数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章

1、数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章 篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及第八章 第八章 不定积分 一. 填空题 x 1若f(e)1x，则f(x)_ 2设f(x)的一个原函数为xe，则xf(x)dx_ 3若e x x 是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx_ 4若f(x)1，则f(x)_ 5max(x,x)dx_ 6若f(x)有原函数xlnx，则xf(x)dx_ 7 ln(sinx)sin 2 3 2 x dx_ 8若 dx(12cosx) 2 Asinx12cosx B dx12cosx ，则A_，B_ 9设xf(x)dxarcsinxC，则 dxx(4x) lnx1x 2 d

2、xf(x) _ 10 _ 11 dx_ 121314 asin(lnx)cos(lnx) n x _ f(x)xf(x)dx dx1e x _ _ 1516 xe x2 (1x) dx_ 4sinx3cosxsinx2cosx dx_ 2 17已知f(2cosx)sinxtan 2 x，则f(x)_ 18 f(x)1f(x) 2 dx_ 19. 若f(x)dxF(x)C,而u(x),则f(u)du_. 20设函数f(x)的二阶导数f(x)连续,那么xf(x)dx_. 21设f(x)的原函数是 sinxx ,则xf(x)dx_. 112 22已知曲线yf(x)上任一点的切线斜率为3x23x6,且

3、x1时,y则f(x)_;f(x)的极小值是_. 1x 2 是极大值, 23已知一个函数的导数为f(x),并且当x1时,这个函数值等于 32 ,则这个函 数为F(x)_. 24 设f(sin 2 x)cosx(x1),则f(x)_. 2 25 若f(x)为连续函数,且f(x)f(x),则f(x)dx_. 26 若(f(x)dx)lnx,则f(x)_. 27 已知e28 x 2 是f(x)的一个原函数,则f(tanx)secxdx_. 2 2f()dx_. 2 xx 1x 29 设f(x)dxC,则f(x)_. 1x 1 30 在积分曲线族二、选择填空题 1设I 1xx dx中,过(1,1)点的积

4、分曲线是y_. x e1e1 x x ，则I() A.ln(1e)C B.2ln(1e)xC C.x2ln(1e)C D.ln(e1)C 2设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数 x x x 3设I1 1xdx,I2 du，则存在函数uu(x)，使() x(1xex ) u(1u) A.I1I2x B.I1I2x C.I2I1 D.I2I1 4当n1时，xn lnxdx() n n1 A.x n (lnx 1n )C B. x n1(lnx 1n1 )C n1 C.11 x n1 x n(lnx 1n1 )CD. n1

5、lnxC 7(cosx2 sin x2 )dx() A.2(sinxcos x)C B.2(cos xx2 2 2sin 2)C C.sinxcosx xx22C D.cos2 sin2C 8 xsinx 1cosx dx() A.xcotxxxx2CB.xtan2CC.x 2cotxCD.2tan2 C 9若f(x)的导函数是ex cosx，则f(x)的一个原函数为() A.e x cosxB.e x sinxC.ex cosxD.e x sinx 10若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。 A.是以l为周期的函数B.是周期函数，但周期不是l C.不是周期函数D.不一定是周期函数

6、 12已知函数y3x2 的一条积分曲线过(1,1)点，则其积分曲线的方程为() A.yx3 B.yx3 1C.yx3 2 D.yx3 C 13xf(x)dx() A.xf(x) f(x)dx B.xf(x)f(x)C C.xf(x)f(x)C D.f(x)xf(x)C 14sin2x的原函数是() A.2cos2xB. 12 cos2xC.cos 2 xD. 12 sin2x 15若f(x)为连续函数，则f(2x)dx() A.f(2x)CB.f(x)CC. 12 f(2x)CD.2f(2x)C 16. 一个函数的原函数如果有的话有( ). (A) 一个 ； (B) 两个 ； (C) 无穷多个

7、 ； (D) 都不对 . 17. 若f(x)dxF(x)C,且xatb,则f(t)dt( ). (A) F(x)c; (B) F(t)c ;(C) 1a F(atb)C; (D) F(atb)C. 18. 设f(x)为可导函数,则( ). (A) f(x)dxf(x);(B) f(x)dx f(x); f(x)C. (C) ( f(x)dx) f(x) ;(D) ( f(x)dx) 19. 若u,v都是x的可微函数,则udv( ). (A) uv(C) uv vdu ;(B) uvuvdu; vdu; (D) uvuvdu. x 2 20 已知f(x)的一个原函数是e(A) 2xe(C) e

8、x 2 ,求xf(x)dx( ). 2xe 2 x 2x 2 C; (B) 2 ; f(x)dx. (2x1)C;(D) xf(x) 21. 已知曲线上任意点的二阶导数y6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x3y6,则这条曲线的方程为( ). (A) yx2x2; (B) 3x2x3y60; (C) yx; (D) 以上都不对. 33 3 22. 若f(x)的一个原函数是ln(2x),则f(x)( ). (A) 1x 2 ;(B) 1x ;(C) ln(2x); (D) xln2x. 23. 若df(x)dg(x),则下列各式中不成立的是( ). (A) f(x)g(x); (B) f(x

