(完整word版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数X总头数）+（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是（每只兔脚数X总头数-总脚数）+ （每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？ ”解一 （100-2X36） + （ 4-2） =14 （只） 兔；36-14=22 （只） 鸡。解二 （4X36-100） + （4-2） =22 （只）鸡；36-22=14 （只）兔。（答略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多

2、时，可用公式（每只鸡脚数X总头数-脚数之差）+ （每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数二鸡数或（每只兔脚数X总头数十鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数 十 每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数 多时，可用公式。（每只鸡的脚数x总头数十鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数 十 每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数二鸡数。或（每只兔的脚数x总头数-鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数十 每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题） 的解法，可以用下面的公 式：（1只合格品得分数x产品总数-

3、实得总分数）+ （每只合格品得 分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只 不合格品扣分数X总产品数+实得总分数）+ （每只合格品得分数 十 每只不合格品扣分数）= 不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产 一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分， 还要扣除15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合 格？”解一 （4X1000-3525） + （4+15）=475+ 19=25 （个）解二 1000- （15X 1000+3525）+ （4+15）= 1000-18525+ 19= 1000-975=25

4、 （个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给 运费XX元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本XX元。它的 解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔 各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和）+（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差） + （每只鸡兔脚数之差）+2=鸡数；（两次总脚数之和）+ （每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之 差）+ （每只鸡兔脚数之差）+2崂数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则 共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解(52+44) + (4+2) + (52-44) + (4-

5、2)+2=20+ 2=10 （只）鸡（52+44） + （4+2） - （52-44） + （4-2）+2=12+ 2=6 （只）兔（答略）鸡兔同笼目录1总述 2假设法 3方程法一元一次方程二元一次方程4抬腿法5列表法 6详解 7详细解法基本问题特殊算法习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数-总头数X鸡

6、的脚数）+ （兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数（9435X2） +2=12（兔子数）总头数（35）兔子数（12）二鸡数（ 23）解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数X2 只，由于鸡只有2 只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以3 就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。4 假设法假设全是鸡：2X 35=70 （只）鸡脚比总脚数少： 94 70=24 （只）兔：24 + （4-2）=12 （只）鸡： 35 12=23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚， 这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了， 只剩下用两只脚站立的兔子，

7、站立脚：59-35=24（只） 兔：24 + 2=12（只）鸡:35-12=23（只）5 方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只。4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-70 2x=24x=24 + 2x=1235-12=23(只)或解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只)答：兔子有12只，鸡有23只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94(x+y=35)X2

8、=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入(x+y=35)x+12=35x=35-12 (只)x=23 （只）。答：兔子有12 只，鸡有 23 只6 抬腿法 法一假如让鸡抬起一只脚， 兔子抬起 2 只脚， 还有 94 除以 2=47 只脚。 笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94 35X2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上， 地上只有兔子的脚， 而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24 + 2=12只兔子，就有3512=23只鸡7 列表法腿数鸡（只数）兔

9、（只数）8 详解中国古代孙子算经共三卷，成书大约在公元 5 世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出雉兔共有35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35X2=70 （只），比题中所说的94只要少94-70=24 （只）。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2 只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加 2， 2，2,2，一直继续下去，直至

10、增加24,因此兔子数：24 + 2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路： 如果先假设它们全是鸡， 于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚， 把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较， 看看差多少， 每差 2 只脚就说明有1 只兔，将所差的脚数除以 2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总 数）+ （每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为 x ，鸡的数量为 y那么： x+y=35 那么 4x+2y=94 这个算方程解出后得出： 兔

11、子有 12 只，鸡有 23 只。9 详细解法基本问题" 鸡兔同笼 " 是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中 .许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法 -"假设法"来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例 1 有若干只鸡和兔子，它们共有88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只解： 我们设想， 每只鸡都是"金鸡独立 ",一只脚站着； 而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244+2=122 （只）.在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了

12、两次。因此从 122 减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），有 34 只兔子.当然鸡就有54 只。答：有兔子34 只,鸡 54 只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数+2-总头数二兔子数.总头数-兔子数=鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，"脚数 "就不一定是4 和 2， 上面的计算方法就行不通。 因此， 我们对这类问题给出一种一般解法.还说例 1.如果设想88只都是兔子，那么就有4X

13、88只脚，比244只脚多了88X4-244=108 （只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88 X 4-244） + （4-2）= 54 （只）.说明我们设想的 88只"兔子"中，有 54 只不是兔子。 而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数x总头数-总脚数）+ （兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是"鸡"，那么共有脚2X 88=176 （只），比 244 只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2） 只脚，68 + 2=34 （只）.说明设想中的"鸡",有 34只是兔子，也可以列出公式兔数

