对数与对数函数-知识点与题型归纳

1、1 高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数 (a0，且 a1) 备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容， 且占有重要的分量， 主要以选择题的形式命题， 也有填空题和解答题 主要考查对数运算、 换底公式等 及对数函数的图象和性质 对数函数与幂、 指数2 函数结合考查， 利用单调性比较大小、 解不等式是高考

2、的热点. 一、知识梳理名师一号p27 注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式abn，我们把 “ 以 a 为底 n 的对数 b” 记作 logan，即 blogan(a0，且 a 1)其中，数 a 叫做对数的底数， n 叫做真数，读作 “ b 等于以 a 为底 n 的对数” 注意： (补充)关注定义 -指对互化的依据2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0且 a 1，m0，n0，那么loga(mn) logamlogan；3 logamnlogamlogan；logamnnlogam(nr)；logammnnmlogam. (2)对数的性质alogann；

3、logaann (a0，且 a 1)(3)对数的重要公式换底公式： logbnloganlogab(a，b 均大于零且不等于1)；logab1logba，推广 logab logbc logcdlogad. 注意： (补充)特殊结论 :log 10,log1aaa知识点二对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a1 0a0，a1，n0)练习:(补充)已知1135,2abkab求k答案: 15k例 3.名师一号 p28 高频考点例 1(2) 已知函数 f(x)log2x，x0，3x1，x 0，则 f(f(1) f log312的值是() a5b3c1d.7210 因为 f(1

4、)log210，所以 f(f(1) f(0)2. 因为 log31204x3 14x30，即34x 1. 故原函数的定义域是 x|340 x1 1164x0 x1x 0 x2即1x2，且 x 0. 故原函数的定义域为 x|1x0，或 0 x0 恒成立， a24a0 4a0，即 a的范围为 (4,0) 例 2.名师一号 p27 对点自测 5 (2014 重庆卷)函数 f(x)log2x log2(2x)的最小值为_解析根据对数运算性质，f(x) log2x log2(2x)12log2x 2log2(2x) log2x(1 log2x) (log2x)2 log2x 13 log2x12214，

5、当 x22时，函数取得最小值14. 注意：换元后“新元”的取值范围练习：1、求下列函数的值域（1）ylog15(x22x4) 答案1， ) （2）f(x)log22x3log2x2212 x 2解析令 tlog2x，12 x 21 t 1. 函数化为 yt26t2(t3)27 1 t 1. 14 当 t1，即 x12时，ymax9. 当 t1，即 x2 时，ymin3，函数的值域为 3,9. 2、已知集合22logy yxaxar求实数 a的取值范围分析当且仅当f(x)x2axa 的值能够取遍一切正实数时，ylog2(x2axa)的值域才为 r. 而当 0 恒成立，仅仅说明函数定义域为r，而

6、f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏 )要使 f(x)能取遍一切正实数， 作为二次函数， f(x)图像应与 x 轴有交点 (但此时定义域不再为r) 正解要使函数 ylog2(x2axa)的值域为 r， 应使 f(x)x2axa 能取遍一切正数，要使f(x)x2axa 能取15 遍一切正实数，应有 a24a0，a0 或 a4，所求 a的取值范围为 (， 40， ) 例 3. （1） 名师一号 p27 对点自测 4 已知 a0 且 a 1，则函数 yloga(x2 015)2 的图象恒过定点 _解析令 x2 0151，即 x2 014时，y2，故其图象恒过定点 (2 014,2)练习: 无论

7、a取何正数 (a1) ，函数33logayx恒过定点16 【答案】4 3,注意：对数函数01log,ayx aa且图象都经过定点 (1, 0) 例 3. （2） (补充) 如右下图是对数函数 ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx 的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是() aab1cd bba1dc c1abcd dab1dc 17 【答案】 b 在上图中画出直线y1， 分别与 、 、 、交于 a(a,1)、b(b,1)、c(c,1)、d(d,1)，由图可知 cd1a0，且 a 1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 () 18 abcd答案： b. 例 4.名

8、师一号 p28 高频考点例 3 已知函数 f(x)log4(ax22x3)(1)若 f(1)1，求 f(x)的单调区间；(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由解析:(1)f(1)1，log4(a5)1，因此 a54，a1. 这时 f(x)log4(x22x3)由x22x30 得1x0，3a1a1，解得 a12. 故存在实数 a12使 f(x)的最小值为 0. 练习：温故知新p32 第 5 题20 三、比较大小例 1.名师一号 p29 特色专题典例，则() aabc bbac cacb dcab 【规范解答】方法 1：在同一坐标系中分别作出函

