初一数学奥赛基础知识讲义2

1、七年级奥赛数学基础学问讲义主讲：第一讲和肯定值有关的问题就代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）a -3ab 2c ac2a 2bd b解 ： | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-a+b+c-a+b-c=-3a分析：解肯定值的问题时，往往需要脱去肯定值符号，化成一般的有理数运算；脱去肯定值的符号时，必需先确定肯定值符号内各个数的正负性，再依据肯定值的代数意义脱去肯定值符号；这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判定肯定值符号内数的符号，从而去掉肯定值符号，完成化简；一、 学

2、问结构框图：数例 2 已知： x0z ， xy0 ，且yzx ， 那么xzyzxy的值（）a 是正数b 是负数c是零d 不能确定符号解：由题意，x、 y、z 在数轴上的位置如下列图：所 以 x x 0zyzz yzxyxy二、 肯定值的意义：(1) 几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的肯定值，记作|a| ；(2) 代数意义：正数的肯定值是它的本身；负数的肯定值是它的相反数；零的肯定值是零；分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴；这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺当化简铺平了道路；虽然例题中没有

3、给出数轴，但我们应当有数形结合解决问题的意识；例 3（分类争论的思想）已知甲数的肯定值是乙数肯定值的3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；如数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中查找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数 符号相反，即一正一负；那么到底谁是正数谁是负数，我们应当用分类争论的数学思想解决这一问题；a也可以写成：| a |0当a为正数当a为0解：设甲数为x ，乙数为y由题意得：（ 1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：x3 y，a 当a为负数说明：（） |a| 0 即|a| 是一个非负数；（） |a

4、| 概念中包蕴分类争论思想；三、 典型例题如 x 在原点左侧， y 在原点右侧，即x<0 ， y>0，就4y=8，所以 y=2 ,x= -6如 x 在原点右侧， y 在原点左侧，即x>0 ， y<0，就-4y=8，所以 y=-2,x=6（ 2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：如 x 、y 在原点左侧，即x<0， y<0 ，就-2y=8，所以 y=-4,x=-12如 x 、y 在原点右侧，即x>0， y>0 ，就2y=8，所以 y=4,x=12例 4（整体的思想）方程x20212021x的解的个数是（）例 1（数形结合思想）已知a、b、c 在数轴

5、上位置如图：a 1 个b 2 个c 3 个d无穷多个分析： 这道题我们用整体的思想解决；将 x-2021 看成一个整体，问题即转化为求方程aa 的解，利用肯定值的代数意义我们不难得到，负数和零的肯定值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即此题的答案为d ；综上，我们得到a 与 b 两点间的距离可以表示为x1例 5（非负性）已知|ab2|与|a 1|互为相互数，试求下式的值（ 3）结合数轴求得x2x3 的最小值为，取得最小值时x 的取值范畴为 .1111分析：x2即 x 与2 的差的肯定值，它可以表示数轴上x 与2 之间的距离；aba1b1a2b2a2007b2007分析：利用肯定值的

6、非负性，我们可以得到：|ab 2|=|a 1|=0，解得： a=1,b=2x3x3即 x 与-3 的差的肯定值，它也可以表示数轴上x 与-3 之间的距离；于是1111如图， x 在数轴上的位置有三种可能：aba1b1a2b2a2007b20072233420212021111111122334202120211111图 1图 2图 3图 2 符合题意112021（ 4） 满意 x1x43 的 x 的取值范畴为2021分析：同理x1 表示数轴上x 与-1 之间的距离，x4 表示数轴上x 与-4 之间的距离；此题2021在上述分数连加求和的过程中，我们采纳了裂项的方法，奇妙得出了最终的结果同学们可

7、以再即求， 当 x 是什么数时x 与-1 之间的距离加上x 与 -4 之间的距离会大于3；借助数轴， 我们可以得到正确答案：x<-4 或 x>-1 ；深化摸索，111244668120212021说明：借助数轴可以使有关肯定值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为肯定值问题；这种相互转化在解决某些问题时可以带来便利；事实上，假如题目变成求值，你有方法求解吗？有爱好的同学可 以在课下连续探究；例 6（距离问题） 观看以下每对数在数轴上的对应点间的距离4 与2 ，3 与 5，2 与6 ，4与 3. 并回答以下各题：（ 1）你能发觉所得距离与这两个数的差