9、)g(x); (C)df(x)dg(x); (D) d f(x)dxdg(x)dx. 24. 若f(x2) 1x (x0),则f(x)( ). 1x (A) 2xC;(B) lnxC; (C) 2xC;(D) f(lnx)x C 25. 若f(x)e2x,则(A) 1x 2 dx( ). C; (B) 1x 2 C; (C) lnxC; (D) lnxC. x 26. 设f(x)dxF(x)C,则e(A) F(e)C;(B) F(e x f(e x )dx( ). x )C;(C) F(ex x ) C;(D) F(e x )C. 27. 设sinx是f(x)的一个原函数,则xf(x)dx(

10、). (A) xsinxcosxC; (B) xsinxcosxC; (C) xcosxsinxC; (D) xcosxsinxC. 28. 设f(x)cosx,则f(x)在区间( )是可积的. (A) (,);(B) 0,);(C) ,;(D) 1,0. 29. 在计算积分x 2xdx时,为使被积函数有理化,可做变换( ). (A) xsint; (B) xtant; (C) xsect; (D) t 3 x. 30. x 2x 2 2x5 dx (x1) 2x22 2 4 dx( ). x1x122 c;(B) lnx2x5arctac; (A) lnx2x52arcta22x11x122

11、 c;(D) lnx2x5arctac. (C) lnx2x52arcta424 三、计算题 1. 求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x)处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5). 2. 求下列不定积分: 篇二：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章 第二十二章 曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于 V= 余弦. 2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则cosn,Lds=0 S1xcosycoszcosrds其中cos,cos, cpsr3S为曲面S的外法线方向 其中n为曲面S的外法线方向. 3. 证明 公式 Vdxdydzr=1cosr,nds 2

12、S 其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向. r=x2y2z2,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=yz2xyz,zsx2yz, xyxy2z是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1) xyzds,其中S为上半球面 S 2222xyz=az0; (2) x S2y2ds,其中S为主体xy22z1的边界曲面; (3) S1xy22ds,其中S为柱面x2y2R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分; (4) xyzds S,其中S为平面在第一卦限中的部分. 2.计算zds,其中S为圆锥表面的一部分. S2 xrcossin0raS:yrsinsin D: 02zrc

13、os 这里为常数(0 2). 3.计算下列第二型曲面积分 (1)yxzdydz+x2dzdx+y2xzdxdy,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成 S 的正方体并取处侧为正向; (2)xydydzyzdzdxzxdxdy,其中S是以原点中心,边长为2的正方体 S 表面并取外侧正向; (3)xydydzyzdzdxzxdxdy,其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体 S 表面并取外侧为正向; (4)yzdzdx,其中S是球面,x2y2z2=1的上半部分并取外侧为正向; S 2(5)xdydzydzdxzdxdy,其中S是球面xa +yb+xc=R并取222222

14、S 外侧为正向. 4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x2+y2 +z2=4的内部流过球面的流量 5.计算第二型曲面积分 I=fxdydz+gydzdx+hzdxdy S 其中S是平行分面体(0xa,0yb,0zc)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数, 6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2 +z2=a2,z=0的磁通量, 7.应用高斯公式计算下列曲面积分: (1) (2) Syzdydzzxdzdssydxdy,其中S为单位球面x2+y2+z2=1的外侧; xdydzydzdszdxdy,其中S是立方体0x,y,za

15、的表面取外侧; xdydzydzdszdxdy,其中S为锥面x2+y2 =z2与平面z=h所围的空间区222222S S(3)域(0zh)的表面方向取外侧; (4) x S2dydzydzdszdxdy,其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧; 33 (5) xdydz Sydzds2dxdy ,其中S为上半球面Z=a2x2y2的外侧. 8.应用高斯公式计算三重积分 xyyzzxdxdydz V 其中v是由x0,y0,0z1与x2y2所确定的空间区域. 9.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分 (1)yzdx+x2z2dy+x2y2dz,其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线,它22 L 的走

16、向使新围平面区域上侧在曲线的左侧; (2)xydxdyzdz,其中为y2z2=1,x=y所交的椭圆的正向; L22 (3)zydx+xzdy+yxdz,其中L是以A(a,0, 0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形L 沿ABCA的方向. 10.若L是平面xcos+ycos+zcosrp=0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求 dx dy dz Lcos cos cosr x yz 其中L依正向进行. 11.若r=x2y2z2,计算r2,1 r,fr,rn(n=3) 12.求u=x22y23z2+2xy4y+2y4z在点0(0,0,0),A(1, 1,1),B(1,1,1)的梯

17、度,并求梯度为零之点. 13.计算下列向量场A的散度和旋度: (1)A=yz,zx,xy222222; (2)A=xyz,xyz,xyz222; (3)A=xyzzx,y,z. xy 22214.流体流速A=x,y,z 流量. 求单位时间内穿过1球面x82+ y+z2=1(x1,y0,z0)的2 15.设流速A=y,x,c(c为常数)求环流量 (1)沿圆周xy=1,z=0; 2(2)沿圆周x2y=1,z=0. 222 三、考研复习题 u x221.证明:若u=+uy22+uz22,S为包围区域V的同面的外例,则 (1)udxdydz=VSunds; (2)u Sunds=udxdydz+uud

