成考专升本高等数学二重点及解析精简版

1、高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右） 、函数、极限 一、基本初等函数(又称简单函数)： （1）常值函数：yc? （2）幂函数：ayx? （3）指数函数：xya?(a0,1)a?且 （4）对数函数：logayx?(a0,1)a?且 （5）三角函数：sinyx?，cosyx?，tanyx?，cotyx? （6）反三角函数：arcsinyx?，arccosyx?，arctanyx?，cotyarcx? 二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。 例如：lncosyx?是由lnyu?，cosux?这两个个简单函数复合而成. 例如：3arctanxye?是由arctanyu

2、?，vue?和3vx?这三个简单函数复合而成. 该部分是后面求导的关键！ 三、极限的计算 1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将0x代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即00lim()()xxfxfx?。 注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即limCC?。 （2）该方法的使用前提是当0xx?的时候，而x?时则不能用此方法。 例1：lim 4 4x?，1lim33x?，limlg2lg2x?，6limx?， 例 2：220310301lim1101xxxx? 例3：2tan(1)tan(21) limtan1121xxx? （非特殊角的

3、三角函数值不用计算出来） 2、未定式极限的运算法 （1）对于00未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0 x代入后函数值即是极限值。 例1：计算239lim3xxx?. 00未定式，提取公因式 解：原式=33(3)(3)limlim(3)63xxxxxx? 例2：计算22 121lim1xxxx?. 00未定式，提取公因式 解：原式=?2 11lim11xxxx? ?=?11lim1xx x?=002? （2）对于? 未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。 例 1：计算23lim31nnn? ?未定式，分子分母同时除以n 解：原

4、式32202lim13033nnn? ? 无穷大倒数是无穷小 例2： 计算 23 2 321lim25xxxxx?. ?未定式，分子分母同除以3 x 解：原式= 233321lim152xxxxxx?=002? 无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 3、利用等价无穷小的代换求极限 （1）定义： 设?和?是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim? =1，称?与 ?是等价无穷小，记作?. （2）定理：设?、'?、?、'?均为无穷小，又?'?，?'?，且'lim'?则lim?='lim'? 或 ''limlim? （

5、3）常用的等价无穷小代换：当0x?时， sinx x, tanx x 例1：当0x?时， sin2x2x，tan(3)x?3x? 例2：极限 0sin2lim5xxx? =02lim5xxx?=02lim5x?=25 sin2x用2x等价代换 例3：极限0tan3limxxx?=03limxxx?=0lim33x? tan3x用3x等价代换 、一元函数的微分学 一、导数的表示符号 （1）函数()fx在点0x处的导数记作： '0()fx，0'xxy? 或 0xxdydx? （2）函数()fx在区间（a,b）内的导数记作： '()fx，'y 或 dydx 二、求导公

6、式（必须熟记） （1）'()0c? （C为常数） （2）'1()xx? （3）'()xxee? （4 ）'1(ln)xx? （5）'(sin)cosxx? （6）'(cos)sinxx? （7 ）'21(arcsin)1xx? （8 ）'21(arctan)1xx? 例1、?3x' =23x 2、?1'212xx? 3、'sin6?=0 4、'0? 5、?''23212xxx? 6、'1x? 三、导数的四则运算 运算公式（设U，V 是关于 X的函数，求解时把已知题目中的函数代

7、入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.） （1）'''()uvuv? （2）'''()uvuvuv? 特别地''()CuCu?（C为常数） （3）'''2()uuvuvvv? 例1：已知函数43cos2yxx?，求'y. 解：'y=?''4' 3cos2xx?=343sin0xx?=343sinxx? 例2：已知函数2()lnfxxx?，求'()fx和'()fe. 解：'()fx=?''22lnlnxxxx? =212ln

8、xxxx?=2lnxxx? 所以'()fe=2ln23eeeeee? （注意：lne=1,ln1=0） 例3：已知函数2()1xfxx? ，求'()fx. 解：'()fx =?''222211 1xxxxx?=?222121xxxx?=?22211xx? ? 四、复合函数的求导 1、方 法 一： 例如求复合函数2sinyx?的导数. （1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的. 如2sinyx?由 siny u?和2ux? 这两个简单函数复合而成 （2）用导数公式求出每个简单函数的导数 . 即dydu=cosu，dudx=2x （3）每个简单函

