利用现代技术探究数学奥秘

1、利用现代技术探究数学奥秘【摘要】通过借助电脑工具探究自编自解题目“已知圆a：x2+y2二r2 (r0),定点 b (a, 0) (a>0), e 是 bc 所在直线 上的一点，且点e分cb的比为入。一、问题的引出：已知圆 a： x2+y2二r2 (r>0),定点 b (a, 0) (a>0), e 是bc所在直线上的一点，且点e分cb的比为入。(1)过点e作bc的垂线与ac所在的直线相交于点p, 求点p的轨迹。(2)若ac交圆于另一点f,过e点作直线ac的平行线交bf于g点，过点e与g分别做直线bc与bf的垂线，求 这两条垂线交点h的轨迹。我对该题进行了探索，在求解过程中我借

2、助了电脑工具 采用了几个有特色的方法，探究出很多重要的结论，下面介 绍一下我的探究过程，请专家给予指导。、探究过程:探究一：e为特殊点的情况：1若e为bc的中点借助几何画板工具很容易描绘p点的轨迹图形是以a, b 两点为焦点的椭圆(如图3),证明过程可以借助“动点p到 定点a, b的距离之和等于定值”这一关键(证明过程略)。从图3中可以得出第一个猜想：bc的中垂线可能是椭园的切线，下面给出证明过程：证明：若bc的垂直平分线ep不是椭圆p的切线，则直 线与椭圆还有一个交点p',所以应有ip' a| + |p, b|=r,而 p'c|,所以 |p，a| + |p'

3、c|=r,所以 p'、a、c 三点共线，所以p'与p重合，所以猜想是正确的。若设圆 a： x2+y2=r2 (r>0),定点 b (a, 0) (a>0), 圆上有一动点c (x0, yo),则容易得出：p点的轨迹方程 为： +二 1 o由此得出定理一：定理一：圆a内有一定点b,圆上有一动点c,线段bc 的垂直平分线交ac于点p.则点p的轨迹是以a, b为焦点的 椭圆，该垂直平分线是该椭圆以p为切点的切线。若ac交圆于f,线段bf的垂直平分线交af于点j, ep 与gj交于点h,问h的轨迹？借助几何画板的演示可以看出h的轨迹是一条直线，根 据图象的特点可以得出猜想二

4、该直线可能是椭圆的准线。下面给出证明过程：设圆a： x2+y2二r2 (r>0)内有一定 点b (a, 0) (a>0),圆上有一动点c (x0, yo),则容易得 出：直线pe的方程为：y-二- (x-)(1)直线gj的方程为：y+ (x-h)(2)考虑到：x+y二r2 (r>0)容易得：h的轨迹是 直线方程为：x=b因为p点的轨迹方程为+=1 ,容易证明x=，即是 椭圆+"的准线。由此得出定理二：定理二：圆a内有一定点b,圆上有一动点c,线段bc 的垂直平分线交ac于点p, ac交圆于f,线段bf的垂直平 分线交af于点j, ep与gj交于点h,则h点的轨迹是p

5、点 轨迹椭圆的一条准线。利用几何画板拖动点b,当点b在圆上或是在圆外的时 候，发现点p的轨迹不是椭圆了，由此得出猜想三，这时点 p的轨迹是是双曲线，点h的轨迹是该双曲线的一条准线。证明：当点b在圆上时，非常简单发现点p与圆心a是 重合的，说明这时点p年轨迹就是一点a,点h的轨迹也是 点a,说明猜测是不正确的，当点b在圆外时，由双曲线的 定义知，点p的轨迹是双曲线，因为点p与点h的轨迹方程 分别是+b=l, x=b ,这时a>r所以以上两个方程变为： -与x=h显然直线x二是-=1的一条准线。由此得到定理三：定理三：若b点在圆a上，圆上有一动点c,线段bc的 垂直平分线交ac于点p, ac

6、交圆于f,线段bf的垂直平分 线交af于点j, ep与gj交于点h, p点与h的轨迹都是圆 心点a,若b点在圆外，点p的轨迹是一双曲线，点h点的 轨迹是该双曲线的一条准线。从该题的探究过程中发现猜想的结论当点b在圆上时点p的轨迹是双曲线，而在证明过程中得出点p的轨迹确是一个点。因此可以有以下心得：就是单纯的从几何画板的图形展 示中得出的结论有时是不可靠的，必须经过科学的证明才可 信。2. e与c点重合容易得p点的轨迹是一个圆，其方程为:x2+y2=r2(r>0)3. e与点b重合设 c (rcos 0 , rsin 0 ),则 e (a, 0)kbc二，则pe的方程：y=(x-a), a

7、c的方程为： y=tan b x,将pe与ac的方程联立得点p轨迹的参数方程为: x=hy=b经几何画板演示，图形是由两个类似椭圆形成的图形如 图5：探究二：e为一般点的情况：若点e为一般点，点e分cb的比为入。(1)过点e作bc的垂线与ac所在的直线相交于点p,求点p的轨迹。(2)若ac交圆于另一点f,过e点作直线ac的平行线交bf于g点，过点e与g分别做直线bc与bf的垂线，求 这两条垂线交点h的轨迹。通过几何画板演示，由此得出一个猜想，猜想四：(2)点h的轨迹还是一条直线。下面给出该猜想的证明过程：证明：设圆a： x2+y2=r2 (r>0)内有一定点b (a, 0) (a>0),圆上有一动点 c (rcos 6 , rsin 0 ),则 e ( , ), f (-rcos 0 , -rsin 0 ), g (, ) kh=h,kbf=b则he的方程:y-二 (x-h), hg 的方程为：y+二 (x+)由此得h点的参数方程：x=hy=h ( 9 为参数)。从横坐标x看，显然是一条直线但从纵坐标y看，的 值域还无法求出，这还不能说明猜想五的准确，只能说明点 h在垂直于ab的直线上。由此得到出定理四：定理四：已知圆 a： x2+y2=r2(r>0),定点 b(a, 0)(a>0), e是bc所在直线上的一点，