14、=（总脚数-鸡脚数x总头数）+ （兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用， 用其中一个算出兔数或鸡数， 再用总头数去减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为 "假设法".现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例 2 红铅笔每支0.19 元，蓝铅笔每支0.11 元，两种铅笔共买了 16支，花了 2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以"分"作为钱的单位.我们设想，一种"鸡"有 11 只脚，一种 "兔子"有 19 只脚，它们共有16个头， 280只脚。现在已经把买铅笔问题， 转化成 &

15、quot;鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=(19 X 16-280) +(19-11)=24 + 8 =3（支） .红笔数 =16-3=13（支） .答：买了 13 支红铅笔和3 支蓝铅笔。对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的 "脚数"19 与 11 之和是30.我们也可以设想16只中， 8只是 "兔子 ",8 只是"鸡",根据这一设想，脚数是8X（11 + 19）=240 （支）。比 280 少 40.40 + （19-11）=5 （支）。就知道设想中的8 只"鸡&qu

16、ot;应少5只，也就是"鸡"（蓝铅笔）数是3.30X8比19X 16或11X16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16 只中，"兔数 "为 10,"鸡数 "为 6，就有脚数19X10+11X6=256.比 280 少 24.24 + （19-11）=3,就知道设想6 只"鸡",要少 3只。要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领 .下面再举四个稍有难度的例子。例 3 一份稿件， 甲单独打字需6小时完成 .乙单独打字需10小时完成，现

17、在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时。甲打字用了多少小时？解： 我们把这份稿件平均分成30份（30是 6和 10 的最小公倍数） ， 甲每小时打30+ 6=5 （份），乙每小时打30+ 10=3 （份）.现在把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间看成"鸡"头数，总头数是7."兔" 的脚数是5,"鸡" 的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成 "鸡兔同笼 " 问题了。根据前面的公式"兔"数=（30-3X7）+ （5-3）=4.5,"鸡&quo

18、t;数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了 4.5小时，乙打字用了 2.5小时。答：甲打字用了 4 小时30 分 .例 4 今年是 1998 年，父母年龄（整数）和是78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁。 四年后 （2002 年） 父的年龄是弟的年龄的 4 倍， 母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？解： 4 年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡 "头数， 弟的年龄看作 "兔"头数。25是"总头数".86 是&q

19、uot;总脚数".根据公式，兄的年龄是(25X4-86)+(4-3)=14 (岁).1998 年，兄年龄是14-4=10(岁).父年龄是(25-14)X4-4=40 (岁).因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，兄的年龄是(40-10) + (3-1)=15 (岁).这是 2003年。答：公元 2003年时，父年龄是兄年龄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿， 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀， 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫共18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成 "8

20、条腿 "与"6 条腿 "两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=(118-6X18)+(8-6)=5(只) .因此就知道6 条腿的小虫共18-5=13(只).也就是蜻蜓和蝉共有13 只，它们共有20 对翅膀。再利用一次公式蝉数=(13X2-20)+(2-1)=6 (只).因此蜻蜓数是13-6=7(只).答：有 5 只蜘蛛， 7 只蜻蜓， 6 只蝉。例 6 某次数学考试考五道题，全班52 人参加，共做对181 道题，已知每人至少做对1 道题，做对1 道的有 7 人， 5 道全对的有6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对4 道的人数有多少人？解：对 2

21、道， 3 道， 4 道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-1X7-5X6=144 （道）.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（2+3）+2=2.5）.这样兔脚数 =4，鸡脚数 =2.5,总脚数 =144，总头数 =39.对 4 道题的有（144-2.5X 39）+（4-2.5）=31 （人）.答：做对 4 道题的有 31 人。以例 1 为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只？以简单的 X 方程计算的话，我们一般用设大数为X ，那么也就是设兔为X ，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X

22、）只。解：设兔为 X 只。则鸡为（ 88-X ）只。4X+2X （88-X） =244上列的方程解释为： 兔子的脚数加上鸡的脚数， 就是共有的脚数。 4X 就是兔子的脚数，2X (88-X)就是鸡的脚数。4X+2 X 88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X +2=68 + 2X=34即兔子为 34 只，总数是88 只，则鸡： 88-34=54 只。答：兔子有34 只，鸡有 54 只。习题一1 龟鹤共有100 个头， 350 只脚 .龟，鹤各多少只？2 学校有象棋，跳棋共26 副，恰好可供120 个学生同时进行活动。象棋 2 人下一副棋，跳棋6