9、数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去. dydydudxdudx?=2xcosu=2x2cos x 2、方 法 二（直接求导法）： 复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导 . 例1：设函数cos(3)yx?，求'y. 解：'y=?'(3)coxx?=sin(3)x?·'(3)x?=sin(3)x?·( 3)?=3sin(3)x? 例2：设函数lnxye?，求'y . 解：'y=?'l

10、nxe=lnxe· '(ln)x=1xlnxe 注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。 五、高阶导数 1、二阶导数记作：''y， ''()fx 或 22dydx 我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数. 2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导 （2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导 例1：已知5sinyx?，求''y. 解：'y=5cosx，''y=5sinx? 例2：已知2xye?，求0''xy?. 解：'y=2xe?' 2

11、x?=22xe，''y=2?2xe?'2x?=42xe 即0''xy?=4 六、微分的求法： （1）求出函数()yfx?的导数'()fx. （2）再乘以dx即可.即'() dyfxdx?. 例1：已知2ln yx?，求dy . 解： 'y=?'2 lnx=?'221xx?=212xx?=2x dy=2 xdx 例2：设函数4cosyxx?，求dy. 解：'y=?''44coscosxxxx?=344cossinxxxx? dy=?344cossinxxxxdx? 、二元函数的微分学 一、多元

12、函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作D。 例如：二元函数通常记作：(,)zfxy?，(,)xyD? 二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法： （1）设二元函数(,)zfxy?，则函数z在区域D内对x和对y的偏导数记为： zx?，'(,)xfxy，'xz ； zy?，'(,)yfxy，'yz （2）设二元函数(,)zfxy?，则函数z在点?00,xy处对x和对y的偏导数记为： ?00,xyzx?，?'00,xfxy，?00',xxyz ； ?00,xyzy?，?'00,y

13、fx y，?00',yxyz； 2、偏导数的求法 （1）对x求偏导时，只要将y看成是常量，将x看成是变量，直接对x求导即可. （2）对y求偏导时，只要将x看成是常量，将y看成是变量，直接对y求导即可. 如果要求函数在点?00,xy处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将0x和0y代入即可. 例1 ：已知函数322zxyyx?，求z x?和zy?. 解：zx ?=22 32xyy?，zy?=34xxy ? 例 2：已知函数2sin2zxy?， 求zx?和zy?. 解：zx?= 2 sin2xy，zy?=22cos2xy 三、全微分 1、全微分公式： 函数(,)z fxy?在点(,)xy处全微

14、分公式为：zzdzdxdyxy? 2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数zx?和zy?. （2）、然后代入上述公式即可. 例1 ：设函数2sin()31zxyxy? ?，求dz . 解：zx?=cos()6yxyx?，zy?=cos()1xxy? ?cos()6cos()1zzdzdxdyyxyxdxxxydyxy? ? ? 例2：设函数2xyz e?，求dz . 解：zx?=22xye?， zy?=2xye? 2 22xyxyzzdzdxdy edxedyxy? 四、二阶偏导的表示方法和求法： （1）()zxx ?=22zx? ?=''(,)xxfxy='

15、9;xxz 两次都对x求偏导 （2）()zyx? ? ?=2zxy?= ''(,)xyfxy=''xyz 先对x求偏导，再对y求偏导 （3）()zxy? ? ?=2zyx?= ''(,)yxfxy=''yxz 先对y求偏导，再对x求偏导 （4）()zyy?=22zy?=''(,)yyfxy=''yyz 两次都对y 求偏导 可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是,x y的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）. 例1 ：设函数32331zxyxyxy?，求 2