8、的肯定值有什么关系吗？答： .（ 2）如数轴上的点a 表示的数为x，点 b 表示的数为1，就 a 与 b 两点间的距离ab表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数 b 的点之间的距离； 这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的学问解决了（3）、（4）这两道难题；四、 小结1懂得肯定值的代数意义和几何意义以及肯定值的非负性可以表示为x1x1 2体会数形结合、分类争论等重要的数学思想在解题中的应用分析：点 b 表示的数为 1，所以我们可以在数轴上找到点 b 所在的位置；那么点 a 呢？由于 x 可以表示任意有理数，所以点 a 可以位于数轴上的任意位置；那么，如何求出 a 与 b 两点

9、间的距离呢？结合数轴，我们发觉应分以下三种情形进行争论；当 x<-1 时，距离为 -x-1,当-1<x<0 时，距离为x+1 ，当 x>0，距离为x+1其次讲：代数式的化简求值问题整体代人，3 x 29 x24代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们敏捷把握，整体代人的方法就是其中之一；一、学问链接例 4 已 知a 2a10 ，求 a 32a 22007 的值 .1 “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子；它包括整式、分式、二次根式等内容，是中学阶段同学们应当重点把握的内容之一；分析：解法一（整体代人）：由a2a10得

10、a 3a 2a02用详细的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值；所以：a 32a 22007注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简洁的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等学问打下基础；二、典型例题a 3a 2aa 212007a 220072007例 1如多项式2mx2x25x87 x23 y5x的值与 x 无关，2021解法二（降次） ：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，仍具有降次的功能；求 m22m25m4m 的值 .由 a 2a130 ，得 a 221 a ，分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零所以：a2

11、2 a20072由于 2mx2x 25x87x 23 y5x2m8 x 23y8aa2a2007所以m=4将 m=4 代人， m22m25m4mm24m41616441a a2aaaa 22a 222 a200720072007利用“整体思想”求代数式的值12007例 2x=-2 时，代数式ax5bx 3cx6 的值为 8，求当 x=2 时，代数式ax 5bx 3cx6 的值；2021解法三（降次、消元） ： a 2a1（消元、减项）分析：由于ax 5bx3cx68a 32a23220072当 x=-2 时，25 a2 3 b2c68得到2 5 a2 3 b2c68 ，aa2a aa2aa20

12、072007所以 2 5 a2 3 b2c8614aa2120072007当 x=2 时，ax 5bx 3cx6 = 25 a23 b2c6146202021例 3当代数式x 23x5 的值为 7 时 , 求代数式3 x29 x2 的值 .例 5（实际应用） a 和 b 两家公司都预备向社会聘请人才，两家公司聘请条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：a 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200 元； b 公司，半年薪五千元，每半2分析：观看两个代数式的系数年加工龄工资50 元；从收入的角度考虑，挑选哪家公司有利？由 x23x57得 x3x2，利用方程同解原理，得23x9 x6分析：分别列出第一年

13、、其次年、第n 年的实际收入（元）第一年： a 公司10000； b 公司5000+5050=10050其次年： a 公司10200； b 公司5100+5150=10250第 n 年： a 公司10000+200n-1 ）；b 公司： 5000+100n-1+5000+100n-1+50=10050+200n-1由上可以看出b 公司的年收入永久比a 公司多 50 元，如不细心考察很可能选错；第一行1357其次行1513119第三行17192123第四行31292725依据上面规律，2007 应在abcabacbca 125 行,3 列b. 125行,2 列c. 251行,2 列d. 251行

14、,5 列例 6三个数 a、 b、c 的积为负数，和为正数，且x，分析：观看其次、三、四列的数的排列规律，发觉第三列数规律简洁查找就ax 3bx 2cx1 的值是 ；abcabacbc第三列数：3， 11， 19，27，规律为 8n-5由于 2007=250× 8+7=251× 8-1所以， 2007 应当显现在第一列或第五列又由于第251 行的排列规律是奇数行，数是从其次列开头从小到大排列，所以 2007 应当在第 251 行第 5 列解：由于abc<0，所以 a、b、c 中只有一个是负数，或三个都是负数例 9（ 2006 年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“ f”运算

