2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何5第5讲直线平面垂直的判定与性质课件文新人教A版

1、第八章第八章 立体几何立体几何 第第5讲讲 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 1直线与平面垂直的判定定理与性质定理直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言文字语言 一条直线与一个平面一条直线与一个平面图形语言图形语言 符号语言符号语言 两条相交直线两条相交直线 判定判定 内的内的_定理定理 都垂直，都垂直，则该直线与此则该直线与此平面垂直平面垂直 a，b? ? ? ?abO? ? ? l la? ? ?lb? ? 文字语言文字语言 垂直于同一垂直于同一图形语言图形语言 符号语言符号语言 性质定理性质定理 个平面的两个平面的两平行平行 条直线条直线_ a? ? ? ? ?

2、 ab b? ? ?2. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理 判定判定定理定理 文字语言文字语言 一个平面过另一个平面一个平面过另一个平面图形语言图形语言 符号语言符号语言 垂线垂线 ，的的_则这两个平面则这两个平面互相垂直互相垂直 l? ? ? ? ? l? ? ? 文字语言文字语言 两个平面互相垂两个平面互相垂直，则一个平面直，则一个平面图形语言图形语言 符号语言符号语言 交线交线 的的性质定理性质定理 内垂直于内垂直于_直线垂直于另一直线垂直于另一个平面个平面 ? ? ? ?l? ? ? l a? ? ?la? ?3. 直线与平面所成的角直线与平面所成的

3、角 (1)定义：定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所平面的一条斜线和它在平面上的射影所锐角锐角 ，叫做这条直线和这个平面所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角，成的成的_PAO 就是斜线就是斜线 AP 与平面与平面所成的角所成的角 如图，如图，_(2)线面角线面角? ? ?的范围：的范围：? ?0，2? ?. ? ? ?直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； 直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角；的角； 当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角 判断正误判断正误

4、(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”) (1)已知直线已知直线a，b，c，若，若ab，bc，则，则ac.( ) (2)直线直线l与平面与平面内的无数条直线都垂直，则内的无数条直线都垂直，则l.( ) (3)设设m，n是两条不同的直线，是两条不同的直线，是一个平面，若是一个平面，若mn，m，则，则n.( ) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面一个平面( ) (5)若平面若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则内的无数条直线，则.( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4

5、) (5) 如果直线如果直线a与平面与平面不垂直，不垂直， 那么在平面那么在平面内与直线内与直线a垂直垂直的直线的直线( ) A只有一条只有一条 C是平面是平面内的所有直线内的所有直线 B有无数条有无数条 D不存在不存在 解析：选解析：选B.当直线当直线a平面平面时，在平面时，在平面内有无数条直线与内有无数条直线与直线直线a是异面垂直直线；当直线是异面垂直直线；当直线a? ? 平面平面时，在平面时，在平面内有内有无数条平行直线与直线无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线相交且垂直；当直线a与平面与平面相交相交但不垂直时，在平面但不垂直时，在平面内有无数条平行直线与直线内有无数条平行直线与直线

6、a垂直故垂直故如果直线如果直线a与平面与平面不垂直，那么在平面不垂直，那么在平面内与直线内与直线a垂直的垂直的直线有无数条故选直线有无数条故选 B. (教材习题改编教材习题改编)线段线段AB的长等于它在平面的长等于它在平面内的射影长的内的射影长的2倍，则倍，则AB所在直线与平面所在直线与平面所成的角为所成的角为( ) A30 B45 C60 D120 解析：选解析：选C.如图，如图，AC，ABB，则，则BC是是1AB在平面在平面内的射影，内的射影， 则则BC2AB， 所以所以ABC60，它是，它是AB与平面与平面所成的角所成的角 设平面设平面与平面与平面相交于直线相交于直线m， 直线直线a在平

