初一数学一题多解

1、例题一、 如图 1，已知 ab/cd，试找出b 、bed 和d 的关系并证明；我们找出他们的关系是：bedbd ；证明如下：方法一：如图 2，过点 e 作 ef/ab ；由于ab /ef ，所以befb ；由于ab / cd ，ab / ef，所以ef / cd，所以fedd，所以bedbeffedbd ；方法二：如图3，过点 e 作 ef/ab ；由于 ab /ef ，所以befb180 ， 即bef180b ；由于ab / cd ，ab / ef，所以ef / cd，所以fedd180，即fed180d ；由于befbedfed360，所以bed360beffed 360180b180d

2、bd ；方 法 三 ： 如 图4 ， 连 接bd； 因 为ab / cd， 所 以abdb dc1 8 0 ， 即abeedc180ebdedb；在bed中，bed180ebdedb ，所以bedabeedc ；方法四：如图5，过点e 做 fgab ，垂足为点f，交 cd于点 g；由于ab / cd ，所以egd180efb90；在直角 egd中，ged90d ，在直角 efb中，f90e bb ，所以bed180gedfeb18090d90bbd ；方法五：如图6，延长 be交 cd于点 f；由于ab / cd，所以efdb ；在 efd中，efdd180fed，又因为bed180fed，所

3、以bedefddbd ；例题二、 证明：假如一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形已知：如图1，在 abc中， ad=bd=cd求证： abc是直角三角形证法 1如图 1，利用两锐角互余 ad=cd， cd=bd， 1= a， 2= b；在 abc中， a+ b+ acb=180°， a+ b+ 1+ 2=180°， 2（ a+ b）=180°， a+ b=90°， acb=90°， abc是直角三角形；证法 2如图 2，利用等腰三角形的三线合一延长 ac到 e 使 ce=ac，连接 be ad=bd， cd是 abe

4、的中位线 cd1 be ；2 cd1 ab ，2 ab=be bcac， abc是直角三角形证法 3如图 3，利用此三角形与某个直角三角形相像（或全等）过点 d作 de bc交 bc于点 e cd=bd， be1 bc ，2 bebcbd1，ab2 b 是公共角， bde bac； acb= deb=90°， abc是直角三角形；证法 4如图 4，利用假如一条直线垂直于两平行线中的一条，就也垂直于另一条取 bc中点 e，连接 de ad=bd， de是 abc的中位线 deac cd=bd， ce=be， debc acbc， abc是直角三角形证法 5如图 5，构造四边形，并证其为

5、矩形延长 cd到 e 使 de=cd，连接 ae、be ad=bd=cd ad=bd=cd=de且, ab=ce四边形 abcd是矩形 acb=90°， abc是直角三角形证法 6如图 6，利用勾股定理的逆定理设 ac=b， bc=a， ab=c，取 bc中点 e，连接 de de是 abc的中位线 de1 ac21 b ；2 cd=bd， de bc；在 rt deb中，de 2be 2bd 2 ，21 b2221 a1 c；22 a 2b 2c 2 ， abc是直角三角形；证法 7如图 7，利用两直线平行，再证同旁内角相等；延长 cd到 e 使 de=cd，连接 be； ad=b

6、d， 1= 2， adc bde（ sas）， acd= e， ac=be， acbe， acb+ ebc=180°；又 ad=cd， ab=ce； bc是公共边， acb ebc（ sss）； acb= ebc； acb=90°， abc是直角三角形；证法 8如图 8，利用直径所对的圆周角是直角；以 d 为圆心， da长为半径作圆； ad=bd=c，d点 c、b 在圆上， ab 是直径； acb=90°； abc是直角三角形；例题三、 某人买 13 个鸡蛋、 5 个鸭蛋、 9 个鹌鹑蛋， 共用去 9.25 元， 假如买 2 个鸡蛋、4 个鸭蛋、 3 个鹌鹑蛋，就

7、共用去3.20 元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1 个，共需多少钱？这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不行解， 但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值；所以可解； 这类题对同学来说是有一些难度的，但假如把握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高同学才能的成效；下面让我们先来列出方程；设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x 、y 、z 元，就依据题意，可得方程13x5 y2x4 y9z9.25，求 x3z3.20yz 的值；解法一：变元法：1zx把 z 看成常数，解关于x、y 的方程，可得21110zy20然后代入所求式xyz 中，得： xyz1

8、z 21110 z20z1.05答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1 个，共需1.05 元；解法二：直接构造法：由于题目中要求xyz 的值，所以将原方程互助组变形直接构造出xyz ；13x5 y2x4 y9z9.253z3.205 x4 xyzyz8x4z2xz9.253.204+得21xyz22.05xyz1.05答：略解法三：间接构造法：将原方程组中的两边同乘以常数a，的两边同乘以常数b，得13ax 2bx5ay 4by9az 3bz9.25a3.20b +得13a2b x5a4b y9a3b z9.25a3.20b我们想要求的代数式是x+y+z ，令 13a2b5a4b9 a3b可得 a=1，

9、 b=4，代入上式得21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05x+y+z=1.05例题四、三角形一题多解如图：已知 ab=ac，e 是 ac延长线上一点， 且有 bf=ce，连接 fe 交 bc于 d；求证： fd=de；证法一证明：过e 点作 em ab 交 dc延长线于m点，就 m= b，又由于 acb=bacb= ecm= m，所以 ce=em，又 ec=bf从而 em=bf， bfd= dem就 dbf dme，故fd=de；证法二证明：过e 点作 em ab交 dc延长线于m点，就 m= b，又由于 acb=bacb= ecm= bfd= demm，所以 ce=em，又

10、 ec=bf从而 em=bf，就 dbf dme，故fd=de；证法二证明：过f 点作 fm ae，交 bd于点 m，就 1= 2 = b所以 bf=fm， 又 4= 3 5= e所以 dmf dce，故 fd=de；例题五、平行四边形一题多解如图 4，平行四边形abcd中 ad=2ab,e、f 在直线 ab上，且ae=bf=ab求,证： df ce.证法一、易知 adf、 bce为等腰三角形，故1=f, 2= e, 又 cd ab,故 3=f, 4= e, 从而 1= 3， 2= 4，而000 1+2+ 3+4=180 ，故 3+ 4=90 ，说明 cod=90，所以 df ce；证法二、如图5，连接 mn，就 cd=bf,且 cd bf，故 bfcd为平行四边形，就cn=bn=ab同,理 ,dm=ma=ab故,cn=dm且 cndm，得平行四边形 cdm，n 易见 cd=d，m 故 cdmn也是菱形， 依据菱形的对角线相互垂直，结论成立；证法三、如图6，连接 bm、an, 可证 afn中， bn=bf=ba就, afn为直角三角形，即df an,利用中位线定理可知an ce，故 df ce；证法四、如图7，作 dg ce交 ae延长线于g，就 eg=cd=ab=ae故,ad=ag=af从,而 dfdg,而