15、：当n 为奇数时，结果为3n 5；当又由于 a+b+c>0，所以 a、 b、c 中只有一个是负数；不妨设 a<0， b>0 ， c>0就 ab<0， ac<0， bc>0所以 x=-1+1+1-1-1+1=0将 x=0 代入要求的代数式，得到结果为1； 同理，当b<0， c<0 时， x=0 ；n 为偶数时，结果为 26，就：fnnkk2（其中k 是 使 2f为奇数的正整数） ，并且运算重复进行例如，取nf26134411另：观看代数式abcabcabacabacbc，交换 a、b、c 的位置，我们发觉代数式不bc第一次其次次第三次转变，

16、这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c 再争论； 有爱好的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质；如 n 449，就第 449 次“ f 运算”的结果是 分析：问题的难点和解题关键是真正懂得“f”的其次种运算，即当n 为偶数时，结果为knnk2（其中规律探究问题：例 7 如图，平面内有公共端点的六条射线oa， ob，oc ，od ，oe，of，从射线oa 开头按逆k 是 使 2为奇数的正整数） ，要使所得的商为奇数，这个运算才能终止；时针方向依次在射线上写出数字1， 2，3， 4， 5，6， 7，（ 1）“ 17”在射线 上， “ 2021”在射线 上（ 2）如 n 为正整数

17、，就射线oa 上数字的排列规律可以用含n 的代数式表示为 分析： oa 上排列的数为：1， 7，13， 19，观看得出，这列数的后一项总比前一项多6， 归纳得到，这列数可以表示为6n-5由于 17=3× 6-1 ，所以 17 在射线 oe上；由于 2021=334× 6+4=335× 6-2 ，所以 2021 在射线 od上例 8 将正奇数按下表排成5 列:第一列其次列第三列第四列第五列ba872c9314 o61210511de449 奇数，经过“f”变为1352； 1352 是偶数，经过“f”变为169，169 是奇数，经过“f”变为512， 512 是偶数，

18、经过“f”变为1，1 是奇数，经过“f”变为8，8 是偶数，经过“f”变为1，f我们发觉之后的规律了，经过多次运算，它的结果将显现1、8 的交替循环；再看运算的次数是449，奇数次；由于第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，所以，结果是8；三、小结用字母代数实现了我们对数熟悉的又一次飞跃；期望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展， 体会一些简洁的数学模型；体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法；第三讲：与一元一次方程有关的问题（ 1）就112 的值为；（ 2）当2241x518 时 ， x =.分析：（ 1）即 a=1， b=2，c=-1 ， d=2，一、学问回忆由于 abc

19、dadbc ，所以12 =2- （ -2） =412（ 2）由24181x5得： 10-4（ 1-x） =18一元一次方程是我们熟悉的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不简洁解决的问题；一元一次方程是中学代数的重要内容，它既是对前面所学学问有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础；典型例题：所以 10-4+4x=18 ，解得 x=3例 4（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，就瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）二、典型例题例 1如关于 x 的一元一次方程2 xkx3k

20、=1 的解是 x=-1 ，就 k 的值是（）不考虑瓶子的厚度.a 232b 1c - 13d 0aba bababhhcdabah711分析：此题考查基本概念“方程的解”分析：左右两个图中墨水的体积应当相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题由于 x=-1 是关于 x 的一元一次方程2 xkx3k=1 的解，解：设墨水瓶的底面积为s，就左图中墨水的体积可以表示为sa21k所以313k2321 ，解得 k=- 1311设墨水瓶的容积为v ，就右图中墨水的体积可以表示为v-sb于是， sa= v-sb， v= sa+bsasaa由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为例 2如