23、人下一副.象棋和跳棋各有几副？3一些2分和 5分的硬币，共值2.99元，其中 2分硬币个数是5分硬币个数的 4 倍，问 5 分硬币有多少个？4 某人领得工资240 元， 有 2 元， 5 元， 10 元三种人民币， 共 50 张，其中 2 元与 5 元的张数一样多。那么 2 元， 5 元， 10 元各有多少张？5 一件工程，甲单独做12 天完成，乙单独做18 天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16天 .甲先做了多少天 ？6 摩托车赛全程长281 千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段（3 千米） ，一段平路 （4 千米） ，一段下坡路（2千米）和一段平路

24、（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米） ，一段下坡路（2 千米）和一段平路（4 千米）组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了 25 段上坡路 .全程中包含这两种阶段各几段？7 用 1 元钱买 4 分， 8 分， 1 角的邮票共15 张，问最多可以买1 角的邮票多少张？二、 "两数之差" 的问题鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差 ",又应该怎样去解呢例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票， 共花 6 元 8 角。 已知 8 分的邮票比 4分的邮票多 40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出 40

25、张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多 .（680-8X40）+（8+4）=30 （张），这就知道，余下的邮票中， 8分和 4分的各有 30张。因此 8 分邮票有40+30=70（张）.答：买了 8 分的邮票 70 张， 4 分的邮票 30 张。也可以用任意假设一个数的办法 .解二：譬如，假设有 20 张 4 分，根据条件"8 分比 4分多 40张",那么应有 60 张 8 分。以 "分"作为计算单位，此时邮票总值是 4X20+8X60=560.比 680 少，因此还要增加邮票。为了保持"差"是 40，每增加1

26、 张 4分，就要增加 1 张 8 分，每种要增加的张数是（680-4X20-8X60）+（4+8）=10 （张）.因此 4 分有20+10=30（张）， 8 分有60+10=70（张）.例 8 一项工程，如果全是晴天， 15 天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多 3 天，工程要多少天才能完成解：类似于例 3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-8X3）+（10+8）= 7 （天）.雨天是 7+3=10天，总共7+10=17（天）.答：这项工程17 天完成。请注意，如果把"雨天比晴天多3 天"去掉，而换成

27、已知工程是17 天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个。 这说明了例 7， 例 8 与上一节基本问题之间的关系 .总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28 + 2=14 （只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 4+2=2 （倍），于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍。兔的只数是（100+28+ 2） + （2+1）=38 （只）.鸡是100-38=62（只）.答：鸡 62 只，

28、兔 38 只。当然也可以去掉兔28+ 4=7 （只）.兔的只数是（100-28+ 4） + （2+1）+7=38 （只）.也可以用任意假设一个数的办法。解二：假设有 50 只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是4X50-2X50=100,比 28 多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是（100-28） + （4+2）=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.另外， 还存在下面这样的问题： 总头数换成"两数之差 ",总脚数也换成

29、"两数之差".例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了 20个字 .问两种诗各多少首？解一：如果去掉13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差13X5X4+20=280 （字）.每首字数相差 7 X 4-5X 4=8 （字）.因此，七言绝句有 280 + （28-20）=35 （首）五言绝句有35+13=48（首）.答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首。解二：假设五言绝句是 23 首，那么根据相差 13 首，七言绝句是10首.字数分别是20X23=460 （

30、字），28X 10=280 （字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字）.与题目中 "少 20字"相差180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了。为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句， 而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加200+8=25 （首）.五言绝句有23+25=48 （首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出"鸡兔同笼"公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例 7，例9 和例 10 三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出的计算式子与"鸡兔同笼"

31、;公式对照一下，就会发现非常有趣的事 .例 7，假设都是8 分邮票， 4 分邮票张数是（680-8X40） + （8+4）=30 （张）.例 9，假设都是兔，鸡的只数是（100X4-28） + （4+2）=62 （只）.10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是（20X 13+20）+（28-20）=35 （首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与"鸡兔同笼 "公式"-" 成了 "+". 其奥妙何在呢有了负数的概念， 并会列二元一次方程组， 就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。例 11 有一辆货车运

32、输2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只 2 角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是400 元。但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）+（1+0.2）=17 （只）.答：这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶。请你想一想，这是"鸡兔同笼 " 同一类型的问题吗例 12 有两次自然测验， 第一次 24道题， 答对 1 题得 5分， 答错 （包含不答） 1 题倒扣 1 分；第二次15 道题，答对1 题 8 分，答错或不答 1 题倒扣 2

