初中数学教学中化归思想的应用探究

1、初中数学教学中化归思想的应用探究数学思想是人们对现实世界的数量关系和空间形式的规律探索和 本质认识，它蕴含于知识的发展变化z中，是知识转化为能力的纽带加 强数学思想方法教学,能使学生打破思维的僵局，摆脱题海战术的困扰， 跳出机械记忆的怪圈，达到举一反三、触类旁通的教学效果化归思想是 数学思想的基础，数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想等均体 现了化归思想；它是数学思想方法的灵魂，能揭示知识之间的内在联系， 通过迁移转化达到化难为易、变繁为易的目的.一、化归思想方法的内涵古今屮外，众多数学家在原本中对化归思想做过精辟的研究，如我国 古代数学专著九章算术、欧儿里得的儿何原木、笛卡尔的解析儿

2、何、波利亚的怎样解题，等等数学大师阿基米德将测量皇冠的体积 转化为测量水的体积，智慧过人的曹冲将称大象的体重问题转化为容易称 的石头重量，他们将不易解决的a问题转化为等价的容易解决的b问题， 通过解决b问题达到解决a问题的目的如在初屮数学屮的二元一次方程 组、一元二次方程、分式方程、二次根式方程等可运用化归达到“消元降 次”的li的，将方程转化为一元一次方程解.二、化归思想方法应用的原则1. 熟悉性原则任何事物是相互联系的，它们在一定条件下可以相互 转化教师要引导学生将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转 化为已知的问题如在“多边形的内角和”教学中，教师提出问题'如图, 在五角星

3、abcde屮，求za+zb+zc+zd+ze的度数”分析：五角星的五个角不在同一个多边形中，通过连接mn、nq、pq、 pr和pm,将五角星的问题转化为三角形的问题.解：连接 mn、nq、pq、pr、pm,zamn=zc+ze, zanm=zb+zdza+zb+zc+zd+ze 二 za+zamn+zanm二 180。利用化归的思想方法解决问题，促进了学生知识的正迁移，认知结构 也得到了拓展.2. 简单性原则在数学研究中，常试图将一些表面复杂的数学问题转 化为简单问题在教学中教师应引导学生尝试使用代换、变换、递推等方 法解决问题,如：m、n为不相等的两实数,且m-4m+2二0, n-4n+2二

4、0, 求 +的值.分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，设m、n为x-4x+2=0 的两根，此题可化归为： + = + 解：设m、n为一元二次方程x-4x+2二0的两根，a m+n=4, mn=2.将m、n分别代入方程得in-4m+2二0, 4n-4n+2二0, *» + = + = = = .3统一性原则.问题的化归往往表现在形式上和谐、数量上统一，解 题时要单个击破，切忌面面俱到，使问题变得复杂.已知：a+b+c=0,求+ + 的值.分析：将此题a、b、c三个字母位置轮换，分式的值也不会发生改变, 这样的式子称为轮换对称式，解决此题时只需将其中一个进行分析转换， 另两个同理可得

5、由a+b+c二0可得b二- (a+c).二二二，同理二, 二代入解得1.解：ta+b+c 二 0"二一(a+c)同理二, 二故原式二三、化归思想方法应用的策略1.特殊与一般的转化策略人们对世界的认识总是遵循从特殊到 般，再由一般到特殊的规律，对于数学规律的探索，也是由表及里，由浅 入深，山现象到本质，寻找问题的解决方案.如：计算：分析：若运用通分计算，公分母是2520,显然较大，直接计算就会显 得怵i难通过观察发现，可以采用裂项的方法：二 + ,由此推广到二2.映射策略数学知识内总部之间存在着千丝万缕的联系，就代数知 识与几何知识而言，有些部分存在着同构的关系，这种关系就是映射它 们

6、在本质上是一致的，如几何中的点可用平面直角坐标系的有序数对表 示，直线用y=kx+b表示实质是将几何问题转化为代数问题求解，所用的 方法称为解析法如判断两直线是否平行化归为一次项系数k是否相等； 判断两直线是否垂直化归为斜率是否互为负倒数；求两条直线的交点化归 为解二元一次方程组.如h 次函数y二kx+b的图像经过点p (2, 1),且与直线y二2x+l 平行，求此函数的解析式.分析：两直线平行，说明一次项系数相等，由y/y可得出k=2. 又y二kx+b的图像经过点p (2, 1),将p点坐标代入即可求出b的值.解：、/, k二2又、二kx+b的图像过点p (2, 1),2k+b二1解得b二-

7、3.此一次函数的解析式为y二2x-3.3分解策略所谓分解，就是将一个复杂的、不能直接解决的问题分 解成若干个简单的、熟悉的小问题，通过解决小问题寻找化归途径使问题 得到解决.如:已知冇理数 a, b, c, d 满足 2|a-c|+b=2c+4d-cb-db-5,求 ad-bc的值.分析：观察等式左边为绝对值与二次根式的和，右边为一个多项式， 如直接求解是相当困难的通过观察不难看出右边等于- (c-l) + (d-2),左边不小于0,右边不人于0,因而左边和右边同时为0.解：右边二- (c-1) + (d-2) .左边二2 a_c +20,右边二- (c_l) + (d2) woa2|a-c|

8、 + b=0, - (c-1) + (d-2) =0/. a-c-0? 2b+d二0,。-1二0, d-2二0解得 a=l, b=-l, c=l, d=2aad-bc=l x2- (-1) x 1 二2+1 二3.4恒等变形策略恒等即无论用何值替代等式中的字母，它的左、右 两边总是相等数学中的配方法、因式分解、分式的基本性质等恒等变换 都能起到将复杂问题化归为简单问题的作用.如1：若x+mx-nx+2能被x-3x+2整除，试求m、n的值.分析：此题可用竖式除法、待定系数法求解，不过计算比较繁琐x +mx-nx+2 能被 x-3x+2 整除，因而 x+mx-nx+2二k (x-3x+2) 若 x-3x+2=0,则x+mx-nx+2也一定为0.解:vxb-3x+2=0= (x-1) (x-2), ax=l 或 x二2 时，x-3x+2二0vxh-3x+2=0是x+mx-nx+2的一个因式,当x=l或x=2时,x +mx -nx+2 二0.1+m-n+2二 0, 16+4m-2n+2 二 0解得 m=-6, n二-3.总之，数学问题的解决需要学生经历观察、联想、分析、类比、归纳 等思维过程，把待解决的问题化归为学生所熟知的、己解决的问题