7、面在平面内，内， 直线直线b在平面在平面内，且内，且bm，则，则“”是是“ab”的的_条件条件(填填“充分不必要充分不必要”或或“必要不充分必要不充分”或或“充要充要”或或“既既不充分也不必要不充分也不必要”) 解析：若解析：若，因为，因为m，b? ，bm，所以根据两个平，所以根据两个平面垂直的性质定理可得面垂直的性质定理可得b，又，又a? ，所以，所以ab；反过来，；反过来，当当am时，因为时，因为bm，一定有，一定有ba，但不能保证，但不能保证b，所，所以不能推出以不能推出. 答案：充分不必要答案：充分不必要 (教材习题改编教材习题改编)P为为ABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且PA

8、、PB、PC两两垂直，则下列结论：两两垂直，则下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC，其中正确的个数是，其中正确的个数是_ 解析：如图所示因为解析：如图所示因为PAPC，PAPB，PCPBP，所以，所以PA平面平面PBC.又因为又因为BC? ? 平面平面PBC，所以，所以PABC.同理，同理，PBAC，PCAB.假设假设ABBC， 由由PABC，PAABA，则，则BC平面平面PAB，而，而 PC平面平面PAB，所以，所以BCPC，这与，这与BCPCC矛盾，矛盾， 故假设不成立，所以故假设不成立，所以ABBC错误错误 答案：答案：3 线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质(师生共研师

9、生共研) S是是 RtABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且SASBSC，D为为斜边斜边AC的中点的中点 (1)求证：求证：SD平面平面ABC； (2)若若ABBC，求证：，求证：BD平面平面SAC. 【证明】【证明】 (1)如图所示，取如图所示，取AB的中点的中点E，连接，连接SE，DE， 在在 RtABC中，中，D、E分别为分别为AC、AB的中点，的中点， 所以所以DEBC，所以，所以DEAB， 因为因为SASB，所以，所以SAB为等腰三角形，为等腰三角形， 所以所以SEAB. 又又SEDEE， 所以所以AB平面平面SDE. 又又SD?平面平面SDE， 所以所以ABSD. 在在SAC中

10、，中，SASC，D为为AC的中点，的中点， 所以所以SDAC. 又又ACABA，所以，所以SD平面平面ABC. (2)由于由于ABBC，则，则BDAC， 由由(1)可知，可知，SD平面平面ABC， 又又BD?平面平面ABC，所以，所以SDBD， 又又SDACD，所以，所以BD平面平面SAC. 判定线面垂直的四种方法判定线面垂直的四种方法 1(2018高考全国卷高考全国卷节选节选)如图，在三棱锥如图，在三棱锥P- ABC中，中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O为为AC的中点的中点 证明：证明：PO平面平面ABC. 证明：证明： 因为因为APCPAC4，O为为AC的中点，的中点，所以所以OP

11、AC，且且OP2 3. 2连接连接OB.因为因为ABBC2AC，所以，所以ABC为等腰直角三角为等腰直角三角形，形， 1且且OBAC，OB2AC2. 由由OPOBPB知知POOB. 由由OPOB，OPAC知知PO平面平面ABC. 2222(2019高考全国卷高考全国卷)如图，长方体如图，长方体ABCD - A1B1C1D1的底面的底面ABCD是正方形，点是正方形，点E在棱在棱AA1上，上，BEEC1. (1)证明：证明：BE平面平面EB1C1； (2)若若AEA1E，AB3，求四棱锥，求四棱锥E- BB1C1C的体积的体积 【解】【解】 (1)证明：由已知得证明：由已知得B1C1平面平面ABB

12、1A1，BE? ? 平面平面ABB1A1， 故故B1C1BE. 又又BEEC1， 所以所以BE平面平面EB1C1. (2)由由(1)知知BEB190. 由题设知由题设知RtABERtA1B1E，所以，所以AEBA1EB145， 故故AEAB3，AA12 AE6. 作作EFBB1，垂足为，垂足为F， 则则EF平面平面BB1C1C，且，且EFAB3. 所以，四棱锥所以，四棱锥E- BB1C1C的体积的体积 1V 36318. 3面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质(师生共研师生共研) 如图，在四面体如图，在四面体ABCD中，平面中，平面BAD平面平面CAD，BAD90.M，N，Q分别为棱分别为

