江苏省南京市六校联合体高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

1、数学（理科）、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.，则甘的模巨1.设为虚数单位，复数-14 -【答案】空|【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数_，然后根据复数模的公式进行求解即可.详解:即答案为罔.点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力, 属基础题.2米的概率为2. 一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于【解析】分析：由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为 5,基本事件的区域长度为 1,利用几何概率公式可求.详解：“长为5的木棍”对应区间丽可,

2、“两段长都大于2”为事件£ 则满足反的区间为023rn_r根据几何概率的计算公式可得，故答案为：点睛：本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计 算公式求解.3.命题“若H =（,则复数上二玄4（出1>町|为纯虚数”的逆命题 是命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】分析：写出命题“若匚©,则复数勾为纯虚数”的逆命题，判断其真假.详解：命题“若b 0|,则复数，丸为纯虚数”的逆命题为“若复数 - 3.1- bi（a.h e Rj| 为纯虚数，则厂*”，它是真命题.点睛：本题考查命题的真假的判断，属基础题4.已知一组数据为2, 3,

3、4, 5, 6,则这组数据的方差为 【答案】2【解析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果.详解：平均数为：J 4- 3 + 4 十 5 + 6 +5 - x (24) + (3-4)' + (4 4)' + (5-4)'十(6-4)1< (4 + 1 + 1+4) 255即答案为2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记.它反映了一组数据的 波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.5将一颗骰子抛掷两次，用 园表示向上点数之和，则丘卫1的概率为 .【答案】|【解析】分析：利用列举法求出事件“區卫”包含

4、的基本事件个数，由此能出事件“ iTFRi 的概率.详解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次，用；|表示向上点数之和，则基本数值总数事件“存耳”包含的基本事件有：4 D （工,）（玄G. 6 4. © 引仍屈共6个,二事件“也”的概率即答案为300人，所以，抽样比为点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.6. 用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 【答案】900【解析】试题分析：因为，

5、抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽取 20人，高三年级因此，该校的高中学生的总人数为45-抽取10人，所以，高二抽取了 15人，又高二年级共有学生考点：本题主要考查分层抽样。点评：简单题，关键是弄清抽样比 =样本数十样本总数。7. 函数在点Yl.m处切线方程为 "y-百0，=.【答案】4【解析】分析：因为卜 （刈在点）口肿.|处的切线方程k + y，-o，所以P（i） H工 由此能求出卜1）亠详解：因为|在点I ：处切线方程为*： , -所以F-!虹.01 - $二W从而f（ I） I"4.即答案为4.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题时要认真审题

6、，仔细解答，注意合理地进行等价转化.8. 若2忙一的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项是 【答案】240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.详解:E3的展开式中所有二项式系数和为j 2x jf1 寸展开式的通项公式为= C-l)r (2?<)6 '=(-O' ? r令底对-a,求得厂目，可得展开式中的常数项是呀(-1)2 24-240.故答案为：240.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于 基础题.9. 根据如图所示的伪代码可知 ，输出的结果为 .I I

7、；S0: :；While 血：i sms ；I _rT 转;：End While ；i:；PriLtJ：【答案】72【解析】分析：模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的_的值，可得当时不满足条件 _， 退出循环，输出的值为72详解：模拟程序的运行，可得j丨S 0|满足条件 函, 执行循环体，玉S 9.满足条件0|,执行循环体，|工$加| ；满足条件| |,执行循环体，_工?'满足条件执行循环体， I I >不满足条件叵,退出循环，输出 问的值为72故答案为：72点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题.10

8、. 若= 十打疋卜护'十十a5x10 +，"衍十巧十 =.【答案】365【解析】分析：令f *代入可知严电m的值，令匹口1代入可求得©幻j a汀.，agi的值，然后将两式相加可求得 b十幻十十吋的值.详解： 乜* 如 卜如x"匚七兀口 】°丨 屯J"中，令（二i代入可知怜+竈曾戈4 , 4+ as V令代入可得如“十幻十p丨 ： 1，除以相加除以2可得鮭卜巧*叩臀-托彳.即答案为365.点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键.11. 已知 R设命题P败E 15 J + 1；命题Q函数gj7j + m 只有

