2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形6第5讲三角函数的图象与性质第2课时三角函数的图象

1、第四章第四章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第第2课时课时 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质(二二) 三角函数的周期性与奇偶性三角函数的周期性与奇偶性(师生共研师生共研) ? ? (1)函数函数f(x)2cos x4? ?1是是( ) ? ? ?2? ? ?A最小正周期为最小正周期为的奇函数的奇函数 B最小正周期为最小正周期为的偶函数的偶函数 C最小正周期为最小正周期为 的奇函数的奇函数 2D最小正周期为最小正周期为 的偶函数的偶函数 2x(2)若函数若函数f(x)sin(0，2)是偶函数，是偶函数， 则则_ 3? ?【解析】【解析】 (1)因为因为f(x)2cos x4? ?

2、1 ? ? ?2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?cos? ?2? ?x4? ? ?cos? ?2 x2? ?sin 2 x. ? ? ? ? ? ? ? ?2所以所以T，f(x)sin 2 x是奇函数是奇函数 2故函数故函数f(x)是最小正周期为是最小正周期为的奇函数的奇函数 x(2)由已知由已知f(x)sin是偶函数，可得是偶函数，可得 k ，kZ，即，即332333 k(kZ)，又，又0，2，所以，所以. 223【答案】【答案】 (1)A (2) 2 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y Asin x或或yAtan x的形式

3、，而偶函数一般可化为的形式，而偶函数一般可化为y Acos xb的形式的形式 (2)周期的计算方法：利用函数周期的计算方法：利用函数yAsin(x)(0)，y2Acos(x)(0)的最小正周期为的最小正周期为，函数，函数yAtan( x) (0)的最小正周期为的最小正周期为求解求解 1下列函数中，最小正周期为下列函数中，最小正周期为的奇函数是的奇函数是( ) ? ? ?Aysin? ?2 x2? ? ? ? ? ? ?Bycos? ?2 x2? ? ? ? ? Cysin 2 xcos 2 x 解析：选解析：选Dysin xcos x 是偶函数，不符合题意，是偶函数，不符合题意，y? ? ?B

4、.ysin? ?2 x2? ?cos 2 x? ? ? ? ?cos? ?2 x2? ?sin 2 x? ? ?是是T的奇函数，的奇函数，符合题意，符合题意，同理同理C，D均不是奇函数均不是奇函数 2设函数设函数? ? ?f(x)sin(x)cos(x)? ?0，|2? ?的最小正的最小正? ? ?周期为周期为，且，且f(x)f(x)，则，则( ) ? ? ?Af(x)在在? ?0，2? ?内单调递减内单调递减 ? ? ? ?4? ?Bf(x)在在? ?4，3? ?内单调递减内单调递减 ? ? ? ? ?Cf(x)在在? ?0，2? ?内单调递增内单调递增 ? ? ? ?4? ?Df(x)在在

5、? ?4，3? ?内单调递增内单调递增 ? ? ?解析：选解析：选A.由题意知由题意知f(x)? ? ?2sin? ?x4? ?. ? ? ?因为因为f(x)的最小正周期为的最小正周期为，所以，所以2， 所以所以f(x)? ? ?2sin? ?2 x4? ?. ? ? ?由由f(x)f(x)知知f(x)是偶函数，是偶函数， 因此因此 k (kZ) 42又又|， 2所以所以 ， 4所以所以f(x)2cos 2 x. 当当02 x，即，即0 x时，时，f(x)单调递减故选单调递减故选A. 2三角函数的对称轴或对称中心三角函数的对称轴或对称中心(师生共研师生共研) (1)(2019长长 春春 质质

6、量量 检检 测测(二二)函函 数数f(x)2sin(2 x? ? ?)? ?02? ?，且，且? ? ?f(0)1，则下列结论中正确的是，则下列结论中正确的是( ) Af()2 ? ? ?B? ?6，0? ?是是? ? ?f(x)图象的一个对称中心图象的一个对称中心 C 3Dx 是是f(x)图象的一条对称轴图象的一条对称轴 6(2)(2018高考江苏卷高考江苏卷)已知函数已知函数? ? ?ysin(2 x)? ?22? ?的图象的图象? ? ?关于直线关于直线x 对称，则对称，则的值是的值是_ 3【解析】【解析】 (1)由由f(0)1且且0， 可得可得 ， 故选项故选项C错误；错误；26可得可

