二阶线性微分方程的解法

1、二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 y py qy f(x) (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程其中p、q均为实数，f (x)为已知的连续函数 .如果 f (x)0,则方程式 (1)变成y py qy 0(2)我们把方程 (2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式 (1)叫做二阶常系数非齐次线性方程 . 本节我们将讨论其解法 .二、二阶常系数齐次线性微分方程1解的叠加性定理1如果函数yi与 y是式的两个解，则y Ciyi也是式的解，其中C1,C2是任意常数.证明 因为yi与y是方程的解，所以有y1py1 qy1 0y2 py2 qy20将y Ci yi C2y2

2、代入方程 的左边，得(C1 y1 C2y2) p(C1 y1 C2y2) q(C1 y1 C2y2)=Ci(yi pyi qyi) C2(y2 py2 qy2)0所以y Ciyi C?y2是方程的解定理 i 说明齐次线性方程的解具有叠加性 .叠加起来的解从形式看含有Ci,C2两个任意常数，但它不一定是方程式(2)的通解 2线性相关、线性无关的概念设yi，y2，,yn,为定义在区间i内的n个函数，若存在不全为零的常数kk2,心，使得当在该区间内有k k?y2knyn 0,则称这n个函数在区间I内线性相关，否则称线性无关.例如1, cos2 x,sin2 x在实数范围内是线性相关的,因为2 21

3、cos x sin x 0又如1, x,x2在任何区间（a,b）内是线性无关的，因为在该区间内要使k1k2xk3x2 0必须 k1k2k30.对两个函数的情形，若上常数，则y2线性相关 若吐 常数，则y2y2y1，y线性无关.3二阶常系数齐次微分方程的解法定理2如果y1与y2是方程式的两个线性无关的特解，则y CdC2y2（G，C2为任意常数）是方程式（2）的通解.例如，y y 0是二阶齐次线性方程，sin x，y2 cosx是它的V1两个解，且 -tan X 常数，即y1，y2线性无关，所以 y2yC1 y1C2y2& sin x C2 cos x（C1,C2是任意常数）是方程y y

4、 0的通解rx由于指数函数y e （r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，根据指数函数的这个特点，我们用y来试着看能否选取适当的常数r ,rx使y e满足方程（2）.欢迎下载2将y erx求导，得rx2 rxy re , y r e把y, y , y代入方程，得.2 rx(r pr q)e 0因为e0,所以只有r2 pr q 0只要r满足方程式(3), y erx就是方程式 的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程，特征方程是一个代数方程其中r2,r的系数及常数项恰好依次是方程(2) y , y , y的系数特征方程(3)的两个根为A,2P"一,因此方程式(2)的通解

5、有下列三种不同的情形2(1)当 p4q 0时，ri,r2是两个不相等的实根riP . P2 4q2P P2 4q2yierix, y2er2x是方程的两个特解，并且上e(ri r2)x常数，即y2yi与y2线性无关根据定理2,得方程 的通解为 yCie"C2e°x2(2)当p 4q 0时，九“是两个相等的实根riD £,这时只能得到方程的一个特解yierix,还需求出另一个解y2,且里 常数，设里 u(x),即yiyirix ,、y2 e u(x)yerix(uriu), y erix(u2riuu).将y2, y2, y代入方程，得erix (u2r1ur12u

6、) p(ur1u) qu 0整理，得erixu (2ri p)u (ri2 pri q)u 0由于 eriX 0,所以 u (2ri p)u (r, pq q)u 0因为ri是特征方程(3)的二重根，所以ri2pri q 0, 2rip 0从而有u 0因为我们只需一个不为常数的解，不妨取u x,可得到方程 的另个解rixy2xe .那么，方程(2)的通解为rixrixy CieC2xe即y (GC2x)erix.(3)当p2 4q 0时，特征方程(3)有一对共轭复根rii ，r2i(0)T曰(i )x(i)x于是yie，y2e利用欧拉公式eixcosxisin x把yi,讨2改写为yi(i )

7、x ex ei x ee x(cos xi sinx)y2(i )x ex ei x ee x(cos xi sinx)yi，y之间成共轭关系，取yi = (yi y2) e x COS x， 2一1、x .y2評 y2) e sin Xy2yixe sin xxe cos xtan x 常数，所以方程(2)的通解为方程的解具有叠加性,所以yi , y2还是方程的解,并且xy e (C1 cos x C2 sin x)综上所述，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下(1)写出方程的特征方程2r pr q 0(2)求特征方程的两个根ri, a根据ri, r2的不同情形，按下表写出方程 的通解.2

8、特征方程rpr q 0的两个根r1, r2方程 y py qy 0的通解两个不相等的实根r1r2yC1er1xC2er2x两个相等的实根r1 r2y (G C2X)er1x一对共轭复根r1,2iy e x (C1 cos x C2 sin x)例1求方程y 2y 5y 0的通解.解：所给方程的特征方程为r2 2r 50ri1 2i,r21 2i欢迎下载5所求通解为y ex(CiC0s2x C?si n2x).例2求方程d42dSdt dt0满足初始条件 S * a 4,S的特解解所给方程的特征方程为2rri通解为(CiC2t)e t将初始条件S4代入，得Ci4，于是欢迎下载11S (4 C2t

