初三数学几何定理的运用（精荐）

1、初三数学几何定理的运用（1）摘要：教师在教学时经常需要面对不同的学生，如何根据不同的情况釆取相应的措施显得非常必 要。一些学生到了初三仍对儿何证明题书写感到困难，思考时没冇明确的目的。本文针对这些情 况，充分重视了“定理教学”，采取了先集屮讲授再平时渗透的方法，提出了从定理的基木要求 出发，通过建立表象、组合定理、联想定理等教学对策，从而使学生具备“用定理”的意识。关键词：建立表象、组合定理、联想定理教师在教途上并不是一帆风顺的，尤其在农村中学，有时由于教学上的需耍，往往到了初三，也 会出现曲对陌生学生的情况。笔者今年就遇到了尴尬：几何证明题学生会证的，却不会书写或书 写不完整；知道步骤的原因

2、和结论，但讲不出定理的内容；更多的学生面对儿何题在证明时凭感 觉。面对着时间紧、任务重，怎么办呢？经过一番苦思冥想，针对学生基础差、底子薄，决定狠 抓“定理教学”。通过一段时间的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了 “依靠”，也发现了 定理的价值，基木树立了 “用定理”的意识。那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产牛解题的怵1惑呢？我们把它归纳为以下 几点：不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的儿何证明题的过程进行分解，发现 它的骨干是由一个一个定理纽成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理 解，不会川符号语言表达，从而不能严谨推理，造成儿何定理无法

3、具体运用到习题中去。找不到运川处理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基木图形。具体表现在不 熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开來。对丁定理或图形的变式不理解，图 形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。推理过程因來关系模糊不淸。针対以上的原因，我们在教学中采取了一些白救对策。一、教学环节对几何定理的教学，我们在集屮讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基木要求；第3 环节是基本推理模式，第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了 “模式+定理”的书 写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了 “图形+定理”的思考方法。程序 图设计如下：基木要求一

4、重新建立表彖一推理模式一组合定理一联想定理二、操作分析和说明1. 定理的基木要求我们认为，能止确书写证明过程的前提是学会对儿何定理的书写，因为儿何定理的符号语言是证 明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“-划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一 个定理的基本要求，并巫新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与木文有关的定理），集 中展示给学生。例如定理43：直角三角形被斜边上的髙线分成的两个直角三角形和原三角形相似。一划：就是找出定理的题设和结论，题设用立线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部 分。如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。二画：就是依据能理的内容，能画出所对应的基本

5、图形。如：三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。如：v aabc 是 rtz, cd±ab 于 d （条件也可写成：zacb=90° , zcdb=90° 等）aacdabcdaabc 。学生在书坷时果然出现了一些问题： 不理解每个定理的条件和结论。学牛在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂玄，定理46 漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把 三线都当成结论）。 还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）； 或者在一个定理中出现txx,又xx,

6、 xx的错误。 更多的是没有抓住本质。具体表现在把非木质的条件当成本质条件（如定理7出现vz1和 z2是同位角,abcd）；条件重复（如定理49,结论zapo=zbp0已经包括过圆心0,学生 在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。2. 帝新建立表象从具体到抽象，山感性到理性已成为广大数学教师传授知识的巫要原则。“表彖”就是人们对过 去感知过的客观壯界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形彖，具有一定的鲜明 性、具体性、概括性和抽彖性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学屮提 供了一定

7、的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的 记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆儿何定理起着巫大的 作用。教给学牛想形彖的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课 堂教学主要内容： 问：听了老师的介绍后，你怎样冋忆垂径定理的形象？答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪 的，以后看到弧相等或其他两个条件z,脑子里就会浮现出垂径定理。口的：建立单个定理的表彖，要求能想到非标准图形。继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没冇想起来吗？答：想到了圆心

8、角相等、圆周角相等、弦相等甚至有学生想到了两条平行弦口的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。问：从定理21开始，你能找出和它冇联系的定理吗？答：有定理22 （擦短使平行直线变成线段），定理25 （特殊化成菱形），定理27h的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一 步熟悉定理的三种语言、定理z间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本 图形，市于定理z间冇一定的联系，在一个基本图形屮往往存在着另一个残缺的基本图形，所以 学生大多通过连线、延长、作i员1、平移、旋转等手段