33、 分，小明两次测验共答对30 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验 24题全对，得5X24=120 （分）.那么第二次只做对30-24=6 （题）得分是 8X6-2X05-6）=30 （分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差 10 分， 多了 80 分。 说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分，还可得 8 分，因此增加 8+2=10 分。两者两差数就可减少6+10=16（分） .（90-10）+ （6+10）=5 （题）.因此第一次

34、答对题数要比假设（全对）减少 5 题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.第一次得分 5X 19-1 X （24- 19）=90.第二次得分 8X11-2X（15-11）=80.答：第一次得90 分，第二次得80 分。解二：答对30 题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6X9.但两次满分都是120分。比题目中条件"第一次得分多10分"，要少了 6X9+10

35、.因此，第二次答错题数是（6X9+10）+（6+10）=4 （题）第一次答错9-4=5（题）.第一次得分 5X （24-5）-1 X5=90 （分）.第二次得分 8X （15-4）-2X4=80 （分）.习题二1 买语文书 30 本，数学书 24 本共花 83.4 元。每本语文书比每本数学书贵 0.44 元。每本语文书和数学书的价格各是多少 ？2 甲茶叶每千克132 元，乙茶叶每千克96 元，共买这两种茶叶 12千克 .甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少 354 元。问每种茶叶各买多少千克？3 一辆卡车运矿石，晴天每天可运16 次，雨天每天只能运11 次 .一连运了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨

36、天比晴天多 3 天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天 ？4 某次数学测验共20 道题，做对一题得 5 分，做错一题倒扣 1 分，不做得 0 分。小华得了 76 分.问小华做对了几道题？5 甲，乙二人射击，若命中，甲得4 分，乙得 5 分；若不中，甲失2 分，乙失 3 分。每人各射10 发，共命中 14 发 .结算分数时，甲比乙多 10 分。问甲，乙各中几发？6甲，乙两地相距12 千米 .小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留 40 分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4 小时后，他们在返回的途中相遇.如果

37、小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。？三、从"三" 到"二""鸡"和"兔"是两种东西， 实际上还有三种或者更多种东西的类似问题 .在第一节例 5 和例 6 就都有三种东西。 从这两个例子的解法， 也可以看出，要把 "三种 "转化成 "二种 "来考虑 .这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法。例 13 学校组织新年游艺晚会， 用于奖品的铅笔， 圆珠笔和钢笔共232支， 共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4 倍。 已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.

38、7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支解： 从条件"铅笔数量是圆珠笔的4 倍",这两种笔可并成一种笔， 四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作(0.60X 4+27) + 5=1.02 (元).现在转化成价格为 1.02和 6.3两种笔。用 "鸡兔同笼"公式可算出，钢笔支数是(300-1.02X 232)+(6.3-1.02)=12 (支).铅笔和圆珠笔共232-12=220(支).其中圆珠笔220+(4+1)=44 (支)铅笔220-44=176(支).答：其中钢笔12 支，圆珠笔44 支，铅笔 176 支。例 14 商店出售大，中，

39、小气球，大球每个3 元，中球每个1.5 元，小球每个 1 元。张老师用 120 元共买了 55 个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个解：因为总钱数是整数，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3 的整数倍。我们设想买中球，小球钱中各出3 元 .就可买2 个中球， 3 个小球。因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是(1.5X2+1 X3)+(2+3)=1.2 (元).从公式可算出，大球个数是(120-1.2X 55)+(3-1.2)=30 (个)买中，小球钱数各是（120-30X 3） + 2=15 （元）.可买 10 个中球， 15 个小球。答：买

40、大球30 个，中球 10 个，小球 15 个 .例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系， 例 14 是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法） ，把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把"三"转化成"二" 了。例 15 是为例 16 作准备 .例 15 某人去时上坡速度为每小时走 3千米，回来时下坡速度为每小时走 6 千米，求他的平均速度是多少解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离+所用时间去时走 1 千米，要用 20 分钟；回来时走1 千米，要用 10 分钟。来回共走 2 千米，用了

41、 30 分钟，即半小时，平均速度是每小时走4 千米 .千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走 （6+3）+ 2=4.5千米。例 16 从甲地至乙地全长45 千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小时3 千米， 平路上速度是每小时5 千米， 下坡速度是每小时 6 千米。从甲地到乙地，李强行走了 10 小时；从乙地到甲地，李强行走了 11 小时 . 问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米解：把来回路程45X 2=90 （千米）算作全程。去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成 "一种 "路程，根据例15，平均速度是每小时4 千米。现在形成一