9、一个零点则使“ Pv Q为假命题的实数 血的取值范围为 【答案】卜忙匕二【解析】分析：通过讨论田，分别求出回为真时的同的范围，根据莎为假命题，则命题顾 均为假命题，从而求出的范围即可.详解：命题_中，当 存兀|时，符合题意.I in>°I A =mu 4m<0所以命题n为真，则石芮, 命题中,躺-J r 亦 + m 一 1 , *-6*由亟固，得k>【l或匡j,此时函数单调递增, 由卜仗）<（|,得b<x<d,此时函数单调递减.即当 !时，函数回 取得极大值, 当 时，函数而取得极小值,0或极小值大于0,要使函数 J -女+ m I只有一个零点，则

10、满足极大值小于即极大值而）m-l«j ,解得11<.极小值匸二匸口+m" 皿匚,>0，解得n>5 .综上实数同的取值范围:厂口为假命题，则命题i .j均为假命题.点睛：本题考查了复合命题的判断及其运算，属中档题12.有编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个黑色小球和编号分别为小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有1 , 2, 3, 4, 5的5个白色种不同的选法.【答案】136【解析】分析：分两种情况：取出的4个小球中有1个是1号白色小球；取出的 4个小球中没有1号白色小球.详解：由题，黑色小球和白色小球共10个,分两种情况：取出的 4个

11、小球中有1个是1号白色小球的选法有 二;糾种；取出的4个小球中没有1号白色小球，则必有 1号黑色小球，则满足题意的选法有 至H壬种，则满足题意的选法共有甜卜划二竹甘种.即答案为136.点睛：本题考查分步计数原理、分类计数原理的应用，注意要求取出的“4个小球中既有1号球又有白色小球”.13. 观察下列等式：(-T)3+( 2)3-+ 址孑02+4at52+7® +lla +122 -8? +<P +13a14s+1S3 +193 =15s + 16a+2O3 « * 请你归纳出一般性结论.【答案】 bkf+ 恥+斗f十口k卜5卩十if+ (7k + 2f+(Tkl EZ

12、z【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用|_1将规律表示出来即可.(.-|,且LI为正整数) 详解：根据题意，观察各式可得：第式中，I ；式中，|汕_第式中，匚；规律可表示为：+(7k + 4产+(7k斗 (7k亠If + (7k + 2卩斗(7k +剧点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.14. 乒乓球比赛，三局二胜制.任一局甲胜的概率是 匝正三回,甲赢得比赛的概率是 旬,则口的最大值为【答案】【解析】分析：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率；进而求得匚日的最大值.谨解：采

13、用三局囱胜制,则甲在下列两种情况下获胜：:2：0 （甲净胜二局），:2：1 （前二局甲一胜一负.第三局甲胜）.P Af =P = cj « p x （1-p） x p = 2p2（l-p）, 因为冈 与阳 互斥，所以甲胜概率为+ 卩丁+即了卜皿 则h、rc设” p* +】P）P _邛 + FV = -6p2 + 6P4即答案拘寻,注竞到。<P<1-则函数¥ = -2D3 + 3-应（0,学）和（呼）单调 递减.在（土真护）上单调递増，故函数在p = 专处取得根大值f也杲最大值，最大值为即答案为3遁18点睛：本题考查概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解

14、题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。15. 在平面直角坐标系| *中，以|为极点，刃为极轴建立极坐标系，曲线也的极坐标方程是 卜西nvj,直线|j|的参数方程是广;丄；'（H为参数）求直线“被曲线席截得的弦长 【答案】f【解析】分析：首先求得直角坐标方程，然后求得圆心到直线的距离，最后利用弦长公式整理计算即可求得最终结果；详解：利用加减消元法消去参数得曲线的直角坐标方程是，同时得到直线|i|的普通方程是 汀3门云1 ,圆心E（Q】|到直线N的距离则弦长为

15、悄直线被曲线旦截得的弦长为点睛：本题考查了圆的弦长公式，极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化等，重点考查 学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.16. 在棱长为丹的正方体 阴CDfB|CD|中,0是AC的中点，E是线段DO上一点，且DE= 入E0(1) 若入=1，求异面直线 DE与 CD所成角的余弦值；的值.【解析】分析：以|l入DC D瓦为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系各点的坐标，(1) 求出异面直线| 11与；I |i的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值(或补角的余弦值)(2) 求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求 参数目的值即可

