高数下总复习ppt课件

1、12L1n2ns例例 将直线将直线 化为直线的对称式方程化为直线的对称式方程.23202321 0 xyzxyz 解解 直线方向为直线方向为12123( 13, 4, 7)(13,4,7),232ijksnn 再找出直线上一点，在普通直线方程中令再找出直线上一点，在普通直线方程中令 那么有那么有0,z 220231 0 xyxy 83,77xy 解出解出12L1n2ns那么直线方程为那么直线方程为8377.1347xyz即直线上一点为即直线上一点为83,0 ,77例例 求过点求过点 且同时垂直于直线且同时垂直于直线1, 2,512320:23210 xyzLxyz 23250:280 xyzL

2、xyz与与的直线方程的直线方程.11231347 ,232ijksijk 解解 直线直线 的方向为的方向为1L同理直线同理直线 的方向为的方向为2L242 ,sjk1L1s2L2s令所求直线的方向为令所求直线的方向为 可取可取, s12sss134736,26,52218,13,26042ijk 故所求直线方程为故所求直线方程为125.181326xyz1L1s2L2s12ss解解12122222,xyyzfxyfxyffxx211121122xyfxfxfx112222122x yyyyzxyfxfffxx2212222211yfxffxxx31211122223122.yxffx yfyf

3、fxx例例 设设 其中其中 有延续偏导，求有延续偏导，求 2(, ),yzf x yxf.xyz,xzFzyzxFxy例例 设设 求求 222,.zzxx y 1,xyyzxz解解 令令, ,1,F x y zxyyzxz,xyzFyz Fxz Fxy 那么那么222()()()zxyyzzxxxy 所以所以,yzFzxzyFxy22()(1)()()zxyyzzyx yxy 22()()()2().()()yzxyyzyzxyxyxy 故故22()(1)()2.()()xzxyyzzxyxyxy 解解 令令222, ,236,F x y zxyz 4 , 6 , 2 ,xyzFxFyFz例例

4、 设设 是曲面是曲面 在点在点 处的处的222236xyzn1,1,1P外法向量，外法向量，取外法线方向，取外法线方向，n求求 在点在点 处沿处沿 的方导游数的方导游数.22168uxyzPn,4 ,6 ,2xyzPPnFFFxyz故故 4,6,22 2,3,1 ,1(2,3,1),14ne 2216,68xxuzxy2218,68yyuzxy222168,zuxyz 1,(6,8, 14),14xyzpPuu u u11(6,8, 14)(2,3,1),1414nuu en 628314111.7141414141414解解 由于梯度方向即为最大方导游数方向，由于梯度方向即为最大方导游数方向

5、，例例 函数函数 在点在点1,1,1P2ln1uxyzxyz处沿哪个方向的方导游数最大？并求此最大值处沿哪个方向的方导游数最大？并求此最大值.22111xxyzxyzuxyzxyz21,1xyz21,1yzuuxyz最大方导游数为最大方导游数为 为最大方导游数方向为最大方导游数方向. . 111,101010pu3.10pu例例 求曲面求曲面 在点在点 处的处的2e1xyxz01,2,1M解解 令令 那么那么2, ,e1,xyF x y zxze2 ,e ,1,xyxyxyzFyx FxF 因此因此221,2,12e2,e1 ,nF 222e21e210.xyz及法线及法线22121.2e2e

6、1xyz切平面与法线方程切平面与法线方程.由此得切平面由此得切平面例例 求求 的极值的极值.44,41f x yxxyy 33,440,440.xyfx yxyfx yyx 得驻点得驻点 又又 0,0 , 1,1 ,1, 1 . 22,12,4,12,xxxyyyfx yxfx yfx yy 列表如下列表如下解解 由必要条件，先求函数的驻点由必要条件，先求函数的驻点. 为此求解方程组为此求解方程组, x y0,01,11, 1 A2ACB因此，因此， 均为极大值，均为极大值，1,11, 11ff 0,01f 而而 不是极值不是极值.例例 求求22322d ,Dxyx xyyxy22:2 .D

7、xyx解解 由对称性得由对称性得22dDx xy222xyxxOy22322dDxyx xyyxy:02cos ,.22D2cos3202dcos d 原式原式5224cosd 64.155522024cosd8cosd 24222008cosdsin81sindsin2420812sinsindsin解解 积分区域如下图，积分区域如下图，例例 求二重积分求二重积分dDxy222:.D xya那么那么:0,02 .Da用直线用直线 分割积分区域分割积分区域 ，使得，使得yxD12.DDD其中其中13:0,44Da237:0,.44Da或或7:0,.44Da1xyaO1D2D0 xy0 xy1x