18、xdydz VV 2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明: u xwx(1)WVdxdydz=uwdydz SVudxdydz; (2)Wudxdydz=WVSundsuVWdxdydz. 3.设A=r r3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有 Ads S=0.2,4. 4.证明公式: fmsincosnsinsinPcossindd D =2fumup11222du 篇三：数学分析(华师大二版)课本上的习题6 P.124 习题 1试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使f(

19、)0： 1xsin （1）f(x)x 0 解 （1）因为f在0,理，(0, 0xx0 1 ， （2）f(x)|x|1x1 1 1 连续，在(0, 1 )可导，且f(0)f()，所以由Rolle定 1 )，使得f()0。 1x0 ，且f(0)不存在，故不存在一点，使f()0 1x0 3 （2）因为f(x) 2证明：（1）方程x3xc0（这里c为常数）在区间0,1内不可能有两个不同的实根； 32 证明 设f(x)x3xc，由于方程f(x)3x30在(0,1)内没有根，所以 （由P.120，例1）方程x3xc0在区间0,1内不可能有两个不同的实根。 （2）方程xpxq0（n为正整数）当n为偶数时至多

20、有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 证明 设f(x)xpxq，于是f(x)nx奇数，故方程f(x)nx n n1n n1 n 3 p0。当n为偶数时，n-1为 p0至多有一个实根（因为幂函数nxn1p严格递增）， 从而方程xpxq0至多有两个实根； 当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程 nf(x)nxn1p0至多有两个实根，从而方程xpxq0当n为奇数时至多有三 个实根。 3证明：若函数f和g均在区间I上可导，且f(x)g(x)，xI，则在区间I上 f和g只相差一常数，即f(x)g(x)c（c为某一常数） 证明 令F(x)f(x)g(x)，则F在区间I上可导，

21、且F(x)f(x)g(x)0，由推论1，存在常数c，使得F(x)c，即f(x)g(x)c 4证明 （1）若函数f在a,b上可导，且f(x)m，则f(b)f(a)m(ba) （2）若函数f在a,b上可导，且|f(x)|M，则|f(b)f(a)|M(ba) （3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1sinx2|x2x1| 证明 因为f在a,b上可导，所以f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，于是(a,b)，使得f(b)f(a)f()(ba) （1）因为f(x)m，所以f(b)f(a)f()(ba)m(ba)，从而有 f(b)f(a)m(ba) （2）因为|f(x)|M，所以|f(b)f

22、(a)|f()|ba|M(ba) （3）不妨设x1x2，正弦函数f(x)sinx在x1,x2上连续，在(x1,x2)可导，于是(a,b)，使得|sinx1sinx2|cos|x1x2|x2x1| 5应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） babba ，其中0ab ln baa 证明 设f(x)lnx，则f在a,b上连续且可导，所以f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，于是(a,b)，使得ln b1 lnblnaf()(ba)(ba)，a 因为0ab，所以 bababababba，从而 ln babaa h2 arctanhh，其中h0 （2）2 1h 证明 设f(x)arcta

23、nx，则f在0,h上满足Lagrange中值定理的条件，于是 (0,h)，使得arctanharctanharctan0f()(h0) h 。因为 2 1 h2hh h，从而arctanhh。 0h，所以2 1h2121h 6确定下列函数的单调区间： （1）f(x)3xx （2）f(x)2xlnx 2 2 x21 （3）f(x)2xx （4）f(x) x 2 解 （1）f(x)32x，令f(x)0，得x当x 3 2 33 时，f(x)0，f递增；当x时，f(x)0，f递减。 22 14x211（2）f的定义域为x0。f(x)4x，令f(x)0，得x xx2 当0x 11 时，f(x)0，f递减

24、；当x时，f(x)0，f递增。 22 1x2xx 2 （3）f的定义域为0x2。f(x)，令f(x)0，得x1 当0x1时，f(x)0，f递增；当1x2时，f(x)0，f递减。 1x21 0，故f在其定义域 （4）f的定义域为x0。f(x)122 xx(,0)(0,)递增。 7应用函数的单调性证明下列不等式： x3 （1）tanxx，x(0,) 33 x3 证明 设f(x)tanxx，则f在x0连续，且f(0)0。因为 3f(x)sec2x1x2tan2xx20，x(0, 3 )，故f在(0, 3 )严格单调递 x3 增，又因f在x0连续，于是f(x)f(0)0，从而tanxx，x(0,)。 33 （2） 2x sinxx，x(0,2x 2 ) 2sinxsnix2 。设f(x)则f在xsinx， xx2xcosxsinx(xtanx)cosx 连续，且f()0。因为f(x)，0x(0,)。22 22xxsinx2 所以f在(0,)严格单调递减，于是f(x)f()0，从而，x(0,)。 22x2 证明 先证 其次证明：sinxx。设f(x)xsinx，则f在x0连续，且f(0)0。因为 f(x)1cosx0，x(0, 2 )。所以f在(0, 2 )严格单调递增，又因f在x0连 续，于是f