相等，因此，需要补

8、充一组边对应相等.解：补充的条件为：bd=cd ，de=df 或 bf=ce.b图 3学习必备精品学问点如补充 bd=cd. 证明过程如下：ce ad 于 e， bf ad 于 f，所以， f= ced.f bdfced ， cde ，bdcd bdf cde.注：此题和北师大版七年级数学下158 页第 5 题雷同 .例 5将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图5 的形式，使点b 、f、c、d 在同一条直线上1 求证： ab ed；2 如 pb=bc ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并赐予证明图 5分析：充分利用边相等或角相等或互余的关系.（

9、1）证明：由题意可知abc def,因而 a= d，而 a+ b=90 °，故 d+ b=90 °，即 bpd=90 °，所以， ab ed.也可以利用两直线平行，内错角相等证明a= d.2 如 pb=bc ，就有 abc dbp.bb，ad ，bpbc abc dbp.注：图中与此条件有关的全等三角形仍有如下几对：apn dcn ； def dbp ； epm bfm.四、考点例析考点一：三角形三边关系三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边例 1 在 abc 中， ab=9 ， bc=2 ，并且 ac 的长为奇数，那么abc 的周长是多少？分

10、析由三角形中第三边取值范畴的确定方法：“两边之差第三边两边之和”，可求出 ac 的长， 从而求出abc 的周长解：依据三角形三边关系有ab-bc ac ab+bc ，所以 9-2 ac 9+2，即 7ac 11，又由于 ac 的长为奇数， 所以 ac=9 ，所以 abc的周长为9+9+2=20 练习 1：（ 1）（ 2005 年昆明市中考题）以以下各组线段长为边，能构成三角形的是（）a 4cm， 5cm， 6cmb 2cm，3cm， 5cm c4cm， 4cm， 9cmd 12cm， 5cm，6cm（ 2）有长分别为1cm、2cm、 3cm、 4cm、5cm 的线段，就以其中三条线段为边可构成

11、 个三角形答案与提示： （ 1）选 a ；（ 2）其中 2cm， 3cm， 4cm； 2cm， 4cm， 5cm； 3cm， 4cm， 5cm 共可构成三个三角形学习必备精品学问点考点二：三角形的内角和三角形三个内角的和等于180 ，直角三角形的两个锐角互余例 2（ 2004 年陕西中考题）如图，在锐角abc 中， cd 、be 分别是 ab 、ac 边上的高，且acd 、be 交于一点 p，如 a= 50 ，就 bpc 的度数是（）depa 150b 130c 120d 100bc分析：解这类题目的关键要明确所求的角是哪个三角形的内角，要抓住题目中存在的等量关系，如“三角形的内角和等于 18

12、0 等”解：在 abc 中， a= 50 ， abc+ acb= 180 - 50 =130 cd 、be 分别是 ab 、ac 边上的高，adc= aeb= 90 在 rtabe 中， abe= 90 - a= 90 - 50 =40 在 rtacd 中 ， acd= 90 - a= 90 - 50 =40 pbc+ pcb= （ abc+ acb ） -（ abe + acd） = 13080= 50 在 bpc 中， bpc= 180 -（ pbc+ pcb）= 180- 50=130 此题选b 练习 2：（ 1）（ 2005 年黑龙江中考题）已知bd 、 ce 是 abc 的高，直线b

13、d 、ce 相交所成的角中有一个角为50 ，就 bac 等于 （ 2）一块模板如下列图，按规定ab 、cd 的延长线相交成85 角，因交点不在模板上，不便测量，所以工人师傅连结ac ，测得 bac= 32 ， dca= 65 ，这时就可以知道，ab 、cd 的延长线相交所成的角不符合规h定请说明理由答案与提示：bd（ 1） 50 ；（ 2）由三角形内角和定理可得 h= 83 ac考点三三角形中的三条重要线段在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角e 平分线f在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线从三角形的一个顶点向它的

14、对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高例 3 如图，在 abc 中，分别画出它的中线ad 和高 ae ，并回答以下问题：（ 1）ae 仍是哪些三角形的高？a（ 2） abd 与 acd 的面积有什么关系？为什么？bc学习必备精品学问点分析应依据三角形的中线和高的意义画图解：（ 1）如图， ae 仍是 abd 、 ade 、 adc 、 aec 、 abe 的高（ 2） abd 与 acd 的面积相等，由于这两个三角形等底同高 练习 3：（ 1）三角形一边上的高（）a 必在三角形内部b必在三角形外部c必在三角形的边上d以上三种情形都有可能1（ 2）如图5， a

