初中因式分解的常用方法—特色专题详解

1、中学因式分解的常用方法特色专题详解一、提公因式法.如多项式 ambmcmmabc,其中 m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用23a a2 a写出结果三、分组分解法.ba22abb23baba a b ab,b) 2 ,22abb （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：amanbmbn例 2、分解因式：2 ax10ay5bybx1 / 30对应练习：分解因式1、 a2abacbc2、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay例 4、分解因式：a 22abb 2c 22 / 30对应练习：

2、分解因式3、 x2x9 y23 y4、 x2y 2z22 yz综合练习：（1） x3x 2 yxy 2y3（2） ax 2bx 2bxaxab22（3） x6 xy9 y16a8a1（4） a 26ab12b9b 24a（5） a 42a 3a 29（6） ） 4a 2 x4a 2 yb 2 xb 2 y23 / 30（7） x22 xyxzyzy 2（8） ） a 22 ab22b2ab1（9） y y2 m1 m1（10 ） ac acbb2a（11 ） a 2 bcb 2 ac) c 2 ab2abc（12） a3b 3c33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利

3、用公式x2 pq xpq xp xq 进行分解；特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和；例 5、分解因式：x 25 x64 / 30例 6、分解因式：x 27 x6对应练习5、分解因式 1 x 214 x24(2) a 215a36(3) x24 x5对应练习6、分解因式 1x 2x22y 22 y153x 210 x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax2bxc条件：（ 1） aa1a2a1c1（ 2） cc1c2a2c2（ 3） ba1c2分解结果：ax2bxa2 c1ba1c2c = a xc a xc a2 c1例 7、

4、分解因式：3 x211x1011225 / 30对应练习7、分解因式：（1） 5 x 27 x6（ 2） 3 x27 x2（ 3） 10x 217 x3（ 4）6 y 211y10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：a 28ab128b 2对应练习8、分解因式 1 x 23xy2 y 2 2 m 26 mn8n 2 3 a 2ab6b 2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2 x 27xy6 y2例 10、x2 y 23xy26 / 30对应练习9、分解因式：（1） 15 x27 xy4 y 2（2） ） a 2 x26ax8综合练习10 、（ 1） 8 x67 x3

5、1（ 2） 12x 211xy15 y22（3） xy3xy10（4） ） ab24 a4b3（5） x2 y 25x 2 y6 x 2（6） ） m 24mn4n 23m6n2（7） x24 xy4 y 22x4 y3（ 8） 5ab 223a 2b 2 10ab 27 / 30（9） 4x 24 xy6 x3 yy 210（ 10） 12 xy 211 x 2y2 2 xy 2摸索：分解因式：abcx 2a 2b 2c2 xabc五、主元法 .例 11 、分解因式：x 23xy10 y 2x9 y2对应练习11 、分解因式 1 x2y 24x6 y5(2) x 2xy2 y2x7 y68

6、/ 30(3) x2xy6y 2x13y6(4) a 2ab6b 25a35b36六、双十字相乘法；定义：双十字相乘法用于对ax2bxycy 2dxeyf 型多项式的分解因式；条件：（ 1） aa1 a2 ， cc1c2 ， ff1 f 2（ 2） a1c2a2c1b ， c1 f 2c2 f1e ， a1 f 2a2 f1d即：a1c1f 1a2c2f 2a1c2a2 c1b ， c1 f 2c2 f1e ， a1 f2a2 f 1d就 ax 2bxycy 2dxeyfa1 xc1 yf 1 a2 xc2f 2 2例 12、分解因式（1） x3 xy10 yx9 y22（ 2） x2xy6

7、y 2x13y69 / 30对应练习12 、分解因式（ 1） x2xy2 y 2x7 y6（2）6 x 27 xy3 y2xz7 yz2z2七、换元法；例 13、分解因式（1） 2005x 22005 21) x2005（ 2） x1 x2 x23 x6x2对应练习13 、分解因式（ 1） x22xyy4 xy xy2210 / 30（2） x 23x2 4x 28 x390（ 3） a 21 2a 25 24 a 23 2例 14 、分解因式（ 1） 2 x4x 36x 2x2观看：此多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”；这种多项式属于“等距离多项式”