21、方程 3x-5=4 和方程 13ax30 的解相同，就a 的值为多少？vsabab分析：题中显现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x 的值；其次个方程中有 a 与 x 两个未知数，所以在没有其他条件的情形下，根本没有方法求得 a 与 x 的值，因此必需分析清晰题中的条件；由于两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x 代入其次个方程，其次个方程也就转化为一元一次方程了；解 ： 3x-5=4 ， 3x=9 ， x=3例 5 小杰到食堂买饭，看到a 、b 两窗口前面排队的人一样多，就站在a 窗口队伍的里面，过了 2 分钟，他发觉 a 窗口每分钟有 4 人买了饭离开

22、队伍， b 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍， 且 b 窗口队伍后面每分钟增加 5 人；此时，如小李快速从 a 窗口队伍转移到 b 窗口后面重新排队，将比连续在 a 窗口排队提前 30 秒买到饭，求开头时，有多少人排队；分析：“ b 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 b 窗口队伍后面每分钟增加 5 人”相当于 b 窗由于 3x-5=4 与方程所以把 x=3 代人 13a133ax3x0 的解相同0 中口前的队伍每分钟削减1 人，1题中的等量关系为：小李在a 窗口排队所需时间=转移到 b 窗口排队所需时间+2解：设开头时，每队有x 人在排队，3a32 分钟后， b 窗口排队的人数为：x-

23、6 × 2+5× 2=x-2即 103得 3-3a+3=0 ， -3a=-6 ， a=2依据题意，可列方程：x2x21462例 3. （方程与代数式联系）a、b、c、d 为实数，现规定一种新的运算ab.adbccd去分母得3x=24+2x-2+6去括号得3x=24+2x-4+6移项得 3x-2x=26解得 x=26所以，开头时，有26 人排队；课外学问拓展：一、含字母系数方程的解法：当 5x-2<0 时，即 x<12 ，5x-2= -3 ， x=15521摸索： axb 是什么方程？由于 x=符合大前提x<55，所以此时方程的解是x=5在一元一次方程的标准

24、形式、最简形式中都要求a0，所以 ax我们把它称为含字母系数的方程；b 不是一元一次方程综上，方程的解为x=1 或 x=15例 6解方程 axb解：（分类争论）当a 0 时， xba当 a=0，b=0 时 ，即0x=0 ，方程有任意解当 a=0， b 0 时，即0x=b ，方程无解 即方程 axb 的解有三种情形；注：求出x 的值后应留意检验x 是否符合条件解法 2：（整体思想）联想：a3时， a=± 3类比： 5x23， 就 5x-2=3 或 5x-2=-3例 7问当 a、b 满意什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（ 1）有唯独解； （ 2）有很多解； （ 3）无解；分析：

25、先解关于x 的方程，把x 用 a、b 表示，最终再依据系数情形进行争论；解：将原方程移项得2x+bx=1+a-5 ，合并同类项得：2+bx=a-4解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或 x=15当 2+b0，即 b-2 时，方程有唯独解xa4 ，2b2 x15例 10 解方程13当 2+b=0 且 a-4=0 时，即 b=-2 且 a=4 时，方程有很多个解， 当 2+b=0 且 a-4 0 时，即 b=-2 且 a4 时，方程无解，例 8 解方程 x11xababab分析：依据题意，ab 0，所以方程两边可以同乘ab去分母，得bx-1-a1-x=a+b解：去分母2| x-1|-5=3移项2

26、| x-1|=8| x-1|=4所以 x-1=4 或 x-1=-4解 得 x=5 或 x=-3去括号，得bx-b-a+ax=a+b例 11 解方程x12x1移项，并项得a+bx=2a+2b分析：此题适合用解法2当 a+b0 时， x2a2b=2ab2当 x-1>0 时，即 x>1 ， x-1=-2x+1 ， 3x=2 ， x=3当 a+b=0 时，方程有任意解2说明：此题中没有显现方程axb 中的系数a=0，b 0 的情形，所以解的情形只有两种；由于 x=3不符合大前提x>1 ，所以此时方程无解二、含肯定值的方程解法例 9 解以下方程5x23解法 1：（分类争论）当 x-1=

