初中函数综合教案

1、训练老师备课手册老师姓名同学姓名填写时间2021.2.1课时学科数学年级初三上课时间10:00-12:00方案2 小时教学教学内容中考复习函数综合目标个性化学习问题解决基础学问回忆，典型例题分析教学重点、难点【 教学目标】一次函数1. 懂得正比例函数和一次函数的概念，能依据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数和一次函数的解析式.2. 懂得一次函数和正比例函数的图象与性质，懂得它们的性质在实际应用中的意义.3. 会用图象法解二元一次方程组，能利用一次函数的图象与性质解决简洁的实际问题.【 重点难点】重点：一次函数的图象与性质.难点：用图象法解二元一次方程组，及利用一次函数的增减性解决实

2、际问题中的最值.【考点例解】例 1已知一次函数的图象经过点（2，5）和（ -1 ， -1 ）两点 .教（1）求这个一次函数的解析式；学过（2）设该一次函数的图象向上平移2 个单位后，与 x 轴、y 轴的交点分别是点a、点 b，试求aob程的面积 .分析 ： 此题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式和函数图象的平移.解答：（1）设一次函数的解析式为ykxb .把点（ 2， 5）和（ -1 ， -1 ）的坐标分别代入ykxb ，得2kbkb5k2，解这个方程组，得.1b1 一次函数的解析式为y2 x1 .（2）将直线y2x1 向上平移2 个单位后，可得y2 x3 .在函数 y2 x3 中，令 x

3、0 ，得 y3 ；令 y0 ，得2x30 ，即 x3 .2oa3， ob3.s aob1 oa ob1339 .22224反比例函数一、基础学问1. 定义：一般地， 形如 yk（ k 为常数， kxo）的函数称为反比例函数；yk仍可以写成yxkx12. 反比例函数解析式的特点：等号左边是函数y ，等号右边是一个分式；分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.比例系数k0自变量 x 的取值为一切非零实数；函数 y 的取值是一切非零实数；3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法列表（应以o为中心，沿o的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的次序）连

4、线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，yk （ k 为常数， kx0 ）中自变量x0 ，函数值y0 ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延长部分逐步靠近坐标轴，但是永久不与坐标轴相交；反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是yx 或 yx ） ；反比例函数yk （ kx0 ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线yk（ kx0）上任意引x轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为k ；4反比例函数性质如下表：k 的取值图像所在象限函数的增减性ko一、三象限在每个象限内，y 值随 x 的增大而减小 ko二、四象限在每个象限内，y 值随 x 的增大而增大5.反比例函数解析式的确定：利用待定系

5、数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）6“反比例关系” 与“反比例函数” ：成反比例的关系式不肯定是反比例函数, 但是反比例函数yk 中x的两个变量必成反比例关系；7.反比例函数的应用二、典型例题分析【例 1】假如函数ykx2kk22的图像是双曲线，且在其次，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线就此函数为反比例函数yk ，（ kx0 ）即 ykx1 （ k0 ）又在第二，四象限内，就k0 可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：2k 2k2k01 解得k1或k12k1k1时函数 ykx2 kkk022 为 y1x【例 2】在反比例函数1y的图像上有三点x，

6、y，x， y，x ， y；如 xx0xx就以下各式正确选项（）112233123a y3y1y2b y3y2y1c y1y2y3d y1y3y2【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，仍可取特别值法；解法一：由题意得y11， y x11 ， y123x2x3x1x20x3 ，y3y1y2 所以选 a解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y1 的图像x描出三个点，满意x1x20x3 观看图像直接得到y3y1y2 选 a解法三：用特别值法x1x20x3 ,令x12, x21, x31y11 , y221, y31,y3y1y2【例3】假如一次函数ymxn m0 与反比例函数y3nm的图像 x

7、相交于点（1 ，2 ），那么2该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】直线ymxn与双曲线 y3nm xx相交于1 ，2 ，21 mn23nm2解得 m21n1直线为 y2x1,双曲线为 y1 解方程组 xy2 x1y1x得x11y111x22y22另一个点为1， 1【例4】如图，在rtaob 中，点a 是直线yxm 与双曲线ym在第一象限的交点，且xs aob2 ，就 m 的值是 .解 : 由于直线yx m 与双曲线y图m过点 a , 设 a 点的坐标为xx a , y a.就有 yax am, y am. 所以 mx ax a y a .又点 a 在第一象限 , 所以 obxax a ,

8、aby ay a .所以 s所以 maob4 .1 ob . ab1xyaa221 m . 而已知2s aob2 .二次函数教学目标1 懂得二次函数的概念；2 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3 会平移二次函数y ax2a 0 的图象得到二次函数y aax m2 k 的图象，明白特别与一般相互联系和转化的思想；4 会用待定系数法求二次函数的解析式；5 利用二次函数的图象，明白二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，明白二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系；一、学问体系对二次函数的定义二次

