(完整版)2.3.1平面向量基本定理

1、邵一中邵一中 杜杜 海海 光光2.3.12.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理当当 时，时， 0与与 同向，同向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a当当 时，时， 0与与 反向，反向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a|当当 时，时， 00b ，且，且 。|0b一、复习提问一、复习提问1、向量共线定理是什么？、向量共线定理是什么？.使，一个实数共线，当且仅当有唯一与)0(向量abbaaab2、向量的加法：、向量的加法：obcaaboaabbbaba平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则 我们小时候我们小时候都玩过都玩过“滑滑梯滑滑梯”，滑梯越高、越光滑梯越高、越光滑，滑的速度

2、越滑，滑的速度越快，你知道是什快，你知道是什么力量让你从滑么力量让你从滑梯的上端滑下来梯的上端滑下来的吗？的吗？二、新课引入二、新课引入 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为为g g，下滑力为，下滑力为f f1 1，木块对斜面的压力为，木块对斜面的压力为f f2 2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？关系？g gf f1 1f f2 2 在物理中，力是一个向量，在物理中，力是一个向量，力的合成力的合成就是就是向量的加法向量的加法运算运算. .力力也可以也可以分解分解，任何一个大小，任何一个大小不为零的力，都可以不为零

3、的力，都可以分解成两分解成两个不同方向的分力之和个不同方向的分力之和. .将这将这种力的分解拓展到向量中来，种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论就会形成一个新的数学理论. . 三、新课探究：三、新课探究：平面向量基本定理平面向量基本定理 c c思考思考1 1：给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1e2 22 2e2 2b bo o3 3e1 1a ae1 1d de1 1-2-2e2 23 3e1 12 2e2 2至少需要至少需要2个非零向量，这两个向量需不共线。个

4、非零向量，这两个向量需不共线。思考思考2：若给定平面内一个非零向量若给定平面内一个非零向量e，能表示，能表示平面内的任一个向量吗？平面内的任一个向量吗？不行，只能表示与不行，只能表示与e共线的向量。共线的向量。思考思考3：若要表示平面内的任一向量若要表示平面内的任一向量a，则至少，则至少需要几个向量？这几个向量需满足什么条件？需要几个向量？这几个向量需满足什么条件？2eao om mn nc conomocoboa21即即2211eea1e1e2e向量的分解向量的分解ab 给定平面内两个不共线的向量给定平面内两个不共线的向量e1, , e2, ,如何表示平面内任一向量如何表示平面内任一向量a

5、？思考思考4：几何画板课件几何画板课件问题：问题：1. 平面内任一向量平面内任一向量 都能用都能用 表示吗？表示吗？a12,e e 2. 2. 确定了，确定了， 表示形式唯一吗？表示形式唯一吗？12,e e a1e2ea研究研究2e 我们把不共线向量我们把不共线向量 ， 叫做表示这一叫做表示这一平面内所有向量的一组平面内所有向量的一组基底基底，记为，记为 。 1e12,e e 平面向量基本定理：平面向量基本定理： 如果如果 和和 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共不共线线的向量，那么对于这一平面内的的向量，那么对于这一平面内的任意任意向向量量 ，有且只有一对有且只有一对 ， 使使 1ea

6、2e21，2211eea证明：存在性证明：存在性m m2211eeonomoc1ea2e2e1ea唯一性：唯一性：如果存在另一对实数如果存在另一对实数x,yx,y使使 ， 12oaxeye 12xeye1 12 2a ea e1122()()0 xa eya e即：20ya不妨设：不妨设：1212xaeeya 由平行向量基本定理由平行向量基本定理 这与假设矛盾这与假设矛盾. 12ee与 平行。2, ya1即x=a1 12 2a ea e1 12 2a ea e12xeye2, ya1x=a因为因为 和和 不平行，即方向不不平行，即方向不相同，也不相反。相同，也不相反。1e2ea ab bao

7、oc c1.1.一平面向量的基底有多少对？一平面向量的基底有多少对？（有无数对）（有无数对）f fn nm mm mo oc cn nae e理解：理解：（可以不同，也可以相同）（可以不同，也可以相同）o oc cf fm mn nae e e ea ab bn noc = 2ob + on oc = 2ob + on oc = 2oa + oeoc = 2oa + oeoc = of + oe oc = of + oe 2. 如果基底选取不同，那么表示同一向如果基底选取不同，那么表示同一向量的实数量的实数1，2 是否相同？是否相同？做一做做一做 1.下列关于基底的说法正确的是下列关于基底的说

8、法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底基底基底中的向量可以是零向量基底中的向量可以是零向量平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的于基底的线性分解形式也是唯一确定的 a b c d答案：答案：c非零向量非零向量aob范围：向量范围：向量a与与b的夹角范围是的夹角范围是_当当0时时a与与b_当当180时时a与与b_(2)垂直：如果垂直：如果a与与b的夹角是的夹角是_，则称，则称a与与b垂直，记作垂直，记作_0，180同向同向反向反向90ab做一做做一做2.已知向量已知向量

9、a与与b的夹角为的夹角为60，则向量，则向量a和和b的夹角为的夹角为_解析：如图所示，可得解析：如图所示，可得a与与b的夹角为的夹角为60.答案：答案：60想一想想一想提示：提示：不是应该是不是应该是bac的补角的补角优化设计优化设计p47例例1、例、例2、例、例3 op补充：补充：已知已知a,ba,b是直线是直线l l上任意两点上任意两点,o,o是是l l外外一点，求证：对直线一点，求证：对直线l l上任一点上任一点p,p,存在实数存在实数t t，使，使 关于关于 的解析式为：的解析式为：,oa ob (1).t oatob op并且，满足上式的点并且，满足上式的点p一定在一定在l上。上。(

10、1).t oatob op分析：分析：点点p在在l上上1. p在在a,b确定的直线确定的直线l上，基底向量上，基底向量 的的系数和为系数和为1。,oa ob 1,2t 2.向量等式叫做向量等式叫做直线直线l的向量参数方程式的向量参数方程式，t是参数。是参数。特别地特别地 m是是ab的的中点中点，则，则1()2omoa ob 三点共线的方法三点共线的方法(1).t oatob opp、a、b三点共线三点共线小结：小结：1.平面向量基本定理。平面向量基本定理。（1 1）基底确定，能以唯一的表示平面内任意向量。）基底确定，能以唯一的表示平面内任意向量。（2）基底选取不同，表示向量的实数对不唯一。）基底选取不同，表示向量的实数对不唯一。2.2