27、0 时，即 x=1 ， 0=-2+1 ， 0 =-1 ，此时方程无解当 x-1<0 时，即 x<1 ， 1-x=-2x+1 ， x=0由于 x=0 符合大前提x<1 ，所以此时方程的解为x=0综上，方程的解为x=0当 5x-2>0 时，即 x> 2 ，5x-2=3 ， 5x=5 ， x=15三、小结由于 x=1 符合大前提x>22 ，所以此时方程的解是x=151、体会方程思想在实际中的应用当 5x-2=0 时，即 x=5，得到冲突等式0=3 ，所以此时方程无解2、体会转化的方法，提升数学才能第四讲：图形的初步熟悉一、相关学问链接：1熟悉立体图形和平面图形我们

28、常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体；我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆2 立体图形和平面图形关系立体图形问题经常转化为平面图形来争论，经常会采纳下面的作法（ 1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到 的三个平面图形；（ 2）立体图形的平面绽开图、常见立体图形的平面绽开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）二、典型问题：（一）正方体的侧面绽开图（共十一种） 分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种；第四类，两排各三个，只有一种；基本要求：1. 在右面的图

29、形中是正方体的绽开图的有（）（ a ） 3 种（ b） 4 种（ c） 5 种（ d） 6 种 2下图中 , 是正方体的绽开图是abcd3如图四个图形都是由6 个大小相同的正方形组成，其中是正方体绽开图的是（）1a b cd 较高要求：62453其次类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种；第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种；4下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，就相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是a 7b 8c 9d 105一个正方体的绽开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且 相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （

30、）a 40b.38c.36d. 34分析：由题意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+4+a-2a-17=4+34=38c84b25 a6将如下列图的正方体沿某些棱绽开后，能得到的图形是（）（三）立体图形的三视图12如图，从正面看可看到的是cabcd 213对右面物体的视图描画错误选项（c）a bcd 7下图是某一立方体的侧面绽开图，就该立方体是（）14如图的几何体，左视图是（b）abcd 仍原正方体，正确识别正方体的相对面；（二）常见立体图形的平面绽开图8以下图形是四棱锥的绽开图的是（）abcd15如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，就搭成这

31、个几何体的小正方体的个数是a 3b 4c 5d 6（ a ）（ b ）（c）（d ）（四）新奇题型主视图左视图俯视图9下面是四个立体图形的绽开图，就相应的立体图形依次是a正方体、圆柱、三棱柱、圆锥b. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 c正方体、圆柱、三棱锥、圆锥d. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥10以下几何体中是棱锥的是（）a .b.c.d .11如图是一个长方体的表面绽开图，每个面上都标注了字母，请依据要求回答疑题：（ 1）假如 a 面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？（ 2）如 f 面在前面， b 面在左面，就哪一个面会在上面？（字母朝外）（ 3）如 c面在右面， d 面在后面，就哪一个面会

32、在上面？（字母朝外）答案：（ 1） f；（ 2） c， a16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长 方体，那么长方体的下底面数字和为.分析：正面黄，右面红，上面蓝，后面紫，下面白，左面绿所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫数字和为： 4+6+2+5=1717观看以下由棱长为1 的小正方体摆成的图形，查找规律，如图 所示共有1 个小立方体，其中1 个看得见， 0 个看不见；如图所示：共有 8 个小立方体，其中7个看得见， 1 个看不见；如图所示：共有27个小立方体，其中19个看得见， 8 个看不见（1）写出第个图中看不见的小立方体有125个；

33、（2）猜想并写出第 n个图形中看不见的小立方体的个数为 n-1 3 个.分析：311=10=028=2 31=13327=3 38=2333464=427=3nn3n-1 3一、学问结构图第五讲：线段和角拓展： 1、 在 aob 内部从 o 点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线角13 =1+226=1+2+3310=1+2+3+4线段的比较和画法线段的中点线段线段性质两点间的距离n1n2n1+2+3+n+1=2直线直线性质射线角角的分类平角直角锐角钝角周角类比：从 o 点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4角