9、函数的图象性质1. y=ax22. y=ax2+c 3. y=ax-h2函二数次的函再数二次函数的表达式认识1. 函数表达式及求法2. 图象法3. 列表法二次函数与一元二次方程1、 二次函数与一元二次方程的关系2、利用图象求一元二次方程的近似解二、学问回忆二次函数的应用1、最大利润2、 最大面积3、 坐标系的建立1. 定义：一般地，假如y ax 2bxca, b, c 是常数， a0 ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .【例 1】以下函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？如是，指出a、b、c 21y=1-3x；2y=xx-5；3y=3x2-x3x2；4y x 22-x5y=x4 2x2 12

10、. 二 次 函 数yax 2bxc用 配 方 法 可 化 成 ：ya xh 2k的 形 式 ， 其 中hb ， k 2 a4 acb 2.4a【例 2】求经过a0， -1 、b-1 ， 2 ， c1 ，-2 三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式3. 抛物线 yax 2bxc 中，a , b, c 的作用（ 1） a 打算开口方向及开口大小，这与yax2中的 a 完全一样 .（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax 2bxc 的对称轴是直线xb ，故： b 2 a0 时，对称轴为y 轴； ba0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ba0 （即 a

11、、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置.当 x0 时， yc ，抛物线yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴；c0 , 与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，就4. 用待定系数法求二次函数的解析式b0 .a（ 1）一般式：yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常挑选一般式.（ 2）顶点式：ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常挑选顶点式.（ 3）交点式：已

12、知图像与x 轴的交点坐标x1 、 x2 ，通常选用交点式：ya xx1xx2.【例 3】. 已知 y1 x 222x1(1) 把它配方成y ax-h2 k 形式；(2) 写出它的开口方向、顶点m的坐标、对称轴方程和最值；(3) 求出图象与y 轴、 x 轴的交点坐标；(4) 作出函数图象；5x取什么值时y 0， y 0；(6) 设图象交x 轴于 a， b 两点，求 amb面积5. 直线与抛物线的交点（ 1） y 轴与抛物线yax2bxc 得交点为 0,c .（ 2）与 y 轴平行的直线xh 与抛物线yax 2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .（ 3）抛物线与x 轴的交点二次函数y

13、ax 2bxc 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x1 、x2 ，是对应一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x 轴相切；没有交点0抛物线与x 轴相离 .（ 4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根.（ 5）一次函数ykxn k0 的图像 l 与二次函数yax 2bxc a0 的图像 g 的交点，

14、由方ykx程组n2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 g 有两个交点 ;方yaxbxc程组只有一组解时l 与 g 只有一个交点；方程组无解时l 与 g 没有交点 .（ 6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc 与 x 轴两交点为a x1，0 ， bx2，0 ，2由于 x 、 x是方程 axbxc0 的两个根，故1x1x2212b , xxcaa222b4cb24acabx1x2x1x2x1x24x1x2aaaa三、典型例题分析【例 1】（ 2021 年泰州市）二次函数yx 24 x3 的图像可以由二次函数yx 2 的图像平移而得到，以下平移正确选项ba先向左平移

15、2 个单位，再向上平移1 个单位 ; b先向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位 ;c先向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位 ;d先向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位【例 2】2021 年安徽省芜湖市 二次函数y ax2bx c 的图象如下列图，反比例函数ya与正比x例函数 y（ b c） x 在同一坐标系中的大致图象可能是（b） abcd【例 3】（ 2021 年浙江省东阳县）如图，足球场上守门员在 o 处开出一高球，球从离地面 1 米的 a 处飞出（ a 在 y 轴上），运动员乙在距 o 点 6 米的 b 处发觉球在自己头的正上方达到最高点 m ，距地面约 4 米高，球落地后又

16、一次弹起据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原先的抛物线外形相同，最大高度削减到原先最大高度的一半（ 1）求足球开头飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（ 2）足球第一次落地点c 距守门员多少米？（取437 ）（ 3）运动员乙要抢到其次个落点d ，他应再向前跑多少米？（取265 ）【答案】（ 1）y=1 x126 24（ 2）y=0, x=6+43 13y（ 3）设 y=1 x12m22m=13+26 18m4ay=0, x=18± 26 23 再向前跑10 米21obcdx【例 4】（2021 年四川省眉山） 如图， rt abo的两直角边oa、ob分别在 x 轴的负半轴和y

17、轴的正半轴上， o为坐标原点， a、b 两点的坐标分别为（3 ，0）、（ 0，4），抛物线 y2 x23bxc 经过 b 点，且顶点在直线x5 上2（ 1）求抛物线对应的函数关系式；（ 2）如 dce是由 abo沿 x 轴向右平移得到的， 当四边形 abcd是菱形时，试判定点 c 和点 d 是否在该抛物线上，并说明理由；（ 3）如 m点是 cd所在直线下方该抛物线上的一个动点， 过点 m作 mn平行于 y 轴交 cd于点 n设点 m的横坐标为 t ，mn的长度为l 求 l 与 t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点m的坐标ybcnmaodex【答案】解： （ 1）由题意，可设所求抛物线对