9、，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同 的能理联系起來。下面摘录的是学生口主思考后，得到的富有创意性的结论。 定理16 （延长中线成矩形）一定理24 （作矩形的外接圆）一定理34。 定理51 （线过圆心，且两线垂直）一定理36 （-线平移成切线）一定理47、48 （绕切点 旋转）一定理50° 如下图，把ef向下平移（或绕a点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论za=zd）：3. 推理模式从学生各方面的反馈情况看，多数学牛-觉得儿何抽象还在于儿何推理形式多样、过程复杂而又摸 不定，往往听课时知道该如何写，而门匕书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让 学牛看得清而又摸得着

10、呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推 理模式。具体教学分三个步骤实施：精心设计三个简单的例题，让学牛归纳出三种基本推理模式。 条件一结论一新结论（结论推新结论式） 新结论（多个结论推新结论式） 新结论（结论和条件推新结论式）通过己详细书写证明过程 的题h让学牛识別不同的推理模式。通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致桩架，在具体书写时有一处的模式，有效地克 服了学生书写的盲h性。但教学表明学主仍然出现不必耍的跳步，这是什么原因呢？我们把它归 结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要

11、，又设计了 以下一个环节。4. 组合定理基本推理模式中的骨干部分还是足理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中 找出单个定理的因果关系、多个能理的组合方式，然后由几个立理组合后构造图形，进一步强化 学生“用定理”的意识。下而通过一例來说明这一步骤的实施。例1：已知如图,四边形abcd外接00的半径为5,对角线ac与bd相交于e,且ab = ae -a c, bd= 8o求abad的而积。（2001年嘉兴市质量评佔卷六）证明：连结0b,连结0a交bd于f。学生从每一个推测符号中找出所对应的处理和隐含的主要定理：比例基本性质一s/as/证相似一和似三角形性质 垂径定理一勾股定理一三角

12、形而积公式由于学生自己主动找定理，因而印彖深刻。在证明过程屮确实是由一个一个定理连结起來的，也 让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基木模式中，就能形成严密的推理过程。此 时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证 明题或计算题吗？实践表明：经过"模式+定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。5. 联想定理分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构 造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析 几何证明题、学牛证题的基本方法之一），但对于

13、识图或想象力较差的学牛來说，就比较困难, 他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形屮怎样找到所需要的基本图 形呢？因而我们从另一侧而，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结 论联想某些定理，以配合图形想象。例：如图,001和002相交于b、c两点，ab是。01的直径,ab、ac的延长线分别交002于d、 e,过b作001的切线交ae于f。求证：bfde。讨论此题时，启发学生山题设中的“ab是（do的宜径”联想定理“直径所对的圆周角是90° ”， 因而连结bc； “过b作。0的切线交ae于f”联想定理“切线的性质”，得出zabf=90°

14、。从 而构造出基本图形。由命题的结论“bfde”联想起“同位角相等，两直线平行”处理，构造出基木图形。将上述 基本图形的性质结合在一起，学生就易于思考了。这一环节我们的引导语有：“山已知中的哪-个条件，你能联想起什么定理？ ”、“条件组合后 能构成哪个定理？ ”、“有无对应的基本图形？ ”、“能否构造出基本图形？ ”等。h的是让学 生树立起“图形+定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。三、几点认识复习的效果最终要体现在学牛身上，只有通过学生的口身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在 复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积 极性

15、：提出问题让学生想,设计问题让学生做,方法和规律让学牛体会,创造性的解答共同完善。“没有反思，学牛的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传 授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间來让 学卞进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。集中讲授能使学牛对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我 们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析屮时常有意识地引导、反复渗透。参考资料： 高三数学第二轮复习的理论和实践孟祥东等屮学数学教与学2001、3 全国初中数学教育第十届年会论文集p380、p470文章摘要有人

16、说“数学是思维的体操，是智慧的火花”。数学可以很好的培养人 的理性思维能力和严谨的性格。此外，高考是选拔性考试，而对江苏省目前的高 考形式，数学的大科地位不容忽视，它是决胜高考的关键。那么,数学优生的培 养就显得至关重要。关键词江苏高考、数学、思维、优生高中教学中培养数学优生是非常有必要的，在江苏省目前的高考形式下显得尤为 重要。高考是选拔性考试，特别是一些名校更是优屮选优，面对现在江苏省高考 形式，数学就好比打开大学之门的一把钥匙。虽然钥匙不是万能的，但是没冇钥 匙肯定是万万不能的。数学是一门容易得高分的科目，容易得满分的科目，也是 拉分比较厉害的科目。目前江苏高考考语数外三门，数学占冇举足轻重的地位。 有人说“数学是思维的体操，是智慧的火花”。学好数学并非是完全的应对