数值分析习题集及答案

1、数值分析习题集及答案 篇一：数值分析习题与答案 第一章 绪论 习题一 1.设x0,x*的相对误差为，求f(x)=ln x的误差限。 解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有 已知 x*的相对误 差 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差 限 有2 位有效数字， 有5 位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1）（2） ，相对误差 限 满 足 ， 而 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式

2、。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3位有数数字。 5.计算 四个选项： 取 ，利用 ： 式计算误差最小。 第二、三章 插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定 的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误 差 限 ， 因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton 插值 误 差 限，故 2. 在-4x4 上给出 的等距节点函数表，若用二次 ，函数表的步长h 插值法求 的近似值，

3、要使误差不超过应取多少 解：用误差估计式（5.8）， 令因得 3. 若 ，求 和. 解：由均差与导数关系 于是4. 若 的值，这里pn+1. 解 ： 可知当 而当Pn1时 于是得 有 互异，求 ，由均差对称 性 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0

4、.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7. 给定f(x)=cosx的函数表 篇二：数值分析1参考 参考答案1 一、12 2xn1xn31, 0 47, f(xn) (n0,1,) f(xn) 25 7 (k1)15(k) x2 x11336. , 1(k1) x2x1(k1)12 20 200 31024二、(1) L 01 3 001 (2) 10 120 ,U01 0 00 5 400 02 3 10 00 341 l65 a65(l61u15l62u25l63u35l64u45); u55 u56a55(l51u16l52u26l53u356l54u46) 三、先

5、造差分表如下： （1）选x10.4,x20.6,x30.8,x41.0为节点，构造三次向前Newton插值多项式 2y13y1 N(xth)y1y1t(t1)t(t1)(t2) 31 2!3! 将x1和h代入上式，则有 N3(0.40.2t)252t1/2*t(t1)5/6*t(t1)(2) 由0.40.2t0.7解得t1.5,所以 f(0.7)N(0.7)21.3125 (2) 选x30.8,x41.0,x51.2为节点，构造二次向前Newton插值式 2y3 N2(x3th)y3y3tt(t1) 2! 将x3和h代入上式，则有 N2(0.80.2t)20tt(t1) 由0.8+0.2t=0

6、.95解得t=0.75,所以 f(0.95)N2(0.95)20.5625 （3）由 f()3 ht(t1)(t2)3! (0.21.2,0t2)R2(x0th) f()3600 有R（2(xi0.2t)0.2t(t1)(t2)*0.008*maxt(t1)(t2) 0t23!3! 0.307920.5 可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。 四、 0x1,1xx2,f(x)在M2中的最佳平方逼近元为 Pxa00xa11x则a0和a1满足如下正规方程组 0，00，1a00，f，af 011111 设 22/31即 2/32/51/2解得a115/16,a03/16所求最佳平方逼近元为

7、P(x)3/1615/16*x2 五、 (1) 因Q对称正定，则对任意向量x,二次型xTQx0,故f(x)xQx0,且当仅当x0时f(x)0. T 设c为任意实数，则 (2) f(cx) (cx)TQ(cx)c2xTQx cxTQxcf(x) 下边证明三角等式f(xy)f(x)f(y)成立. f(xy)(xy)TQ(xy)xTQxyTQyxTQyyTQxxTQxyTQy2xTQy 因Q对称正定，则Q一定有因子分解形式。 QBTB 从而xTQy(BxT)(By),于是有 (3) xTQy(Bx)T(By)(Bx)T(Bx)(By)T(By)代入上面的f(xy)则有 f(xy)xTQxyTQy2x

8、TBTBxyTBTByxTQxyTQy2xTQxyTQyxTQxyTQyf(x)f(y) 所以三角不等式立，f(x)xTQx是x的一种范数 六、 设为B的任一特征值，u0为相应的特征向量，则Buu,从而 uT(ABAB)uuTAuuTBABu uTAu(Bu)TA(Bu)uTAu(u)TA(u)(12)(uTAu) 因为ABAB和A正定， 故 uT(ABAB)u(12)uTAu0120 即 1,(B)1 因此此格式对任意初始点x(0)都收敛。 篇三：数值分析复习题及答案 数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A4和3 B3和2

9、C3和4 D4和4 2 2. 已知求积公式 1 fxdx 121 f1Af()f(2)636，则A（ ） 1112 A 6 B3C2 D3 3. 通过点 x0,y0,x1,y1的拉格朗日插值基函数l0x,l1x满足（ ） 0， A l0x0l0x0 l1x10l1x11 B l0x0l0x0 0， l1x11l1x11 C1，D 1， 4. 设求方程 fx0 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A超线性 B平方 C线性 D三次 x12x2x30 2x12x23x33x3x2 2 5. 用列主元消元法解线性方程组1 作第一次消元后得到的第3个方程（）. x2x32 2x21.5x33.5 2