9、数ylog2x，ylog3x，ylog4x 的图象，如图所示21 由图象知： log23.4log3103log43.6. 方法 2：log3103log331，且1033.4，log3103log33.4log23.4. log43.61，log43.6log3103log43.6. 由于 y5x为增函数，故 acb. 注意： 名师一号 p28 问题探究问题 3 22 比较幂、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性练习: 1、若 0 xy1，则 () a3y3xblogx3logy3 clog4xlog4y d. 14x14y解析： 0 xy1，由 y3u为增函数知 3x3

10、y，排除 a；log3u 在(0,1)内单调递增，log3xlog3ylogy3， b 错由 ylog4u 为增函数知 log4x14y，排除 d. 答案： c 2、对于 0a1，给出下列四个不等式loga(1a)loga(11a)；a1aa11a. 其中成立的是 () a与b与c与d与答案： d 解析：由于 0a1? a1a? 1aloga(11a)，a1aa11a. 选 d. 四、对数方程与不等式例 1.(1)(补充) 方程 log3(x210)1log3x 的解是 _答案x5 解析原方程化为 log3(x210)log3(3x)，由于 log3x在(0， )上严格单增，则x2103x，解

11、之得 x15，x22.要使 log3x 有意义，应有 x0，x5. 注意：依据对数函数恒单调求解。25 例 1.(2) 温故知新 p32 第 9 题已知函数2log030 xx xfxx，且关于x的方程0fxxa有且只有一个实根，则实数a的取值范围是练习：温故知新p31 第 5、6 题温故知新 p29 第 10 题例 2.（1） (补充)已知 0a1，loga(1x)logax 则() a0 x1 bx12c0 x12d.12x1 26 分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数ylogax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解解析： 0a0 x01xx，解得 0 x12. 例 2.(2)(

12、补充) 设 0a1，函数 f(x)loga(a2x2ax2)，则使 f(x)0 的x 取值范围是 () a( ，0) b(0， ) c( ，loga3) d(loga3， ) 解析： 0a1loga(a2x2ax2)1a2x2ax30 ax3或 ax1(舍)xloga3，故选 c. 注意：关于含对数式 (或指数式 )的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解例 2.（3） 名师一号 p28 高频考点例 2(2) 当 0 x12时，4xlogax，则 a的取值范围是 () a. 0，22b.22，1c(1，2) d( 2，2) 解析： 由题意得，当 0a1时， 要使得 4xlogax 0 x12

13、，即当 0 x12时，函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下28 方又当 x12时， 4122， 即函数 y4x的图象过点12，2 ，把点12，2 代入函数 ylogax，得 a22，若函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方，则需22a1时，不符合题意，舍去所以实数 a的取值范围是22，1 . 答案： b. 29 练习:当(1,2)x时，不等式2(1)logaxx 恒成立，则实数a的取值范围是 _ 。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过观察图象求解。解：设21( )(1)fxx，2( )logafxx

14、 ，则1( )fx的图象为右图所示的抛物线，要使对一切(1,2)x，12( )( )f xfx 恒成立，1a, 观察图象得：x y 0 1 2 y1=(x-1y2=logap 30 只需21(2)(2)ff即可。故log 211aa，取值范围是12aa。变式: 名师一号 p28 变式思考 2(2) 不等式 logax(x1)2恰有三个整数解，则 a的取值范围为() a165，94 b165，94)c (1，165 d(1, 94 解析:不等式 logax(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知 a1，其整数解为 2,3,4 ，则应满足loga4412，loga5512，得165 a0.原方程有

15、两个实数解， 即方程t22t3k10 有两个正实数解，则(2)24(3k1)0t1t220t1t23k10，解得13k23. 练习 3: 对任意的222(45)43411,()( )33mxxmx m xxr恒成立，求 m的范围. 37 解：1013由题意即对任意的222,(45)434xrmxxmxm x 恒成立即对任意的,xr22(45)(44 )30mmxm x恒成立2222450450(44 )12(45)0440mmmmmmmm或151511 91mmmmmm或或或119m练习 4:已知函数)43lg(112xxxxy的定义域为m，（1）求m（2）当xm时，求xxaxf432)(2) 3(a的最小38 值. 解 (1)21011340 xxxxx且由题可得1,1)m可解得(2)2( )23 4xxf xa=22243(2)33xaa 1,1)x,1222x，, 3a，223a若2132a，即34a时，min( )f x=( 1)f=324a，若12223a，即334a时，所以当22,3xa即22log ()3ax时，min( )f x=