多级火箭建模

1、1 1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？ 1 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星、为什么不能用一级火箭发射人造卫星? ? （1 1）卫星能在轨道上运动的最低速度）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设：假设：（i i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii

2、ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 星的引力忽略不计。星的引力忽略不计。 分析：分析：根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: 2kmFr在地面有在地面有: :2kmmgR得得: : k=gR2 R R为地球半径，为地球半径，约为约为64006400公里公里 故引力故引力: : 2RFmgr假设(ii)dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有故又有: :2mFr从而从而: :gRr设设g=9.81g=9.81米米/

3、/秒秒2 2，得，得: : 卫星离地面高度卫星离地面高度 ( (公里公里) )卫星速度卫星速度 ( (公里公里/ /秒秒) )100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 假设：假设：火箭重力及空气阻力均不计火箭重力及空气阻力均不计 分析：分析：记火箭在时刻记火箭在时刻t的质量和速度分别为的质量和速度分别为m(t)和和(t) 2()( )()dmm ttm ttOtdt 有：有：记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为

4、记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），（常数）， 由动量守恒定理：由动量守恒定理： 2( ) ( )() ()()( ( )dmm ttm tttttOttudt 0 0和和m m0 0一定的情况下，一定的情况下，火箭速度火箭速度(t)(t)由喷发由喷发速度速度u u及质量比决定。及质量比决定。 ddmmudtdt 故：故：由此解得：由此解得：00( )ln( )mtum t( (1) ) （2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 现将火箭现将火箭卫星系统的质量分成三部分：卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星）（有效负载，如卫星）（ii）mF（燃料质

5、量）（燃料质量）（iii）mS（结构质量（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）。如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为最终质量为mP + mS ，初始速度为，初始速度为0，所以末速度：所以末速度：lnOPSmumm根据目前的技术条件和燃料性根据目前的技术条件和燃料性能，能，u只能达到只能达到3公里公里/秒，即使秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不发射空壳火箭，其末速度也不超过超过6.6公里公里/秒。秒。 目前根本不目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质实际效益越来越低。如果将结构质量

6、在燃料燃烧过程中量在燃料燃烧过程中不断减少，那不断减少，那么末速度能达到要求吗？么末速度能达到要求吗？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假设：假设： 记结构质量记结构质量mS在在mS + mF中占的比例为中占的比例为，假设火，假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以与与（1-）的比例同时减少。）的比例同时减少。 建模建模: : 由由 2( ) ( )() ()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tttttttutOtdtdt 得到：得到：(1)dvdmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln( )mtum t 理想火箭与一

7、级火箭最大的区别在于，当火箭燃料理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP， 所以最终速度为：所以最终速度为： 0(1)lnPmum只要只要m0足够大，我们可以足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具使卫星达到我们希望它具有的任意速度。有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星计（按比例的粗略估计）发射卫星要使要使=10.5公里公里/秒才行，则可推秒才行，则可推算出算出m0/ mp约为约为51,即发射一吨重的即发射一吨重的卫星大约需要卫星大约需要

8、50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 3 3、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n，当第，当第i级火箭的燃料烧尽时，第级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用级火箭。用mi表示第表示第i级火箭的质量，级火箭的质量，mP表示有效负载。表示有效负载。 先作如下假设：先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的）设各级火箭具有相同的 ,即即i级火箭中级火箭中mi为结构为结构质量，（质量，（1-）mi为燃料质量。为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不

9、变，设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为并记比值为k k。 考虑二级火箭：考虑二级火箭： 由由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为： 12212lnPPmmmummm当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为： 2122222122lnlnPPPPPPmmmmmmmuummmmmmm该假设有点强加该假设有点强加的味道，先权作的味道，先权作讨论的方便吧讨论的方便吧又由假设（又由假设（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍设仍设u=3公里公里/秒，且为了计算方便，近似取秒，且为了计算方便，近似

10、取=0.1，则可，则可得：得： 1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，则应使秒，则应使: 10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm类似地，可以推算出三级火箭：类似地，可以推算出三级火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同样假设下在同样假设下: : 33113ln9ln0.110.11kkkk要使要使3=10.5公里公里/秒，则秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+

11、m2+ m3+ mP）/ mP77。 三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节省了一半几乎节省了一半 是否三级火箭就是最省是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进对四级、五级等火箭进行讨论。行讨论。考虑考虑N N级火箭：级火箭： 记记n级火箭的总质量（包含有效负载级火箭的总质量（包含有效负载mP）为）为m0 ，在，在相同的假设下可以计算出相应的相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表的值，见表3-2n（级数）（级数）1 2 3 4 5 （理想）（理想） 火箭质量（吨）火箭质量（吨）/ 149 77 65 60 50表3-2由于工艺的复杂性及每