34、的比较、度量和画法角平分线定义同角（或等角）n n1n1+2+3+n-1=2相关角余角和补角性质的补角相等同角（或等角） 的余角相等类比联想：如图，可以得到多少三角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：如一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点二、典型问题：（一）数线段数角数三角形amb图形语言：几何语言： m 是线段 ab 的中点问题 1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？分析：点线段21典型例题：ambm1 ab ， 2 am22bmab33 =1+21由以下条件肯定能得到“p 是线段 ab 的中点”的是（）46=1+2+3510=1+2+3+4615=

35、1+2+3+4+5（ a ） ap=11ab（ b ）ab 2pb（c） appb（ d） ap pb=ab2212如点 b 在直线 ac 上，以下表达式：abac ； ab=bc ； ac=2ab ； ab+bc=ac 2n n1n1+2+3+n-1=2问题 2如图，在 aob 内部从 o 点引出两条射线oc、od ，就图中小于平角的角共有（）个a 3b 4c 5d 6其中能表示b 是线段 ac 的中点的有（a）a 1 个b 2 个c 3 个d 4 个3. 假如点c 在线段 ab 上, 以下表达式 ac=1 ab; ab=2bc; ac=bc;ac+bc=ab中 ,能表示 c 是2ab中点的

36、有 a.1个b.2个c.3个d.4个4已知线段mn，p 是 mn 的中点， q 是 pn 的中点， r 是 mq 的中点，那么mr = mn 由于 aof= aoc+ cof所以 aoc=22 °由于直线ab 和 cd 相交于 o 点分析：据题意画出图形mrpqn所以 bod= aoc=22 °设 qn=x ，就 pq=x， mp=2x ， mq=3x ，3 x4如图， bo、co 分别平分 abc 和 acb，（ 1）如 a = 60°，求 o；（ 2）如 a =100°， o 是多少？如 a =120°， o 又是多少？所以， mr=3mr

37、x，就2mn234 x8（ 3）由（ 1）、（ 2）你又发觉了什么规律？当a 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）5如下列图， b、c 是线段 ad 上任意两点， m 是 ab 的中点， n 是 cd 中点，如 mn=a ，bc=b ，就线段 ad 的长是（）答案：（ 1） 120°；（ 2） 140° 、 150°（ 3） o=90 ° + 1 a2ambcnd5如图， o 是直线 ab 上一点 ,oc、od 、oe 是三条射线 ,就图中互补的角共有（）对a 2b 3c 4d 5a2（ a-b）b2a-bc

38、a+bda-b分析：不妨设cn=nd=x ， am=mb=y由于 mn=mb+bc+cn所以 a=x+y+b由于 ad=am+mn+nd所 以 ad=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）与角有关的问题1 已知：一条射线oa，如从点 o 再引两条射线ob、oc ，使 aob= 600， boc =20 0，就 aoc = 度（ 分类争论 ）6互为余角的两个角（）（ a ）只和位置有关（b）只和数量有关（ c）和位置、数量都有关（ d）和位置、数量都无关7已知 1、 2 互为补角，且1 2，就 2 的余角是（）a. 1 （ 1 2） b.1 1 c.1 （ 1 2） d. 1 22222分析：由

39、于1 2=180°，所以 1 （ 1 2） =90°290° - 2=1 （ 1 2） - 2=1 （ 1 2）222 a、o、b 共线， om、on 分别为aoc 、 boc 的平分线，猜想mon 的度数，试证明你的结论猜想： 证明：由于om 、on 分别为aoc 、 boc 的平分线mcnaob1所以 moc=2 aoc， con= 12cob由于 mon= moc+ con所以 mon=1 aoc +21 cob=21 aob=90 °23如图，已知直线ab 和 cd 相交于 o 点， coe是直角， of 平分 aoe， cof34 ，求 bod

40、的度数分析：由于 coe是直角， cof34 ，所以 eof=56 °由于 of 平分 aoe所以 aof=56 °一、学问框架第六讲：相交线与平行线3. 以下说法正确的有在平面内 , 过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;在平面内 , 过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;在平面内 , 过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;邻补角、对顶角对顶角相等两条直线相交垂线及性质点到直线的距离相交两条线直线被第三条同位角、内错角、同旁内角 直线所截在平面内 , 有且只有一条直线垂直于已知直线.a.1个b.2个c.3个d.4个fcd4一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方