13、棱AD，BD，AC的中点的中点 (1)求证：求证：CD平面平面MNQ; (2)求证：平面求证：平面MNQ平面平面CAD. 【证明】【证明】 (1)因为因为M，Q分别为棱分别为棱AD，AC的中点，的中点， 所以所以MQCD，又又CD? ?平面平面MNQ，MQ?平面平面MNQ，故故CD平面平面MNQ. (2)因为因为M，N分别为棱分别为棱AD，BD的中点，所以的中点，所以MNAB， 又又BAD90，故，故MNAD. 因为平面因为平面BAD平面平面CAD，平面，平面BAD平面平面CADAD，且，且MN?平面平面ABD，所以，所以MN平面平面ACD，又，又MN?平面平面MNQ，所以平面所以平面MNQ平

14、面平面CAD. (1)证明面面垂直的证明面面垂直的2种方法种方法 定义法：定义法：利用面面垂直的定义利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为即判定两平面所成的二面角为直二面角直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题题. 定理法：定理法：利用面面垂直的判定定理利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决把问题转化成证明线线垂直加以解决. (2)三种垂直关系的转化三种垂直关系的转化 判定判定判定判定线线垂直线线垂直)线面垂直线面垂直面面

15、垂直面面垂直 性质性质性质性质 1如图，如图，将边长为将边长为2的正六边形的正六边形ABCDEF沿对角线沿对角线BE翻折，翻折，连接连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且，形成如图所示的多面体，且AC6. 证明：平面证明：平面ABEF平面平面BCDE. 证明：在正六边形证明：在正六边形ABCDEF中，连接中，连接AC，BE，交点为交点为G，易知，易知ACBE，且，且AGCG3， 所以翻折后所以翻折后AGC为二面角为二面角A- BE- C的平面角，的平面角， 由由AC6，知，知AGCGAC，故，故AGGC， 所以所以AGC90， 所以平面所以平面ABEF平面平面BCDE. 2222(2019河

16、北唐山五校摸底河北唐山五校摸底)如图，在四棱锥如图，在四棱锥P- ABCD中，中，PC底面底面ABCD，ABCD是直角梯形，是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2 AD2 CD2，E是是PB的中点的中点 (1)求证：平面求证：平面EAC平面平面PBC； (2)若若PC2，求三棱锥，求三棱锥C- PAB的高的高 解：解：(1)证明：因为证明：因为PC平面平面ABCD，AC?平面平面ABCD，所以，所以ACPC. 因为因为AB2，ADCD1， 所以所以ACBC2， 所以所以ACBCAB，故，故ACBC. 又又BCPCC，所以，所以AC平面平面PBC. 因为因为AC?平面平面EAC， 所以平面所以平

17、面EAC平面平面PBC. 12(2)由由PC2，PCCB，得，得SPBC2( 2)1. 由由(1)知，知，AC为三棱锥为三棱锥A- PBC的高的高 222易知易知RtPCARtPCBRtACB，则，则PAABPB2， 12于是于是SPAB22sin 603. 设三棱锥设三棱锥C- PAB的高为的高为h，则，则 11116S，PABh SPBCAC，即，即 3 h 12，解得，解得h333336故三棱锥故三棱锥C- PAB的高为的高为3. 直线与平面所成的角直线与平面所成的角(师生共研师生共研) (2019青海模拟青海模拟)如图，正四棱锥如图，正四棱锥P- ABCD的体积为的体积为2，底面积为底