12、节火箭由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最算的，三级火箭提供了一个最好的方案。好的方案。当然若燃料的价钱很便宜当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。也可选择二级火箭。4 4、火箭结构的优化设计、火箭结构的优化设计 3 3中已经能说过假设中已经能说过假设(ii)(ii)有点强加的味道；现去掉该有点强加的味道；现去掉该假设假设，在各级火箭具有相同在各级火箭具有相同的粗糙假设下，来讨论火箭的粗

13、糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。结构的最优设计。 W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mPWn= mn+ mPWn+1= mP记记应用（应用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度： 1212231lnnnnnWWWumWmWmW1121,nnnWWkkWW记记112121ln1111nnnnnWWWWuWWWW则则11211 21231nnnWWWWk kkWWWW又又问题化为，在问题化为，在n一定的条件下，求使一定的条件下，求使k1 k2kn最小最小 1ln(1)(1)nnkkukk解条件极值问题：解条件极值问题： 12121min. .(1)(1)nnnk kk

14、k kkstCkk或等价地求解无约束极值问题：或等价地求解无约束极值问题： 12121min(1)(1)nnnk kkk kkaCkk可以解出最优结构设计应满足：可以解出最优结构设计应满足： 12nkkk火箭结构优化设计讨论火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！面的讨论都是有效的！2 2 空中防撞系统的模型设计空中防撞系统的模型设计 在约在约10,000米高空的某边长米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其

15、飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。以避免碰撞。现假定条件如下：以避免碰撞。现假定条件如下： （1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里公里 （2）飞

16、机飞行方向角调整的幅度不应超过）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度度 （3）所有飞机飞行速度均为每小时）所有飞机飞行速度均为每小时800公里公里 （4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60 公里以上公里以上 （5）最多需考虑）最多需考虑6架飞机架飞机 （6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。）不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过以下数据进行计算（方向角误差

17、不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角度）。要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。调整的幅度尽量小。 设该区域设该区域4 4个顶点的座标为个顶点的座标为（0,00,0）,(160,0),(160,160),(0,160),(160,0),(160,160),(0,160)。 记录数据为：记录数据为： 飞机编号飞机编号 横座标横座标X 纵座标纵座标Y 方向角（度）方向角（度） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入新进入 0 0 52 注：方向角指飞行方向与注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角

18、。轴正向的夹角。 试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。1 1 问题的实际背景问题的实际背景 空中交通管制问题中抽象出来的。空中交通管制是保空中交通管制问题中抽象出来的。空中交通管制是保证飞机飞行安全以及提高飞行效率的重要手段。设想在证飞机飞行安全以及提高飞行效率的重要手段。设想在一繁忙的航空港附近或主要航线的交叉地带，经常有不一繁忙的航空港附近或主要航线的交叉地带，经常有不同航向、不同高度层的飞机在飞行，如何调度它们，使同航向、不同高度层的飞机在飞行，如何调度它们，使它们在飞行过程中互不相碰，就构成了交通管制系统要它们在飞行过程中互不相碰，就

19、构成了交通管制系统要解决的主要问题。解决的主要问题。 目前航空界采取的一种方案是，把空间区域按高度分目前航空界采取的一种方案是，把空间区域按高度分层（例如以层（例如以600米间隔为一层），然后设定一水平坐标米间隔为一层），然后设定一水平坐标系，规定飞行方向角在系，规定飞行方向角在0度到度到180度之间的飞机在偶数度之间的飞机在偶数层飞行，方向角在层飞行，方向角在180度至度至360度之间的飞机在奇数层度之间的飞机在奇数层飞行。这样使得在同一层内飞机的航向基本一致，而航飞行。这样使得在同一层内飞机的航向基本一致，而航向相反的飞机在不同层次飞行。如果在同一层内飞行的向相反的飞机在不同层次飞行。如果

20、在同一层内飞行的飞机仍有航线冲突，则令其中一架上升（或下降），以飞机仍有航线冲突，则令其中一架上升（或下降），以避免碰撞。避免碰撞。2 2 合理的假设合理的假设 （1 1）每每架飞机可视为区域内的一个几何点。因为飞机的架飞机可视为区域内的一个几何点。因为飞机的长度与区域的大小相比可以忽略不计；长度与区域的大小相比可以忽略不计； （2 2）忽略飞机调整方向的反应时间，即认为从控制中心）忽略飞机调整方向的反应时间，即认为从控制中心发出指令到飞机调整完毕是瞬时的；发出指令到飞机调整完毕是瞬时的； （3 3）暂不考虑飞机的转弯半径及由拐弯导致的时间的延）暂不考虑飞机的转弯半径及由拐弯导致的时间的延迟，即认为飞机在区域内做直线或折线飞行；迟，即认为飞机在区域内做直线或折线飞行； （4 4）区域内的飞机已满足互不相撞的条件，即认为从第）区域内的飞机已满足互不相撞的条件，即认为从第一架飞机开始，每当有一架新飞机进入到该区域，则作及时一架飞机开始，每当有一架新飞机进入到该区域，则作及时的调整，以保证区域内飞机互不相撞；的调整，以保证区