2 3 1直线与平面垂直的判定

1、成才之路数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修2 成才之路成才之路 数学数学 人教A版版 必修2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系第二章 点、直线、平面之间的位置关系 成才之路成才之路 数学数学 人教A版版 必修2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系23 直线、平面垂直的判定及其性质 第二章 成才之路成才之路 数学数学 人教A版版 必修2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系第二章 23.1 直线与平面垂直的判定 第二章第二章23 23.1成才之路成才之路 数学数学 人教A版版 必修2 课前自主预习思路方法技巧名师辨误做答课后强化作业课堂基础巩固第二章23 2

2、3.1成才之路 数学 人教A版 必修2 课前自主预习第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 温故知新 1在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：等腰三角形底边上的中线 底边；菱形对角线互相 ；正方形对角线互相 ；圆的直径所对圆角等于 . 垂直平分 垂直平分 垂直平分 90 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 2在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法： (1)定义法；(2)判定定理；(3)反证法 第二章23 23.1成才之路 数

3、学 人教A版 必修2 新课引入 在日常生活中，木工检查一根立柱是否与板面垂直的方法是用曲尺检查两次 (只要检查两次，但曲尺靠板面的边两次不能在同一直线上)，如果板面和曲尺的两边完全吻合，便可判定立柱和板面垂直，你知道木工师傅在此过程中运用了哪些知识吗？ 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 自主预习 阅读教材P6466回答下列问题 1直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直 记法 l 任意一条 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 有关 概念 直线l叫做平面的 ，平面叫做直线l的 它们唯一的公共点P叫做 图示 画法 画

4、直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 垂线 垂面 垂足 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 破疑点(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语 (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式 (3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是( ) Al和平面相互平行 Bl和平面相互垂直 Cl在平面内 D不能确定 答案 D 第二章23 23.1

5、成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 如下图所示，直线l和平面相互平行，或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能故选D. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 点评 “任意一条直线”与“所有直线”意义相同，但与“无数条直线”意义不同 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 2判定定理 文字 语言 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直 图形 语言 符号语言 la，lb，a? ，b? ， ? l 作用 判断直线与平面 相交 abP 垂直 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 破疑点 直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以

6、通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直 ”因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：AC平面BDD1B1. 分析 转化为证明ACBD，ACBB1. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 证明 BB1AB，BB1BC， BB1平面AC， 又AC? 平面AC，BB1AC. 又四边形ABCD是正方形，BDAC. 又BD? 平面BDD1B1，BB1?

7、平面BDD1B1，BB1BDB， AC平面BDD1B1. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 3直线和平面所成的角 (1)定义：一条直线和一个平面 ，但不和这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的 叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 和 的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角 相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 锐角 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 (2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于 .因此

8、，直线与平面所成的角的范围是?0，2. 90 0 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是( ) A60 B45 C30 D120 答案 A 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 ABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO12，即ABO60 . 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 点评 垂线段、斜线段及其射影构成直角三角形 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 思路方法技巧第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版

9、 必修2 命题方向 线面垂直的判定 例1 在平面内有直角BCD，AB平面， 求证：CD平面ABC . 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 如图， ? ?ABCD? ? ABCDBCD90 ? BCCD ABBCB? CD平面ABC 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 分析 利用两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，本题可先证AC平面BB1O，再证EFAC即可

10、 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 如图，连接AC，BD，则O为AC，BD的交点 ABCD为正方形，ACBO 又BB1平面ABCD，AC? 平面ABCD，ACBB1 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 BOBB1B， AC平面BB1O. 又EF是ABC的中位线 EFAC EF平面BB1O EFBB1 EFBO BOBB1B 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 命题方向 线面角 例2 在正方体ABCDA1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切 (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角 第二章23 23.1

11、成才之路 数学 人教A版 必修2 分析 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线 (2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 (1)直线A1A平面ABCD，A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A1，则AC2 ，tanA1CA22. (2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，BB1平面A1B1C1D1，A1C1? 平面A1B1C1D1，BB1A1C1， 又BB1B1D1B1，A1C1平

12、面BDD1B1，垂足为O. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在RtA1BO中，A1O12A1C112A1B，A1BO30 . 即A1B与平面BDD1B1所成的角为30 . 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 (20112012学年枣庄高一检测)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( ) 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 A.2 23 B.23 C.24 D.13 答案 D 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A

13、版 必修2 解析 AA1平面A1B1C1D1， AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角， AA11，ABBC2，AC13， sinAC1A1AA1AC113. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 命题方向 线面垂直的实际应用 例3 有一根旗杆高12m，在它的顶端处系两条长13m的绳子，拉紧绳子，并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处，测得这两点和旗杆底端相距5m，问能否由此断定旗杆与地面垂直，为什么？ 分析 转化为判断旗杆所在直线是否与地面内两相交直线垂直 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 如图所示，设地面为平面，PO表示旗杆

14、，P A，PB表示两条绳子，A，B，O三点不共线 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 PO12 m，P A13 m，OA5 m， PO2OA2P A2. POA90 ，即OPOA. 同理，可证OPOB. 又OAOBO，OA ? ，OB ? ，PO. 故由此能断定旗杆与地面垂直 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( ) A平行 B垂直相交 C垂直但不相交 D相交但少 答案 C 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且P APC，求证：AC平面PB

15、D. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 证明 设ACBDO，由题意知O为AC的中点， 连接PO，因为P APC， 所以POAC， 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 又因为ABCD是菱形，所以BDAC， 而POBDO，PO? 平面PBD，BD? 平面PBD， 所以AC平面PBD. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 探索延拓创新第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 分析 利用线面垂直的判定定理，在面B

16、C1D内找到两条相交直线都与A1C垂直即可 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 证明 连接AC，则ACBD，又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A? 平面A1AC， BD平面A1AC，A1C? 平面A1AC， BDA1C. 同理可证BC1A1C. 又BDBC1B，BD? 平面BC1D，BC1? 平面BC1D， A1C平面BC1D. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 规律总结：证明线面垂直的关键还是在平面内找出两条相交直线然后去证明与已知直线垂直，理论上讲目标面的任何两条相交直线都可以作为我们的目标来进行证明，应该选择比较容易证明的 第二章23 23.1成

17、才之路 数学 人教A版 必修2 思维拓展：通过此题结论还可得出：正方体的体对角线与不相交的面对角线垂直 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 名师辨误做答第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 例5 如图所示，ab，点P在a，b所确定的平面外，P Aa于点A，ABb于点B，求证PBb. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 错解 ab，a，b确定一个平面. P Aa，ab， P Ab，P A平面， 又ABb，PBb. 错因分析 上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由P Aa，P Ab，得P A，而忽略了ab，a与b不相交 第二章23

18、23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 正解 P Aa，ab，P Ab. 又ABb，且P AABA， b平面P AB. 又PB ? 平面P AB，PBb. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 课堂基础巩固第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 1直线l平面，直线m ? ，则l与m不可能( ) A平行 B相交 C异面 D垂直 答案 A 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 直线l平面，l与相交， 又m ? ，l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 2下列说

19、法中错误的是( ) 如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线 A B C D 答案 D 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 由线面垂直的判定定理解题，注意本题是选错误的命题 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 3下列命题中正确的个数是( ) 如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线

20、；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直 A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 只有正确 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 4一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是( ) A(0 ，90 ) B0，90 C0，90 D0，180 答案 B 解析 由线面角的定义知B正确 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 5长方体ABCDA1B1C1D1中，AB 2，BCAA11，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为_ 答案 6 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 解析 如下图所示，连接B1D1. 第二章23 23.1成才之路 数学 人教A版 必修2 则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角 在R