(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

1、第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1 、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2 .向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、b(黑体，印刷用)等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ；向量AB的大小一一长度称为向量白模，记作|云口 |.3 .有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，

2、也是 不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作 0.0的方向是任意的注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 .说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合、才是平行向量的完整定义；(2)向量a、b、c平行，记作a /b / c .6、相等向量定义：长度相等且方向相同白向量叫相等向量.说明：(1)向量a与b相等，记作a = b; (2)零向量与零向量相等；(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关7、共线向

3、量与平行向量关系:平行向量就是共线向量， 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的 起点无关）. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系第2课时§ 2.2.1向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 2、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、b .在平面内任取一点 A,作AB = a, BC = b ,则向量AC叫做a + 0-= 0 + aa与b的和，记作a+b ,即a+ b AB BC AC ,规定:b.a+b-

4、探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；-FT-FF F F（2）当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且|a + b |<|a |+|b |；（3）当a与b同向时，则a + b、a、b同向,且|2 + "=|2|+由|,当a与b反向时，若|a|>|b |,b rbw rb- -r则a + b的方向与a相同，且|a + b|=|a|-|b|；若|a |<|b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且 |a+b|=|b |-|a|.（4） “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加3 .例一、已知向量 a、b ,求作

5、向量a + b作法：在平面内取一点，作 OA a AB b ,则OB a b .4 .加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b + a的结果与a + b是否相同？验证结果相同从而得到：1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)* *2)向量加法的交换律：a + b = b + a5.向量加法的结合律：(a + b) + c = a +(b + c)证：如图：使 AB &, BC b , CD c则(a + b) + c= AC CD AD , a + (b + c) = AB BD AD -* r -a- -r I- -r. . (a + b ) + c= a + (b

6、+ c)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行第3课时1 2.2.2向量的减法运算及其几何意义2 .用“相反向量”定义向量的减法(1)“相反向量”的定义：与 a长度相同、方向相反的向量.记作 a(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0如果a、b互为相反向量，则 a = b,b = a, a + b = 0(3)向量减法的定义：向量 a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a b = a + ( b)求两个向量差的运算叫做向量的减法3 .用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算:若

7、b + x = a,则x叫做a与b的差，记作a b4 .求作差向量：已知向量 a、b,求作向量a b(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b则 BA = a b即ab可以表示为从向量 b的终点指向向量 a的终点的向量.注意：1 AB表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数显然，此法作图较繁，但最后作图可统B2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b)5 .探究:a.1)如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba.a b ,.a_b O B A B' O B AL

8、aa b .a bbOA b b B O2）若all b, 如何作出a b ?2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§ 2.3.1 面向量基本定理复习引入：1 .实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入 a(1) |入a|=| x |a|； (2)入0时入a与a方向相同；入0时入a与a方向相反；入=0时入a= 02 .运算定律结合律：入(闺)=(入a ；分配律：(入+ w)a=xa+wa, 入(a + b尸入a+入b3 .向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使b =入 a .平面向量基本定理：如果ei,1是同一平面内的两个不共线向

9、量，那么对于这一平面 内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2使a=e” +入2e2.探究：(1)我们把不共线向量 e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量 a在给出基底e 1、©2的条件下进行分解；9(4)基底给定时，分解形式惟一.询江是被a, 3 ,备唯一确定的数量第5课时§ 2.3.2 § 2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1 .平面向量基本定理：如果 e , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2使2=入1色

10、+入23(1)我们把不共线向量 e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量 a在给出基底ei、©2的条件下进行分解； I(4)基底给定时，分解形式惟一.功卸是被a, e , e2唯一确定的数量二、讲解新课：1 .平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y ,使得a xi yj我们把(x, y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a (x, y)C2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，。2式叫做

11、向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为 (x, y). *特别地，i (1,0), j (0,1), 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点。为起点作OA a,则点A的位置由a唯一确定.A的坐标(x, y)也设OA xi yj ,则向量OA的坐标(x, y)就是点A的坐标；反过来，点就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯表木.2 .平面向量的坐标运算(1 ) 若 a "yj , b (x2,y2)，则 a b (x1 x2,y y?),a b (xi x2,yiyz)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为 i

12、、j,则 ab (x1i y1 j) (x2iy2j)(x1 x2)i(y1y2)j即 a b (x1 x2,y1y2),同理可得 a b(x1x2,y1 y2)若 Alxiyi), B(x2,y2),则 ABx2 xl y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( x2 v2 (xi, yi)= (x2 xi, y2 yi)(3)若 a (x, y)和实数，则 a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为 i、j ,则 a (xi yj) xi yj ,即 a ( x, y)第6课时§ 2.3.4平

13、面向量共线的坐标表示一、复习引入：1.平面向量的坐标表示.任作一个向量a ,由平面分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、向量基本定理知，有且只有一对实数j作为基底xi yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作 a (x, y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地,(1,0), j (0,1), 0 (0,0).2.平面向量的坐标运算若 a (xi，yi) , b (x2,y2),则 a b (xi x2,yi y2) , a b (xi x2,yi y?) , a ( x, y).若庆小口丫力 B(x2, y2),则 ABx2 xi, y2 yi二、讲解新