10、x2x33 x20.5x31.5 A B CD 二、填空 1. 设 x2.3149541.，取5位有效数字，则所得的近似值x=. fx1,x2 2.设一阶差商 fx2fx1x2x1 fx3fx261514 3fx2,x321x3x2422 ， 则二阶差商 fx1,x2,x3_ T X(2,3,1)3. 设, 则|X|2 ，|X| 。 2 4求方程 xx1.250 的近似根，用迭代公式 x x01， 那么 x1_。 yf(x,y) y(x0)y0y_。 5解初始值问题 近似解的梯形公式是 k1 11 A 516、 ，则A的谱半径 。 7、设 f(x)3x25, xkkh, k0,1,2,. ,

11、。 ，则 fxn,xn1,xn2 fxn,xn1,xn2,xn3 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。 y10 10、为了使计算成。 123 x1(x1)2(x1)3的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 T X(2,3,4)11. 设, 则|X|1 ，|X|212. 一阶均差 fx0,x1 13333 C0,C1C23 C88，那么3 已知n3时，科茨系数 因为方程 fxx42x0 在区间 1,2上满足 ，所以fx0在区间内有根。 15. 取步长h0.1，用欧拉法解

12、初值问题 y y2y x y11 的计算公式 . * * 16.设x2.40315是真值x2.40194的近似值，则x有 位有效数字。 3 17. 对f(x)xx1, 差商f0,1,2,3()。 T |X|X(2,3,7)18. 设, 则。 19.牛顿柯特斯求积公式的系数和k0 (n)Ck n 20. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字. l(x),l(x),l(x)0,1,n01n21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则i0 22. 设f (x)可微，则求方程xf(x)的牛顿迭代格式是(). (k1)(k) XBXf收敛的充要条件是。 23.

13、迭代公式 n ili(x) (). (k1)(k) xBxf中的B称为(). 给定方程24. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式 9x1x28 x5x24，解此方程组的雅可比迭代格式为( 组1 )。 25、数值计算中主要研究的误差有和。 26、设 n lj(x)(j0,1,2n) 是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 lj(xi) (i,j0,1,2n)； l(x) jj0 。 27、设 lj(x)(j0,1,2n) 是区间a,b上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为；插值 型求积公式中求积系数 Aj A j0 n j 。 28、辛普生求积公式具有次

14、代数精度，其余项表达式为。 2f(x)x1,则f1,2,3_,f1,2,3,4_。 29、 30.设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有 3设 f(x)xx1,则差商(均差)f0,1,2,3，f0,1,2,3,4 31. 32.求方程 xf(x)根的牛顿迭代格式是 。 12AAA3433.已知,则 , 。 34. 方程求根的二分法的局限性是 三、计算题 19 f(x)x, x0, x11, x2 44 1设 194,4fx上的三次Hermite插值多项式x使满足（1）试求 在 32 H(xj)f(xj), j0,1,2,.H(x1)f(x1) ， x 以升幂形式给

15、出。 （2）写出余项 R(x)f(x)H(x)的表达式 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ yf(x,y)hyy(yn14ynynn1n11)y(x)y0033 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： （提示： 利用Simpson求积公式。） 4 利用矩阵的LU分解法解方程 组 x12x23x314 2x15x22x3183xx5x20 312 y 5. 已知函数 1 1x2的一组数据： 的近似值. 求分段线性插值函数，并计算 f1.5 10x1x22x37.2 x110x22x38.3xx5x4.2 23 6. 已知线性方程组1（1）写出雅可比

16、迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2）于初始值X0,0,0 ，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算X 1 （保留小数点后五位数字）. 31,2之间的近似根 7. 用牛顿法求方程x3x10在 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 101x8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分. 1 9用二次拉格朗日插值多项式 L2(x)计算sin0.34 的值。 插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 2 10.用二分法求方程f(x)xx10在 1.0,1.5区间内的一个根，误差限10。 3 4x12x2x311 x14x22x3182xx5x22(0)T x(0,0,0)12311.用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。 12.求系数 1 A1,A2和A3,使求积公式 11 f(x)dxAf(1)Af()Af()对于次数2的一切多项式都精确成立1231 33 3x12x210x315 10x14x2x352x10x4x8 2313. 对方程组 1试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由 14. 确定求积公式 数精度. 1 1 f(x)dxAf(0.5)B