学法大视野·数学·八年级上册（湘教版）·第3章实数

1、 一、平方根1.定义:如果有一个数r,使得r2=a ,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根.2.记法与读法:正数a的平方根可以用“±a”来表示,读作“正、负根号a”.3.平方根的性质如果r是正数a的一个平方根,那么a的平方根有且只有两个:r与,0的平方根是0;负数没有平方根. 二、算术平方根1.正数a的叫作a的算术平方根. 2.记法与读法:正数a的算术平方根用“a”来表示,读作“根号a”.三、开平方1.定义:求一个非负数的平方根的运算,叫作开平方.2.开平方与互为逆运算. 四、无理数定义:小数叫作无理数. 探究一:平方根的求法【例1】

2、判断下列各数是否有平方根,若有,求出它们的平方根.(1)214;(2)-2;(3)0;(4)-322.【导学探究】因为214,0,-322都是数,所以(填“有”或“没有”)平方根,-20,所以(填“有”或“没有”)平方根. 变式训练1-1:(2013资阳)16的平方根是()(A)4(B)±4(C)8(D)±8变式训练1-2:下列说法中,正确的是()(A)9的平方根是-3(B)-25的平方根是-5(C)任何一个非负数的平方根都是非负数(D)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数变式训练1-3:一个数的平方根是±8,则比这个数大36的数的平方根是. 

3、;探究二: 算术平方根的求法【例2】 求下列各数的算术平方根.(1)(-3.9)2;(2)0.81;(3)1214.【导学探究】对于(1)应先计算(-3.9)2=,再计算它的算术平方根. 对于(3)应把带分数化成. 变式训练2-1:(2013珠海)4的算术平方根是()(A)-2(B)2(C)±2(D)±4变式训练2-2:下面四个数中,没有算术平方根的是()(A)|-2|(B)(-2)2(C)-2(D)(-2)2变式训练2-3:求下列各数的算术平方根.(1)100;(2)1;(3)4964;(4)0.0081;(5)0.探究三:无理数的概念【例3】 下列数

4、:1.732,227,3.14,-,2,0.49,0.101001000100001,哪些是无理数,哪些是有理数?【导学探究】无理数常有三种形式,(1)开方开不尽的数,如; (2)无限不循环小数,如0.101001000100001;(3)关于的一些数,如. 变式训练3-1:(2013常州)在下列数中,无理数是()(A)2(B)3.14(C)-12(D)3变式训练3-2:四个数-1,0,12,1中为无理数的是()(A)-1(B)0(C)12(D)11.(2013淄博)9的算术平方根是()(A)3(B)±3(C)3(D)±32.16的平方根是()(A)&#

5、177;4(B)4(C)±2(D)23.(2013毕节)下列数中:0,-,16,13,0.1010010001(相邻两个1之间依次多一个0),其中无理数的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)44.已知:一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则a的值是. 5.计算下列各式的值:(1)94-49;(2)1916-144+81;(3)25×(-15)2-(-6)2×136.1.(2013哈尔滨)9的平方根是()(A)3(B)±3(C)3(D)±32.若正方形的边长为a,面积为S,则()(A)S的平方根是a(B)a是S的算术平方根(

6、C)a=±S(D)S=a3.(2013安顺)下列各数中:3.14159,25,-3,0.131131113,-17,无理数的个数为()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4.若m是169的正的平方根,n是121的负的平方根,则(m+n)2的平方根为()(A)2(B)4(C)±2(D)±45.已知x=2y=1,是二元一次方程组mx+ny=8,nx-my=1的解,则2m-n的算术平方根为()(A)±2(B)2(C)2(D)46.(2013南充改编)0.49的算术平方根的相反数是. 7.算术平方根等于它本身的数是. 8.(2013昭通)

7、下列数中:227,7,-8,36,3中的无理数是. 9.求下列各数的平方根与算术平方根.(1)2.89;(2)625;(3)172-82.10.自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9 t2,一个铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间? 一、立方根1.定义如果一个数b,使得b3=a,那么我们把b叫作a的一个立方根,也叫作三次方根.2.表示和读法a的立方根记作3a,读作“立方根号a”或“三次根号a”.3.立方根的意义一个正数有一个的立方根,一个负数有一个的立方根,0的立方根是. 二、开立方1.定义:求一个数的的运算,叫作开立方.