9、)e t,对其求导得S(C2 4 C2t)e t将初始条件S2代入上式，得C2所求特解为(4 2t)e t例3求方程y2y 3y0的通解.解 所给方程的特征方程为r2 2r 3 0其根为r13, r21所以原方程的通解为y C1e 3x C2ex二、二阶常系数非齐次方程的解法1解的结构定理3设y是方程(1)的一个特解，丫是式(1)所对应的齐次方程式(2) 的通解，则y Y y是方程式(1)的通解欢迎下载证明把y Y y代入方程的左端：(Y y ) p(Y y ) q(Y y )=(Y pY qY) (y py qy )=0 f (x) f (x)y Y y使方程的两端恒等，所以y Y y是方程

10、的解.定理4设二阶非齐次线性方程(1)的右端f(X)是几个函数之和，如y py qy fi(x)f2(x)而yi与y2分别是方程y py qyfi(x)与y py qyf2(x)的特解，那么yiy2就是方程(4)的特解，非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出x2. f (x) e Pm(x)型的解法f (x) e xPm(x),其中 为常数，Pm(x)是关于x的一个m次多项式.方程(1)的右端f (x)是多项式Pm(x)与指数函数e x乘积的导数仍为冋一类型函数，因此方程(1)的特解可能为yQ(x)e x,其中Q(x)是某个多项式函数把yQ(x)e xyQ(x) Q(x)exy2

11、Q(x) 2 Q(x) Qx(x)e代入方程(1)并消去ex,得Q (x)(2 p)Q (x)( 2p q)Q(x) Pm(x)以下分三种不同的情形，分别讨论函数 Q(x)的确定方法：(1)若 不是方程式的特征方程r2 pr q 0的根，即2p q 0 ,要使式(5)的两端恒等,可令Q(x)为另一个 m次多项式Qm(x):Qm(x)bob?X2bmXm代入 式，并比较两端关于x同次幕的系数，就得到关于未知数bo,bi, ,bm的m 1个方程.联立解方程组可以确定出bi (i0,1, m).从而得到所求方程的特解为yQm(x)ex是特征方程r2pr q 0的单根，即q 0，2p 0，要使式 成立

12、，则Q (x)必须要是m次多项式函数，于是令Q(x) xQm(x)用同样的方法来确定 Qm(x)的系数bi(i 0,1，m).2 2(3)若 是特征方程r pr q 0的重根，即 p q 0,2 p 0.要使(5)式成立，则Q (x)必须是一个 m次多项式，可令Q(x) x2Qm(x)用同样的方法来确定 Qm(x)的系数.综上所述，若方程式(1)中的f(x)Pm(x)e x，则式(1)的特解为y xkQm(x)e x，是特征方程其中Qm(x)是与Pm(x)同次多项式，k按 不是特征方程的根 的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4求方程y 2y 3e 2x的一个特解.解 f(x)是 Pm

13、(x)e x型,且 Pm(x) 3,2对应齐次方程的特征方程为r2 2r0,特征根根为ri0,2.=-2是特征方程的单根，令yxboe 2x，代入原方程解得3bo2故所求特解为y 3xe 2x .2例5求方程y 2y (x 1)ex的通解.解先求对应齐次方程 y2y y 0的通解.特征方程为 r2 2r 1 0, r1r2 1齐次方程的通解为再求所给方程的特解Y (G C2x)ex.1, Pm(x)x 1由于1是特征方程的二重根，所以y x2(ax b)ex把它代入所给方程，并约去ex得6ax 2bx 1比较系数，得1, 1a _b62于是2/X y x (-1' x-)e62所给方程

14、的通解为y y y G c2x x2丄x3)ex2 63. f(x) A cos x B sin x型的解法f(x) Acos x Bsin x,其中 A、B、均为常数.此时,方程式成为y py q Acos x Bsin x这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式 的特解y也应属同一类型，可以证明式(7)的特解形式为yxk(acos x bsin x)其中a,b为待定常数.k为一个整数.当 i不是特征方程r2 pr q 0的根，k取0;当 i不是特征方程r2 pr q 0的根，k取1;例6求方程y 2y 3y 4sinx的一个特解.解 1， ii不是特征方程为r2 2r 3 0的根，k 0.因此原方程的特解形式为y acosx bsi nx于是y a si nx bcosxy acosx bsin x将y,y ,y 代入原方程，得4a 2b 02a 4b 424解得a 2,b -5524原方程的特解为：ycosx sin x55例7求方程y 2y 3y ex sinx的通解.解 先求对应的齐次方程的通解 Y.对应的齐次方程的特征方程为r2 2r 30ri 1,r23Y C1e x C2e3x再求非齐次方程的一个特解y .由于f(x) 5cos2x e x,根据定理 4,分别求出方程对应的右端项为f1(x) e