15、e 是 abc的角平分线，就 = = 2 ； ad是 abc的中线，就a1 = = 2 bc（ 3）三角形的三条角平分线的交点和三条中线的交点，肯定在三角形的（）ba 内部b外部c边上d 不确定答案与提示： （ 1）选 d；（ 2） bae ， cae ， bac ； bd ， cd ；（3）选 a 考点四图形的全等两个能够重合的图形称为全等图形，全等图形的外形和大小都相同特殊地，全等图形的面积相等d ec例 4 如图（ 1），一个 5× 5 的正方形，去掉居于中心位置的画阴影的一格，你能沿着图中的虚线，把余下的部分分成四个全等的图形吗？分析可以从方格的数量（即面积）入手考虑5

16、15; 5 的正方形共有25 格，去掉一格后，仍有24 格假如分成四个全等的图形，就每个图形应当有6 格解：图（ 2）（ 8）是几种可能的划分方案（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（7）（ 8）练习 4：沿着图中的虚线，请用至少三种方法把下面的图形划分为两个全等图形，把你的方案画在下面的图中答案如下：考点五全等三角形的特点及三角形全等的条件全等三角形的对应边相等，对应角相等三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“sss” 学习必备精品学问点两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ asa ” 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角

17、角边”或“aas ” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ sas”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ hl ”例 5 如图， 如图， 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）a 带去b带去c带去d 带去分析怎样做一个三角形与已知三角形全等，可依据全等三角形的判定条件来判定题中的一块三角形的玻璃被打碎成三块，其中：（ 1）仅留一角； （ 2）没边没角； （ 3）存在两角和夹边，可依据asa ，不难作出与原三角形全等的三角形解：应选c练习 5：（ 1）（ 2005 年临沂市中

18、考题）如图，将两根钢条aa 、 bb 的中点o 连在一起，使aa 、 bb 可以围着点o 自由转动， 就做成了一个测量工件，就 a b的长就等于内槽宽ab 的长，那么 aob oa b 的理由是（）a 边角边b角边角c 边边边d 角角边ab'oba'（ 2）（2004 年潍坊市中考题）如图，已知abc 的六个元素，就下面甲、乙、丙三个三角形中和abc 全等的图形是（）bca5050ac甲乙5072aa50丙ac5872acb1fe bc2a 甲和乙b乙和丙c只有乙d 只有丙d（ 3）如图 10， 1= 2，bc=ef ，那么需要补充一个条件 （写出一个即可） ，才能使 abc

19、def 答案与提示： （ 1）选 a ；（ 2）选 b；（ 3）提示：此题答案不唯独，属开放性问题依据三角形全等的条件： sss， asa ，aas ，sas，对比图中已知条件， 只需有另外一角或边 ac=df 即可 应填 b= e（ a= d 或 ac=df均可）考点六：与三角形有关的作图a例 6 已知两角及其中一个角的对边，求作三角形分析该题是作图题中的文字题，依据已知画出相应的图形，这样的图形具有肯定的随便性此题的两个角大小要适当，即它们的和必需小于180 ，否就无解已知：如图、 ，线段 a求作： abc ，使 b= ， a= ， bc=aedabc学习必备精品学问点作法： 1作线段bc

20、=a ；2在 bc 的同侧作 dbc= ， ecb= 180 - - ， db 、 ec 交于点 a abc 为所求作的三角形评注： 已知两角及其中一个角的对边作三角形，可依据三角形内角和等于180 ，转化为利用两角及其夹边作三角形，化未知为已知，使问题得以解决练习 6：求作一个边长为a 的等边三角形a答案与提示：已知：线段a，求作 abc ，使 ab=ac=bc=a作法：（ 1）作线段bc=a ；（ 2）分别以b 、c 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于点a abc 为所求作的三角形考点七：全等三角形的应用例 7公园里有一条“z”字型道路abcd ，如图 11，其中 ab cd ，在 ab

21、、bc 、cd 三段路旁各有一只石凳e、m 、f，m 恰为 bc 的中点，且e、f、m 在同始终线上，在be 道路中停放着一排小汽车，从而无法直接测量 b、e 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理分析由 ebm fcm 可知，测量c、f 之间的距离就是b、e 之间的距离aebembbcfmcm理由： ab cdbmcm ebm fcmbe=cf cfd评注： 运用三角形全等的方法来解决实际问题，关键找出两三角形全等的条件，并能运用自己的语言进行说理练习 7：（2004 年福州中考题）三月三，放风筝，如图12，是小明制作的风筝，他依据de=df ，eh=fh ，不用度量，就知道de