8、yaO1D2DdDxy74304dcossinda 1dDxy2dDxy 3404dcossinda 334041dcossin3a 7343041dcossin3a 1xyaO1D2D3344cossind3a73434cossind3a3344sincos3a73434sincos3a32 23a32 23a34 2.3axyzO例例 求抛物面求抛物面 位于位于 之间部分的面积之间部分的面积. 22zxy09z解解 或或 22:9D xy:02 ,03.D221dxyDSzz22144dDxy23200d14d 32371 .63322200114d12例例 求锥面求锥面 被平面被平面 所

9、截下的所截下的22zxy23xz解解 首先求出曲面与平面的交线在首先求出曲面与平面的交线在 平面上的投影平面上的投影.xOy222344,xxy即有即有2231412.xy2211.43xy有限部分的面积有限部分的面积.132zx将将 代入锥面方程，得代入锥面方程，得化为规范方程化为规范方程xyzO22zxy23xz22221:1.23xyD投影区域为投影区域为OxyDxyzO22zxy23xzOxyD221dxyDSzz2222221dDxyxyxy2dDd232 3DD 2 6 .S例例 求半球面求半球面 及抛物面及抛物面222zxy22zxy所围立体的体积所围立体的体积.解解 由方程组由

10、方程组221,0.xyzOxyz半球面及抛物面的交线半球面及抛物面的交线22222,.zxyzxy消去消去 后解得后解得221xyzxOy在在 面上的投影线为面上的投影线为222zxy22zxyOxyz222zxy22zxy所围立体在所围立体在 面上的投影区域为面上的投影区域为xOy22:1,xyDxy2222:,2xyx yDxyzxyxyDdVV22222ddxyxyxyDz22222dxyDxyxy212200d2d 4 27.36yxzO例例 求求 ，其中，其中dy s2222:.xyzRxy2222xyzRxy解解 利用球面坐标利用球面坐标所以空间曲线所以空间曲线 分解为两个参数方程

11、分解为两个参数方程sincossinsincosxryrzr由于由于 ，故，故2222xyzRrRxy，故，故 和和454yxzO2222xyzRxy122sin22sin , 02cosxRyRzR1:2sin22sin , 02cosxRyRzR 2:12dddy sy sys2220dy xyz2220dyxyz2222220211sincoscossind222RRRR 2222220211sincoscossind222RRRR 202sin dR 22 2.R022sind2RR例例 求求 其中其中 22d ,x yS222:.zRxy222,xxzRxy222,yyzRxy222

12、221,xyRzzRxy:0,02 .DR即即解解 的投影区域为的投影区域为222:.D xyRyxzO222zRxyD24222200dcossindRRR 52222200cossinddRRR 222222d1dxyDx ySx yzz22222dDRx yRxy2255200sin1sin 2 dsind4RtRRt t 62.15R26520011 cos4dsind8Rt t614 2285 3R例例 求求22d dd d ,Ixyz z xz xyx y其中其中 为下半球面为下半球面 取上侧取上侧.222,zaxy 解解 作平面作平面 取下侧，取下侧，2221:0,zxya122

13、1d dd dIxyz z xz xyx y122d d0,z xyx y1221d dd dIIIxyz z xz xyx y22dxzxyV xyzOn22dxyV 222022d ddxyaxyDIx yxyz 222:,0,xyx yDaxyzxyzOn222200ddaa 22222d dxyDxyaxyx y 532202sincos datt t 552842.31515aa 例例 将函数将函数 分别展开成正弦级数分别展开成正弦级数 1 0f xxx , 0,0, 0, 0,f xxxxfxx与余弦级数与余弦级数.解解 先将先将 展开为正弦级数展开为正弦级数: f x对对 作奇延

14、拓，即补充函数在作奇延拓，即补充函数在 上的定义上的定义 f x,0, 由此得到由此得到 上的奇函数上的奇函数 f x xxyO111, 0,0, 0,1, 0,xxxxx由由 的定义，得的定义，得 x00,1,2,nan 0022sind1 sindnbf xnx xxnx x2111,1,2,.nnn00221 coscosdxnxnx xnn 021 dcosxnxn 将奇函数将奇函数 展开为正弦级数，展开为正弦级数， x212 sinsin22 sin323xxx1sin42 sin5sin6456xxx12111sinnnnxn 11sinnnf xxbnx 12111sinnnnxn0 x当当 时，即有时，即有 , 0, 0,f xxxfxx由由 的定义，得的定义，得 x01,2,nbn将将 展开为余弦级数展开为余弦级数: f x对对 作偶延拓，即补充函数在作偶延拓，即补充函数在 上的定义上的定义 f x,0, 由此得到由此得到 上的偶函数