18、应的函数关系式为25 2y xm（ 1 分）3225 2 4m 321 m（3 分）6 所求函数关系式为：y2 x5 212 x210 x4（4 分）32633（ 2）在 rt abo 中， oa=3， ob=4，22 aboaob5 四边形 abcd是菱形 bc=cd=da=ab=5（5 分） c、d 两点的坐标分别是（5， 4）、（2， 0）（ 6 分）当 x5 时， y2521054433当 x2 时， y2221024033 点 c 和点 d 在所求抛物线上（ 7 分）（ 3）设直线cd 对应的函数关系式为ykxb ，就5kb4y2kb048bc解得： k,b33n48 yx（ 9 分

19、）33maodex mn y 轴， m 点的横坐标为t ， n 点的横坐标也为t2 210就 ytt4 ，y4 t8，（ 10 分）m33n33 lynym4 t82 t 210 t42 t 214 t202 t7 23333333332220 ， 当 t 37 时， l3 ，最大22此时点 m 的坐标为（72， 1 ）（ 12 分）2函数综合试题演练课1、（ 2006 重庆） 已知： m、n 是方程x26 x50 的两个实数2堂根，且 mn ，抛物线yxb 0， n .bxc 的图像经过点a m,0 、练1 求这个抛物线的解析式；(2) 设（ 1）中抛物线与x 轴的另一交点为c, 抛物线的顶

20、点为d，习试 求 出 点c、 d 的 坐 标 和 bcd 的 面 积 ；（ 注 ： 抛 物 线2yax2bxc a0 的顶点坐标为b , 4acb ） 2a4 a(3) p 是线段 oc上的一点，过点p 作 ph x 轴，与抛物线交于h 点，如直线bc把 pch分成面积之比为 2：3 的两部分，恳求出p 点的坐标 . 解析 （1）解方程2x6 x50, 得 x5, x112由 mn ，有 m1,n5所以点 a、b 的坐标分别为a（ 1， 0） ,b （ 0，5） .将 a（1， 0） ,b （ 0， 5）的坐标分别代入2yxbxc .1bc得c50b4解这个方程组，得c5所以，抛物线的解析式为

21、2yx4x5（ 2）由2yx4 x5 ，令 y0 ，得x24 x50解这个方程，得x15, x21所以 c点的坐标为（-5 ，0） . 由顶点坐标公式运算，得点d（ -2 ， 9） .过 d 作 x 轴的垂线交x 轴于 m.就 s dmc19522722s129514 ， s15525梯形 mdbo2boc222725所以， s bcds梯形 mdbos dmcs boc1415 .22（ 3）设 p 点的坐标为（a, 0 ）由于线段 bc过 b、c 两点，所以bc所在的值线方程为yx5 .那么， ph与直线 bc的交点坐标为e a ,a5 ，ph与抛物线2yx4 x5 的交点坐标为2h a,

22、a4a5 .323由题意，得ehep ，即 a 24 a5a5 a52解这个方程，得a3 或 a5 （舍去）2 eh2 ep ，即 a234a5a52 a53解这个方程，得a2 或 a5 （舍去）3p 点的坐标为3 ,0 或 22 ,0 .35、如图 14，抛物线e： yx24 x3 交 x 轴于 a、b 两点，交 y 轴于 m点；抛物线e 关于 y 轴对称的抛物线f 交 x轴于c、d 两点；求 f 的解析式；在 x 轴上方的抛物线f 或 e 上是否存在一点n，使以 a、 cn、m为顶点的四边形是平行四边形；如存在，求点n坐标；如不存在，请说明理由；如将抛物线e 的解析式改为yax 2bxc

23、，摸索索问题； 解析 当 y=0 时， x24 x30 ，解得 x1= 3， x2= 1，a、b 点坐标分别为（3， 0）、（ 1，0）当 x 0 时， y 3， m点坐标为（ 0， 3）， a、b、m三点关于y 轴得对称点分别是d、 c、m， d、c坐标为（ 3， 0）、（ 1， 0）设 f 的解析式为yax 2bx309a3b30ab3a 1， b 4f 的解析式为yx 24x3（2）存在；假设mnac， n点的纵坐标为3；如在抛物线f 上，当 y=3 时， 3x 24x3 ，就 x1=0， x2=4n 点坐标为 4 ， 3 ， mn=4，由1 可求 ac=4， mn=ac，四边形acnm为平行四边形；依据抛物线f 和 e 关于 y 轴对称，故n 点坐标为 4 ， 3 或 4， 33存在；假设mnac， n点的纵坐标为c；设 y 0，ax2bxc0 xbb24ac，2aa 点坐标为 bb 24ac 2a， 0 ，b 点坐标为 bb 24ac 2a， 0c 点坐标为 bb24ac 2a，0 ， ac= ba在抛物线