8、60;2.性质:开立方与互为逆运算. 探究一: 立方根的求法【例1】 求下列各数的立方根.(1)-8;(2)8;(3)-827;(4)0.216;(5)0.【导学探究】任何实数立方根;如果b3=a,那么b叫作a的. 变式训练1-1:下列等式成立的是()(A)31=±1(B)3225=15(C)3-125=-5(D)3-9=-3变式训练1-2:若一个数的平方根是±8,则这个数的立方根是()(A)±2(B)±4(C)2(D)4变式训练1-3:求下列各式的值:(1)31000;(2)-30.343;(3)-3-27.探究二: 立方根的应用【

9、例2】 求下列各式中x的值:(1)(x+3)3+27=0;(2)(x-0.5)3+103=0.【导学探究】1.把(x+3)3+27=0,移项得(x+3)3=. 2.把(x-0.5)3+103=0,移项得(x-0.5)3=. 再利用立方根的定义分别求出x的值.变式训练2-1:如图,数轴上点A表示的是()(A)4的平方根(B)4的立方根(C)8的算术平方根(D)8的立方根变式训练2-2:一个正方体的水晶砖,体积为100 cm3,它的棱长大约在()(A)4 cm5 cm之间(B)5 cm6 cm之间(C)6 cm7 cm之间(D)7 cm8 cm之间变式训练2-3:求下列各式中x

10、的值:(1)8x3=125;(2)(x-1)3=-8.1.(2013永州)运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求8+36的近似值,其按键顺序正确的是()(A)8+2ndF6=(B)8+2ndF6=(C)8+6=(D)8+6=2.下列各式计算正确的是()(A)38=±2(B)327=3(C)3(-2)3=2(D)-3-23=-23.(2013咸宁)已知x=2,y=1是二元一次方程组mx+ny=7,nx-my=1的解,则m+3n的立方根为. 4.若一个偶数的立方根比2大,平方根比4小,则这个数是 . 5. 已知第一个立方体纸盒的棱长是6厘米,第二个立方体纸盒的

11、体积比第一个立方体纸盒的体积大127立方厘米,求第二个纸盒的棱长.1.下列说法中,不正确的是()(A)8的立方根是2(B)-8的立方根是-2(C)0的立方根是0(D)125的立方根是±52.若3a=-378,则a的值为()(A)78(B)-78(C)±78(D)3435123.比较2,5,37的大小,正确的是()(A)2<5<37(B)2<37<5(C)37<2<5(D)5<37<24.一个数的立方根是它本身,则这个数是()(A)0(B)1,0(C)1,-1(D)1,-1或05.64的立方根是()(A)2(B)±2(

12、C)8(D)±86.(2013泉州)18的立方根是. 7.340的小数部分可表示为. 8.若x的立方根是2,则x=. 9.求下列各式中的x的值:(1)8x3+1=0;(2)(x+3)3+64=0;(3)3x=5;(4)2x3-6=34.10.已知16x2=9,y3=8,求x+y的值. 一、实数的定义与分类1.定义:和统称为实数. 2.分类(1)实数分正实数,负实数; (2)实数有理数整数:小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数二、实数与数轴的关系每一个实数都可以用上唯一的一个点来表示.反过来,数轴上每一个点都表示唯一的一个,简洁地说

13、成:实数和数轴上的点. 三、实数的有关概念及性质1.实数a的相反数是,倒数是(a0). 2.设a表示一个实数,则|a|=a(a>0)0(a=0)-a(a<0)四、实数的运算有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍成立.探究一:实数与数轴【例1】 若将三个数-3,7,11表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是. 【导学探究】由4<7<9,得<7<,即在墨迹覆盖范围内. 变式训练1-1:(2013台州)若实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,则下列式子成立的是()(A)ac>bc(B)ab>cb(C

14、)a+c>b+c(D)a+b>c+b变式训练1-2:如图,在数轴上点A和点B之间表示整数的点有个. 探究二:实数的运算【例2】计算下列各式的值.(1)3-64+515-5;(2)|3-5|+33.【导学探究】1.有理数的运算律在实数运算中同样适用.2.3-5是一个(填“正数”或“负数”),|3-5|=. 变式训练2-1:|2-5|+|3-5|的值是()(A)1(B)-1(C)5-25(D)25-5变式训练2-2:计算:0+3-27-14-3-0.125+1-6364.1.(2013铁岭)-2的绝对值是()(A)2(B)-2(C)22(D)-222.(2013连云

15、港)如图,数轴上的点A、B分别对应实数a,b,下列结论中正确的是()(A)a>b(B)|a|>|b|(C)-a<b(D)a+b<03.(2013淮安)如图,数轴上A,B两点表示的数分别是2和5.1,则A,B两点间的表示整数的点共有()(A)6个(B)5个(C)4个(D)3个4.(2013河南)计算|-3|-4=. 5.(2013衢州)4-23÷|-2|×(-7+5)1.(2013湖州)实数,15,0,-1中,无理数是()(A)(B)15(C)0(D)-12.如图,在数轴上表示实数15的点可能是()(A)点P(B)点Q(C)点M(D)点N3.三个数-,-3,-3的大小顺序是()(A)-3<-<-3(B)-<-3<-3(C)-3<-<-3(D)-3<-3<-4.有一个数值转换器,原理如下:当输入的x为64时,输出的y是()(A)8(B)8(C)12(D)185.(2013宜昌)实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是()(A)