42、个非常简单的 "鸡兔同笼 "问题 .头数 10+11=21，总脚数90，鸡，兔脚数分别是4 和 5.因此平路所用时间是（90-4X21） + （5-4）=6 （小时）.单程平路行走时间是6+2=3 （小时）.从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是：45-5X3=30 （千米）.又是一个 "鸡兔同笼 " 问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：（6X7-30）+（6-3）=4 （小时）.行走路程是3X4=12 （千米）.下坡行走的时间是7-4=3 （小时）.行走路程是6X3=18 （千米）.答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下

43、坡18千米。做两次"鸡兔同笼"的解法，也可以叫"两重鸡兔同笼问题".例 16 是非常典型的例题。例 17 某种考试已举行了 24次，共出了 426题 .每次出的题数，有25题，或者 16 题，或者 20 题。那么，其中考25 题的有多少次解：如果每次都考16题，16X 24=384,比426少42道题.每次考25 道题，就要多25-16=9（道）.每次考20 道题，就要多20-16=4（道）.就有9X考25题的次数+4X考20题的次数=42.请注意，4和42都是偶数，9 X考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9X6=54比42大，考2

44、5题的次数，只能是 0,2,4这三个数。 由于 42不能被 4整除， 0和 4都不合适 .只能是考25 题有 2 次（考 20 题有 6 次） .答：其中考25 题有 2 次。例 18 有 50位同学前往参观， 乘电车前往每人1.2元， 乘小巴前往每人 4 元，乘地下铁路前往每人6 元。这些同学共用了车费 110 元，问其中乘小巴的同学有多少位解：由于总钱数110 元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5 的整数倍 .如果有30 人乘电车，110-1.2X 30=74 （元）.还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够。 说明假设的乘电车人数少了.如果有 40 人乘电车

45、110-1.2X40=62 （元）.还余下50-40=10 （人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62>6X10）.说明假设的乘电车人数又多了。 30 至 40 之间，只有35 是 5 的整数倍 .现在又可以转化成"鸡兔同笼" 了：总头数 50-35=15,总脚数 110-1.2X 35=68.因此，乘小巴前往的人数是（6Xl5-68）+（6-4）=11.答：乘小巴前往的同学有11 位。在“三 "转化为 "二"时，例13，例14，例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种。例 17，例 18 是另一种类型 .充分利用所求

46、个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值。对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成"二" 的问题了。在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了 .更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解。习题三1 有100 枚硬币，把其中 2 分硬币全换成等值的 5 分硬币，硬币总数变成 79 个，然后又把其中的 1 分硬币换成等值的 5 分硬币，硬币总数变成 63 个.求原有 2分及 5分硬币共值多少钱？2 "京剧公演"共出售750张票得 22200元。甲票每张60元，乙票每张 30 元，丙票每张18 元 .其中丙

47、票张数是乙票张数的2 倍。问其中甲票有多少张?3 小明参加数学竞赛，共做20 题得 67 分 .已知做一题得5 分，不答得 2 分，做错一题倒扣 3 分。又知道他做错的题和没答的题一样多问小明共做对几题 ？4 1 分， 2分和 5分硬币共 100枚，价值 2元，如果其中 2 分硬币的价值比 1 分硬币的价值多 13分。问三种硬币各多少枚？注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.5甲地与乙地相距24 千米。某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时 4 千米，走平路速度每小时5 千米，下坡速度每小时6 千米。去时行走了 4 小时 50 分， 回来时用了 5 小时.问从甲地到乙地，上坡，平路，下坡各

48、多少千米？6 某学校有12 间宿舍，住着80 个学生。宿舍的大小有三种：大的住 8 个学生，不大不小的住7 个学生，小的住5 人.其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间 ？测验题1 松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12 个。它一连几天采了 112 个松籽，平均每天采14 个 . 问这几天当中有几天有雨？2有一水池，只打开甲水龙头要24 分钟注满水池，只打开乙水龙头要 36 分钟才注满水池。现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟。问注满水池总共用了多少分钟 ？3 某工程甲队独做50 天可以完成，乙队独做75 天可以完成.现在两队合做，但是中途乙队因另有任务调离了若干天。从开工后 40 天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天？4 小华从家到学校， 步行一段路后就跑步。 他步行速度是每分钟 600，跑步速度是每分钟 140 米.虽然步行时间比跑步时间多4 分钟，但步行的距离却比跑步的距离少400 米。问从家到学校多远？5 有16 位教授，有人带 1 个研究生，有人带2 个研究生，也有人带6 个研究生.他们共带了27 位研究生。其中带1 个研究生的教授人数与带 2,3 个研究生的教授人数一样多 .问带 2 个研究生的教授