16、.详解：(1) 以DG DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系j 1、,则 A(1 , 0, 0)，了亍孑 3,匕© 诃,D(0，0, 1),所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为(2) 设平面 CDO的向量为 m=(X1, y1, Z1)，由 m | |= 0, m|= 0取 X1= 1,得 y1 =乙=1，即 m=(1 , 1, 1).-力+弼勺*1，愛jji*2山.2( * " 2(1 + Q 1 + X2(1 * X)h 20 + "4 1 + Kj由DE= EO则.10分n ni= 0, n . _ = 0.又设平面CDE的法向量为n=(X2,

17、y2, Z2)，由y厂=0.取X2=2,得Z2= 入，即 n= ( 2, 0，入).12 分因为平面 CDE_平面CDF,所以m- n= 0，得$ = .点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线,面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度.(1)3*1 叭屯州求斗-(t)J的值；(2)若匸q且匸吋，求H的值；(3)求证:+ -)2018> woa【答案】(1)丘耳(2)(3)见解析，根据術】可求;【解析】分析：(1 )令- (一1)芒的值;2 心 Y护可求的值;就 9爲解得(2) 由(3) 利用二项展开式及放缩法即可证明

18、町巧ai-. + (_1|"-=0，又戶 刃2"，解得J该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为子为事件|_|.，该游戏者有机会抛掷第3次骰答：该游戏者有机会抛掷第 3次骰子的概率为(3)|亠1严、KXXJA 1 + C3OJ31000 Go叫閒o) + % 彳帧)1 looo)4 1 +2 + 2 + 3 + 3 7，所以|R_点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.18. 某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2

19、次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷 1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为 3的倍数则记为成功，第 3次抛掷骰子向上的点数为 6则记为成功用随机变量_表示该游戏者所得分数(1) 求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率(2) 求随机变量口的分布列和数学期望.【答案】(1) ” (2)见解析【解析】分析：该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为 会抛掷第3次骰子为事件冈.则讯A) Pi(l - pj才(1亠Pj)p2 + p(p2 ;由题意可知，丹的可能取值为日、冋、目、刃、冈,分别求出買訂训，|叢创，|忙 刖, 匝卫得到胃的分布列及数学期望.详解:由

20、题意可知，|_1的可能取值为 休LI、LI、_、LI， 耳Pi(i 砂0 內)+(i -pi)p/i -pj5551836 122 1 1它FfLp洌+(5沁三垸飞”工Id 內唤冷?所以u的分布列为A036110P1is fl511312361236所以u的数学期望" i 5 s iisiif = 0 > + 3 x = + 6 x = + 7+ 10 疑 一3236】236 18点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题,解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用.19. 已知函数：(1)若画在区间叵卫I上是单调递增函数，求实数

21、同的取值范围 若/ 讥：打在|=i处有极值io,求卜"的值；(3) 若对任意的h孔EDI，有恒成立，求实数 刼的取值范围171-n+(3) me 1 , 1【解析】分析： 用 T胁.由画在区间亘回上是单调递增函数得, 当叵0时，bf + EmxHd恒成立，由此可求实数 冋的取值范围；(2) 辰)-务'+沐+,由题闇需斗：孑或麗”；，判断当：； = ,时山心工d ' |无极值，舍去，则寫讨可求；(3) 对任意的有附JrRxj日恒成立，即 氐1在1,11上最大值与最小值差的绝对值小于等于2.求出原函数的导函数，分类求出函数在1,1的最值，则答案可求;详解：化盼由画在区间亘

22、胡上是单调递增函数得,in - 4r = 11民)卅7mn|，由题|$£)咒=：】丫或 当叵M)时，區刁，區无极值，舍去.所以”!”：|(3) 由对任意的 Xi , X2 1 , 1，有 I f(X1) f ( X2)| W2 恒成立，得 f max( X) f min( X)W 2.且I f (1) f (0)| W2, I f ( 1) f(0)| W2,解得 m 1, 1, 当m=0时，f / (x) > 0, f(X)在1, 1上单调递增，f maX X) f min( X)= | f (1) f ( 1)| W2 成立. 当(0 , 1时，令f / (x) V 0,得X ( m 0)，贝y f(X)在(一m 0)上单调递减;同理f (X)在(一1, m), (0 , 1)上单调递增，f( m= m+m, f(1)= m2+n+1，下面比较这两者的大小,3令 h(m=f( m f (1)= m m 1, m 0