14、课：a / b (b 0)的充要条件是 xiy2-x2yi=0设 a=(xi,yi) , b =(x2, y2) 其中 b a.由 a=Xb 得，(xi, yi)=入(x2,y2)xix2yiy2消去入，xiy2-x2yi=0探究：(i)消去入时不能两式相除,一个不为0yi,y2有可能为0, b 0x2,y2中至少有(2)充要条件不能写成之名xix2xi,x2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:a / b (b 0)a bxi y2x2 yi0§ 2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1,向量共线定理向量b与非零向量a共线的充

15、要条件是：有且只有一个非零实数入，使b =入 a .2 .平面向量基本定理：如果 e , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入i,入2使a=iie1 +入2e23 .平面向量的坐标表不分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底.任作一个向量a ,由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数x、y ,使得a xi yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作 a (x, y)4 .平面向量的坐标运算若 a(xi, yi) , b(x2,y2),则 a b(x1x2,yy?) , a b(xx?,My),a ( x, y).若 A(xi，

16、yi), B(x2, y2),则 ABX2 x1，y2 Vi5 . a/ b (b 0)的充要条件是 xiy2-x2yi=06 .线段的定比分点及入Pi, P2是直线l上的两点，P是l上不同于Pi, P2的任一点，存在实数入，使 RP =入PP2 ,入叫做点P分PB所成的比，有三种情况：三e-g当幺入0(内分)(外分)入0 (入-i)(外分)入0 (-i入0)7 .定比分点坐标公式：若点P i (xi ,yi), P2(x2,y2),入为实数，且PF=入PP2,则点P的坐标为(x2,yy2),我们称 入为点p分而2所成的比.118 .点P的位置与入的范围的关系:当4。时，P1P与PP2同向共线

17、，这时称点P为P1P2的内分点.1)时，PF与PP2反向共线,这时称点P为PP2的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点O,设 OP1 = a可得OP = ab1La,OP210.力做的功： W = |F|s|cos二、讲解新课：是F与s的夹角.1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b ,作OA = a , OB = b ,则/夹角.说明：(1)当。=0时,a与b同向;(2)当仁兀时,a与b反向;(3)当仁一时,2(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 0 w W180gCI眇a与b ,它们的夹角是2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量|

18、a|b|cos叫a与b的数量积,记作 a b,即有ab = |a|b|cos , (0 wg力.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别cos的符号所决定.(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由(2)两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积ax b,而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号 耍 ”在向量运算中不是乘号，既不能省略,也不能用“X”代替.(3)在实数中，若a 0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中，若 a 0,且a b=0,不能推出 b=0.因为其中cos有可能为0.(4)已知实数 a、b、c(b

19、0),贝U ab=bca=c.但是 a b = b 4* a = c如右图：a b = |a|b|cos = |b|OA|, b c = |b|c|cos = |b|OA|a b = b c 但 a c(5)在实数中，有(ab)c = a(b c),但是(a b)c a(bc)定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影显然，这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与 a共线的向量，而一般 a与c不共 线.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0;当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|.4 .向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的

20、长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5 .两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = a e =|a|cos2 a b a b = 03 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，a b = |a|b|.特别的a a = |a|2或|a| v'a aa b4 cos =|a|b|5 |a b| & |a|b|第8课时、平面向量数量积的运算律、复习引入：1 .两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b ,作OA = a , OB = b,则/ AOB = 0(0 叫a与b的 夹角.2 .平面向量数量积(内积)的定义：已知两

21、个非零向量a与b ,它们的夹角是0 ,则数量ai|b|cos叫a与b的数量积，记作 a b,即有a b = |a|b|cos ,(o wg力.并规定0与任何向量的数量积为0.3 .“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0;当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|.4 .向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5 .两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = a e =|a|cos ;3

22、当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，a b = |a|b|.特别的a a = |a|2或|a| da aa bcos = ; 5 |a b| < |a|b|a|b|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1 .交换律：a b = b a证：设 a, b 夹角为,则 a b = |a|b|cos , b a = |b|a|cosa b = b a2 .数乘结合律：(a) b = (a b) = a ( b)证：若 > 0,( a) b = |a|b|cos ,(a b) = |a|b|cos , a ( b) = |a|b|cos ,， (a b) = |a|b|cos

23、 ,若 < 0, ( a) b =| a|b|cos()=|a|b|( cos ) = |a|b|cosa ( b) =|a| b|cos( )=3.分配律：(a + b) c = a c + b c|a|b|( cos ) = |a|b|cos .在平面内取一点O,作OA= a, AB = b, OC = c,a + b （即OB ）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2| c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2, c (a + b) = ca + c

24、 b b c即：(a + b) c = a c +说明：(1) 一般地，(a -b) cWa ( b -c)(2) a b b 匕 cW忡 a = b(3)有如下常用性质：a 2= I a I 2,(a + b) (c+d) = a 叶 a d+b 叶 b -d (a + b )2 = a 2 + 2 a ,b + b?第9课时、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b ,作OA = a , OB = b，则/ A O B =。（ 0 wg/叫a与b的 夹角.2 .平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 a与b ,它们的夹角是0 ,则数量 |a|b|cos叫a与b的数量积，记作 a b,即有a b = |a|b|co