匹克公式_皮克公式过程证明应用

1、皮克公式在中考中的出现和应用奥地利数学家皮克(Georg Pick, 18591943)发现了一个计算正方形点阵中格点多边C 1,S x n 1形面积的公式：2，其中n表示多边形内部的点数，x表示多边形边界上的点数.熟悉这个公式的人不多，但是还是被中考命题者挖掘来作为中考命题的内容.用这个公式来求格点多边形面积是非常方便的.首先来探究这个公式是怎么来的？例1用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S,它各边上格点的个数和为x.(1)上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和

2、的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式.较.S 多边形的序号多边形的面积S22.534各边上格点的个数和4568(2)请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点.此时所画的各个多边形的面积 S与它各边上格点的个数和 x之间的关系式是： S 。(3)请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想 S与x有怎样的关系？答：S .(江苏省常州市 2004年中考试题)分析 皮克公式的证明是采用特殊到一般的方法，考查学生推理的能力.本题是按多边形内部的点来分情况深究的.(1)当多边形内部的点数为 1时，本题第一问画出了四个不同的图形，并且列表给出S 1x相应的数据，因此学生

3、容易得出S与x之间的关系式：2 。(2)当多边形内部的点数为 2时，本题第二间要求画出一些图形，再得出 S与x之间 的关系式.这时可以仿照第一问，画出上面的图形并且列出下面的表格.多边形的序号多边形的面积S33.545各边上格点的个数和x4568S 1x 1学生也容易得出S与x之间的关系式：2。(3)当多边形内部的点数为 n时，本题第三问猜想一般的关系式.这时也可以研究当 多边形内部的点数为 3、4、5等的情况，再去探究出一般式. 由上述的几种特殊情况可以看1- x出随着格点多边形内部的点数的增加2 是不变化的，面积逐步增加 1,由此可以猜想 S与1.因此得出皮克公式.1S x nx之间的关系

4、式是： 2下面再来看皮克公式在中考试题中的应用.例2如图，已知图中每个小方格的边长为1,则点C到AB所在直线的距离等于(浙江省湖州市2004年中考试题)分析此题若直接求距离难度较大.可以通过求 ABC的面积，进而求出高.连结AC、C1 C,S abc - 4 3 1 4BC 后，由皮克公式可知2，又因为AB .10,Sabc12S abc-AB h,h -ABC2AB2 4 4.10而 5 o所以点C到AB所在直线的距4 10离等于 5。例3已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格 的顶点上，位置如图所示，点 C也在小方格的顶点上，且以 A、B、C为顶点的三角形的

5、面积为1个平方单位，则点 C的个数为（）.（黑龙江省一一年中考试题）(A) 3 个(B) 4 个分析由皮克公式可知:S ABC(C)2,因为x，n是整数，又因为x 2,所以x 4 n 0 .因此这个三角形 ABC内部没有格点，三边上共有 4个格点.又因为已有了C.有图中的6个两点A、B,因此三角形边上还有两个格点，则有AC和BC边上，一边上有三个格点，另一边上有两个格点.因此在过A、B两点的水平和竖直线上易得点(C1, C2,C3,C4,C5,C6),因此答案选择(D).例4已知右边方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示.请在小方格的顶点上确定一点C,

6、连结AB、AC、BC,使 ABC的面积为2个平方单位.（江西省2003年中考试题）分析由皮克公式可知:S ABC1, -x n 1 22。因为x，n是整数，又因为x 2,所x 4 x 6n 1 n 0以 或 。x 4当n 1时，三角形ABC内部有一个格点，三边上共有 4个格点.又因为已有了两点A、B,因此三角形边上还有两个格点，则有AC和BC边上，一边上有三个格点，另一边上 有两个格点。因此在过 A、B两点的竖直线上易得点 C有图中的4个位置（Cl,C2,C3,C4）x 6当n 0时，三角形ABC内部没有格点，三边上共有 6个格点，此时，在过点 B的水 平线上易得点C有一个（C5）.因此本题共

7、有符合条件的点 5个，学生只要作出一个就行.例5在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形.点 A、B是方格纸中的 两个格点（即正方形的顶点），在这个5X5的方格纸中，找出格点C使 ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）.(A) 5(B) 4(C) 3(D) 2（重庆市2004年中考题）分析由皮克公式可知:S ABC1, -x n 1 22,因为这时三角形乂是整数，又因为x 4 x 6x 2,所以n 1或n 0。x 4当n 1时，这时三角形 ABC内部有一个格点，三边上共有4个格点、又因为已有了 两点A、B,因此三角形边上还有两个格点，则有 AC和BC边上，一边上有三个格点，另 边上有两个格点.因此在过 A、B两点的水平直线上易得点 C有图中的3个（C1,C2,C3）位置x6当n 0时，三角形ABC内部没有格点