7、得? ? ?f(x)2sin? ?2 x6? ?，把，把? ? ? ? ?x 代入代入f(x)2sin? ?2 x6? ?，得，得6? ? ?f()2，选项，选项A而而? ? ?正确；正确；f? ?6? ?2，f(x)取得最大值，选项取得最大值，选项? ? ? ?B错误；错误；? ? ?f? ?6? ?1，非最值，选项，非最值，选项? ? ?D错误，故选错误，故选A. (2)由函数由函数得得? ? ?ysin(2 x)? ?22? ?的图象关于直线的图象关于直线? ? ?x 对称，对称，3? ?2? ? 272sin? ?3? ?1，因为因为 ，所以所以 ，则则226 363? ? ? ， .

8、 26【答案】【答案】 (1)A (2) 6 解决对称性问题的关键解决对称性问题的关键 对于函数对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线线xx0或点或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验过检验f(x0)的值进行判断的值进行判断 已知函数已知函数ysin xcos x，y2 2sin xcos x，则下列结论，则下列结论正确的是正确的是( ) A两个函数的图象均关于点两个函数的图象均关

9、于点( ，0)成中心对称图形成中心对称图形 4B两个函数的图象均关于直线两个函数的图象均关于直线x 成轴对称图形成轴对称图形 4C两个函数在区间两个函数在区间( ， )上都是单调递增函数上都是单调递增函数 44D两个函数的最小正周期相同两个函数的最小正周期相同 解析：选解析：选C.y2sin( x )，图象的对称中心为，图象的对称中心为( k，4430)，kZ，对称轴为对称轴为x k，kZ，单调递增区间为单调递增区间为442 k， 2 k，kZ，最小正周期为，最小正周期为2；y2sin 2 x图象图象4kk的对称中心为的对称中心为(，0)，kZ，对称轴为，对称轴为x ，kZ，单，单242调递增

10、区间为调递增区间为 k， k，kZ，最小正周期为，最小正周期为.故选故选44C. 三角函数的图象与性质的综合问题三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研师生共研) 已知函数已知函数? ?3? ?f(x)sin(2x)sin? ?2x? ? ? ?3cosx3. 2(1)求求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当当? ?7? ?x? ?0，12? ?时，求时，求? ? ?f(x)的最小值和最大值的最小值和最大值 【解】【解】 (1)由题意，由题意， 得得f(x)(sin x)(cos x)3cosx313sin xcos x3cosx3sin 2 x(

11、cos 2 x1)3 2222? ? ?1333sin 2 xcos 2 xsin? ?2 x3? ?， 2222? ? ?2所以所以f(x)的最小正周期的最小正周期T； 2k 5令令2 x k (kZ)，则，则x(kZ)， 32212k5故所求图象的对称轴方程为故所求图象的对称轴方程为x(kZ) 21275(2)当当0 x时，时， 2 x ， 12336? ? ?3由函数图象由函数图象(图略图略)可知，可知， sin? ?2 x3? ?1， 即即0sin(2 x )23? ? ?323. 2223故故f(x)的最小值为的最小值为0，最大值为，最大值为. 2 解决三角函数图象与性质综合问题的方

12、法解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将先将yf(x)化为化为yasin xbcos x的形式，然后用辅助角公式的形式，然后用辅助角公式化为化为yAsin(x)的形式，的形式， 再借助再借助yAsin(x)的性质的性质(如如周期性、对称性、单调性等周期性、对称性、单调性等)解决相关问题解决相关问题 已知函数已知函数? ? ?f(x)2sin? ?2 x4? ?. ? ? ?(1)求函数的最大值及相应的求函数的最大值及相应的x值集合；值集合； (2)求函数求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心的图象的对称轴与对称中心 ? ? ?解：解：(1)当当sin? ?2 x4? ?1时，时，2 x 2 k ，kZ， 42? ? ?3 即即xk，kZ，此时函数取得最大值为，此时函数取得最大值为2； 8故故f(x)的最的最 大值大值 为为2，使函，使函 数取数取