41、向与原先的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）abea.第一次向左拐30°其次次向右拐30°b.第一次向右拐50°其次次向左拐130°c. 第一次向右拐50°其次次向右拐130°d.第一次向左拐50°其次次向左拐130° 5如图，如acbc于 c，cd ab于 d，就以下结论必定成立 的是（）ca. cd>adb.ac<bcc. bc>bdd. cd<bd判定分析：考察垂线段的性质、基本图形“双垂直”图形adb平行公理平6如图 ,已知 ab cd,直线 ef 分别交 ab,cd 于 e,f,

42、eg.平分 bef,如 1=72° ,aeb就 2= .行性质线平移7如图 ,ab efcd,egbd,就图中与 1 相等的角 1 除外 共有 .a.6 个b.5个c.4个d.3个l 1l2c12d fgol 3二、典型例题1. 以下说法正确的有对顶角相等 ; 相等的角是对顶角; 如两个角不相等, 就这两个角肯定不是对顶角;如两个角不是对顶角, 就这两个角不相等.a.1个b.2个c.3个d.4个8如图，直线l 1、l 2、l 3 交于 o点，图中显现了几对对顶角，如n 条直线相交呢？答案9.如图，在 44 的正方形网格中，1，2，3 的大小关系是 32. 如下列图 , 以下说法不正确

43、选项a12a. 点 b 到 ac的垂线段是线段ab; b.点 c到 ab 的垂线段是线段acdc. 线段 ad是点 d 到 bc的垂线段 ; d.线段 bd是点 b 到 ad的垂线段bc10.如下列图 ,l 1,l 2,l 3 交于点 o, 1= 2, 3: 1=8:1, 求 4 的度数 .方程思想 答案：11 如下列图 , 已知 ab cd,分别探究以下四个图形中p 与 a, c 的关系 ,. 请你从所得的四13已知：如图，bapapd180 ，12求证：ef分析：法一个关系中任选一个加以说明.abl 12l 2l3143pababppacdcdcbcddp1234（ 1）分析：过点p 作

44、pe/abape+ a+ c=360 °（ 2） p=a+ c（ 3） p=c- a,（ 4） p=a- c法二：由ab/cd 证明pab=apc ，所以eap=apf所 以 ae/fp所以efabxcy dzef12如图，如ab/ef ， c= 90 °，求 x+y-z度数；分析：如图，添加帮助线ab1ef2证出： x+y-z=90 °cpd一、学问要点：第七讲：平面直角坐标系4点 p（1， -2 ）关于 y 轴的对称点的坐标是（）a（ -1 ， -2 ）b（1， 2）c（ -1 ， 2）d（ -2 ， 1） 5假如点 m （ 1-x， 1-y）在其次象限，那么

45、点n（ 1-x ， y-1）在第象限，点q（ x-1， 1-y）在第象限；6如图是中国象棋的一盘残局，假如用4， o表示帅的位置，1、特殊位置的点的特点（ 1）各个象限的点的横、纵坐标符号（ 2）坐标轴上的点的坐标：x轴上的点的坐标为 x,0 ,即纵坐标为0;用3， 9表示将的位置，那么炮的位置应表示为a 8，7b 7， 8c 8， 9d 8， 87在平面直角坐标系中，平行四边形abcd 的顶点 a 、b 、d 的坐标分别为（0， 0），（ 5， 0），（ 2， 3）就顶点c 的坐标为（）y 轴上的点的坐标为0, y ，即横坐标为0;a （ 3， 7）b （5， 3）c（ 7， 3）d （ 8， 2）2、具有特殊位置的点的坐标特点设 p x , y 、 p x , y 8已知点 p（ x ,x ），就点 p 肯定（）111222p1 、p2 两点关于x 轴对称x1x2 ，且y1y2 ;a在第一象限b在第一或第四象限c在 x 轴上方d 不在 x 轴下方9已知长方形abcd 中， ab=5 ， bc=8 ，并且 a b x 轴，如点a 的坐标为（2，4），就点