16、2zx?，2zxy?，2 zyx?和22zy ?. 解：zx? ?=22333xyyy?， zy? =3229xyxyx? 得22zx?=26xy ，2zxy? =22691xyy?，2zyx? =2 2691xyy?，2 2zy?=3218xxy? 例 2：设函数coszyx?，求22zx?，2zxy?. 解：zx?=sinyx? 得22zx?=cosyx?，2zxy?=sinx? 、一元函数的积分学 一、原函数的定义：设()Fx是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的任意一点x， 都有'()()Fxfx? ，则称()Fx是()fx在区间I上的一个原函数. 例1：'(sin)

17、cosxx?，因此sinx是cosx的一个原函数，cosx是sin x的导数. 由于'(sin)cosx cx ?，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个. 例2：设()fx的一个原函数为1 x，求'()fx. 解：因为1x是 ()fx的一个原函数，即()Fx=1x ，所以()fx='()Fx= '1x? ?=21x?. 得'()fx='21x?=32x （注：11xx?） 二、不定积分 （一）、定义：我们把()fx的所有原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记作：()()fxdxFxC? （其中'()()Fxfx?） 注

18、意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿忘！ （二）、不定积分的性质 1?()()()()fxgxdxfxdxgxdx? 2()()kfxdxkfxdx? ? （其中k为常数） （三）、基本积分公式（和导数公式一样，必须熟记） 10dxC? 2kdxkxC? ? （k为常数） 311xxdxC? (1)? 4 1lndxxCx? 5xxedxeC? ? 6cossinxdxxC? 7sincosxdxxC? 82arcsin1dxxCx? 92arctan1dxxCx? ? 例1：33dxxC? 2sin-2cosxdxxC? 434xxdxC? 211dxCxx? 例2 ：3322

19、tantantan33uxxdxuduC C ? ?（利用换元法，设tanxu?） 又如：1coscoslncosxdxxC? ?322lnlnln3xdxxC? （四） 、不定积分的计算 1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。 例1：? ?221xdx?=?4221xxdx?=422xdxxdxdx?=53253xxxC? 例2：31(12sin)12sin3xdxdxxdxdxxx?2cos3lnxxxC? 2、凑微分法 （1）适用前提：如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分

20、法。 （2）凑微分法解法步骤 1凑微分 2换 元 3直接积分法 4反换元 例1：求不定积分2cosxxdx? 解：原式= 221cos2xdx?=221cos2xdx? （ 1.凑微分）将xdx凑成212dx =1cos2udu? （2.换 元）将2x换元成u =1sin2 uC? （3.直接积分法）求出u的不定积分 =21sin2xC? （4.反换元）u再用2 x反换元 例2：求不定积分2lnxdxx? 解：原式=2ln(ln)xdx? （1.凑微分）将1dxx凑成lndx =2udu? （2.换 元）将lnx换元成u =33uC? （3.直接积分法）求出u的不定积分 =3ln3xC? （4

21、.反换元）u再用lnx反换元 例3：求不定积分32xedx? 解：原式=321(32)3xedx? （1.凑微分）将dx凑成1(32)3dx? =13uedu? （2.换 元）将32x?换元成u =13ueC? （3.直接积分法）求出u的不定积分 =3213xeC? （4.反换元）u再用32x?反换元 注意：凑微分 时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程，此时就可以不必写出中间变量，而直接进行积分。 例4：3sincosx xdx?=3sinsinxdx?=4sin4 xC? （将dx凑成?1323dx?） 例5：21xxdx?=2211(1)2xdx?=?322113xC?

22、 （将xdx凑成?2 112dx?） 3、分部积分法（考到概率为40左右，要了解的可参考重点解析“详细版”） 三、不定积分 （一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式 A=( )bafxdx? （A为曲边梯形的面积） 其中()fx为被积函数，?,ab为积分区间，a为积分下限，b为积分上限。 用定积分所要注意的事项： 1、因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，所以对定积分求导，导数值必为零。 例： 10arctan0dxdxdx?， ?'221sin0ttdt? 2、当a=b时，()bafxdx ?=0 因定积分上限ba，当ba时，()bafxdx?=()abfxdx? 例：11sin01cosxdxx?， 3223()()fxdxfxdx? （二）、定积分的计算 1、变上限积分的计算 （1）定义：积分上限x为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限x的函数， 记作()x?()xaftdt? （2）变上限积分的导数：?'()