18、面积为6，E为侧棱为侧棱PC的中点，则直线的中点，则直线BE与平面与平面PAC所所成的角为成的角为( ) A60 C45 B30 D90 【解析】【解析】 如图，正四棱锥如图，正四棱锥P- ABCD中，根据底面积中，根据底面积为为6可得，可得，BC6.连接连接BD， 交交AC于点于点O， 连接连接PO，则则PO为正四棱锥为正四棱锥P- -ABCD 的高，的高， 根据体积公式可得，根据体积公式可得，PO1.因为因为PO底面底面ABCD，所以，所以POBD，又，又BDAC，POACO，所以所以BD平面平面PAC， 连接连接EO，则则BEO为直线为直线BE与平面与平面PAC所成的角在所成的角在RtP

19、OA中，因为中，因为PO1，OA3，1所以所以PA2，OE2PA1，在，在RtBOE中，因为中，因为BO3，所，所BO以以tanBEOOE3，即，即BEO60. 【答案】【答案】 A 求直线和平面所成角的步骤求直线和平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线寻找过斜线上一点与平面垂直的直线 (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角成的锐角或直角即为所求的角 (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角 1(2018高考全国卷高考

20、全国卷)在长方体在长方体ABCD - A1B1C1D1中，中，ABBC2，AC1与平面与平面BB1C1C所成的角为所成的角为30，则该长方体的体积，则该长方体的体积为为( ) A8 C8 2 B6 2 D8 3 解析：选解析：选C.连接连接BC1，因为，因为AB平面平面BB1C1C，所以，所以AC1B30，ABBC1，所以，所以ABC1为直角三角形又为直角三角形又AB2，所以，所以BC12 3.又又B1C12，所以，所以BB1 （2 3） 22 2，故该，故该长方体的体积长方体的体积V222 28 2. 222 已知边长为已知边长为2的正方形的正方形ABCD的四个顶点在球的四个顶点在球O的球面

21、上，的球面上，1605 球球O的体积的体积V球球3，则，则OA与平面与平面ABCD所成的角的余所成的角的余弦值为弦值为_ 解析：如图，过点解析：如图，过点O作作OM平面平面ABCD，垂足为点，垂足为点M，则点，则点M为正方形为正方形ABCD的中点因为正方形的中点因为正方形ABCD的边长为的边长为2，所所431605 以以AC2 2，所以，所以AM2.因为因为V球球3 r 3，所以球，所以球O的半径的半径OAr2 5，OA与平面与平面ABCD 所成的角的余弦值所成的角的余弦值AM210为为cosOAMOA10. 2 5 10答案：答案：10 逻辑推理逻辑推理空间中平行与垂空间中平行与垂 直的证明

22、直的证明 (2018高考北京卷高考北京卷)如图，在四棱锥如图，在四棱锥P- ABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，平面为矩形，平面PAD平面平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为分别为AD，PB的中点的中点 (1)求证：求证：PEBC； (2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PCD； (3)求证：求证：EF平面平面PCD. 【证明】【证明】 (1)因为因为PAPD，E为为AD的中点，的中点， 所以所以PEAD. 因为底面因为底面ABCD为矩形，为矩形， 所以所以BCAD. 所以所以PEBC. (2)因为底面因为底面ABCD为矩形，为矩形， 所以所以ABAD. 又因为平面又因为平面PAD平面平面ABCD， 所以所以AB平面平面PAD . 所以所以ABPD. 又因为又因为PAPD， 所以所以PD平面平面PAB . 所以平面所以平面PAB平面平面PCD. (3)取取PC中点中点G，连接，连接FG，DG. 因为因为F，G分别为分别为PB，PC的中点，的中点， 1所以所以FGBC，FG2BC. 因为因为ABCD为矩形，且为矩形，且E为为AD的中点，的中点， 1所以所以DEBC，DE2BC. 所以所以DEFG，DEFG. 所以四边形所以四边形DEFG为平行四边形为平行四边形 所以所以EFDG.又因为又因为 E