22、h= dfh ，请你用所学的学问赐予说明d答案与提示：连接dh dedfehfhdhdhefh deh dfh deh= dfh 三角形测试题一、挑选题学习必备精品学问点1一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线肯定交于一点，这交点肯定在 a三角形内部b三角形的一边上c 三角形外部d三角形的某个顶点上 2以下长度的各组线段中，能组成三角形的是a 4、5、 6b 6、8、15c5、7、 12d3、9、13 3在锐角三角形中，最大角 的取值范畴是a 0° 90°b 60° 90°c 60° 180°d 60° 90° 4

23、以下判定正确选项a有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 b有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 c有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 d有两角和一边对应相等的两个三角形全等5等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，就 x 的取值范畴是 a x 6b 6x 12c 0 x 12dx 126已知 abc的三个内角 a、 b、 c 满意关系式 b c 3 a就此三角形 a肯定有一个内角为45°b肯定有一个内角为60°c肯定是直角三角形d肯定是钝角三角形7三角形内有一点，它到三边的距离相等，就这点是该三角形的a三条中线交点b三条角平分线

24、交点c三条高线交点d三条高线所在直线交点 8已知等腰三角形的一个角为75°，就其顶角为a 30°b 75°c 105°d 30°或 75°9如图 5 124，直线 l 、 l 、 l表示三条相互交叉的大路，现方案建一个加油站，要求它到三条大路的距离相等，就可供挑选的地址有a一处b二处c三处d四处10三条线段长度分别为3、4、6，就以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是a锐角三角形b 直角三角形c钝角三角形d根本无法确定二、填空题1假如 abc中，两边 a7cm，b3cm，就 c 的取值范畴是 ；第三边为奇数的全部可能值为 ；周长为偶

25、数的全部可能值为 2四条线段的长分别是5cm， 6cm， 8cm， 13cm，以其中任意三条线段为边可以构成 个三角形3过 abc的顶点c 作边 ab 的垂线将 acb分为 20°和 40°的两个角，那么a， b 中较大的角的度数是学习必备精品学问点 4在 rt abc中，锐角 a 的平分线与锐角b 的平分线相交于点d，就 adb 5如图 5 125， a d， ac df，那么需要补充一个直接条件 写出一个即可 ，才能使 abcdef6三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，就这个三角形是 三角形7 abc中， ab 5， bc 3，就中线bd的取值范畴是 8如图

26、5 126， abc中， c 90°， cd ab， cm平分 ab，ce平分 dcm，就 ace的度数是 9已知： 如图 5 127，abc中，bo，co分别是 abc和 acb的平分线， 过 o点的直线分别交ab、ac于点 d、 e，且 de bc如 ab 6cm， ac8cm，就 ade的周长为 10每一个多边形都可以按图5 128 的方法割成如干个三角形而每一个三角形的三个内角的和是180°按图 5 127 的方法，十二边形的内角和是 度三、解答题1，已知：如图5 129， abc的 b、 c 的平分线相交于点d，过 d作 mn bc交 ab、ac分别于点m、n，求

27、证： bm cnmn2已知：如图5130，在 abc中， acb 90°， cd为高， ce平分 bcd，且 acd： bcd 1：2，那么 ce是 ab边上的中线对吗.说明理由学习必备精品学问点3已知：如图5 131，在 abc中有 d、e 两点，求证：bdde ecab ac4已知始终角边和这条直角边的对角，求作直角三角形 用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 5已知：如图5 132，点 c 在线段 ab上，以 ac和 bc为边在 ab的同侧作正三角形acm和 bcn，连结 an、 bm，分别交 cm、cn于点 p、q求证： pqab6已知：如图5 133， ab de，cd fa， a d， afc dcf，就 bc ef你能说出它们相等的理由吗.【参考答案】一、 1a2a3 d4 d5 b6 a7 b8 d9 a10 d二、 1 4cmc10cm ， 5cm、7cm、9cm， 16cm或 18cm；2 2；3 70°4 1355 abde（或 b e 或 c f）；6直角；7 1bd4 ；8 45 ；914cm10 1800三、 1证明：bd 、cf 平分 abc、 acb 1 2， 3 4学习必备精品学问点mn bc， 6 2， 3 5 1 6， 4 5bm dm， cn dnbm cn d