8、；对应练习14 、（ 1） 6 x 47 x336x 27 x6 （2） x2 x3x 212xx 2 411 / 30八、添项、拆项、配方法；例 15 、分解因式（ 1） x33 x 24对应练习15 、分解因式（ 1） x39 x8（2） ） x1 4 x21 2x1 4（3） x47 x21（4） x 4x22ax1a 212 / 30（5） x4y 4xy) 4（ 6） 2a 2 b22a 2 c22b 2c 2a 4b4c 4九、待定系数法；例 16、分解因式x 2xy6 y 2x13 y6例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式x 2项式；y 2mx5 y6 能分解因式，并分解此

9、多（ 2）假如 x3ax2bx8 有两个因式为x1和 x2 ， 求 ab 的值；13 / 30对应练习17 、（ 1）分解因式x23xy10 y 2x9 y2（2）分解因式x 23 xy2 y 25 x7 y6（3）已知：x2解因式；2xy3 y26 x14 yp 能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分（4） k 为何值时，x2多项式；2 xyky 23 x5 y2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此14 / 30中学阶段因式分解的常用方法（例题再详解）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解；因式分解的方法多种多样，现将中学阶段因式分解的常用方法总结如下：一

10、、提公因式法.如多项式 ambmcmmabc,其中 m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用2a2 a a3写出结果三、分组分解法.b2a22abbb3aba a ba 2b,2b , abb2 （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系；解：原式 =amanbmbn =a mnb mn每组之间仍有公因式！

11、=mn ab摸索：此题仍可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提；例 2、分解因式：2 ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组；其次、三项为一组；15 / 30解：原式 =2ax10ay5bybx原式 =2 axbx10ay5by=2a x5 ybx5 y=x2ab) 5 y2ab= x5 y 2ab=2ab x5 y练习：分解因式1、 a 2abacbc2 、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay分析：如将第一、三项分为一组，其次、四项分为一组

12、，虽然可以提公因式，但提完后就能连续分解，所以只能另外分组；解：原式 = x 2y2 axay= xy xya xy= xy xya例 4、分解因式：a 22abb 2c 2解：原式 =a 22abb 2 c2=ab2c2=abc abc留意这两个例题的区分！练习：分解因式3、 x 2x9 y 23y4、 x222yz2 yz综合练习：（1） x3x 2 yxy 2y3（2） ax 2bx 2bxaxab16 / 30（3） x26 xy9 y 216a 28a1（4） a 26ab12b9b 24a（5） a 42a 3a 29（6） ） 4a 2 x4a 2 yb 2 xb 2 y（7）

13、x22 xyxzyzy 2（8） ） a 22 ab22b2ab1（9） y y2 m1 m1（10 ） ac acbb2a（11 ） a 2 bcb 2 ac) c 2 ab2abc （12 ） a 3b 3c33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2 pq xpq xp xq 进行分解；特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和；例 5、分解因式：x 25x6分析：将6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5；由于 6=2 ×3=-2 ×-3=1 ×6=-1 ×

14、-6 ，从中可以发觉只有2×3 的分解适合，即2+3=5 ；12解 ： x25 x6 = x223 x231317 / 30= x2 x31×2+1 ×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：x 27 x6解：原式 = x216 x161-1= x1 x61-6（ -1 ）+ （ -6 ）= -7练习 5、分解因式 1 x 214 x242 a 215a363 x 24x5练习 6、分解因式 1x 2x22y2 y153x210 x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax2bxc条件：

15、（ 1） aa1a2a1c1（ 2） cc1c2a2c2（ 3） ba1c2分解结果：ax2bxa2c1ba1c2c = a xc a xc a2 c112例 7、分解因式：3x12211x10分析：1-23-5（ -6 ）+ （ -5 ）= -11解： 3 x211x10 = x2 3x5练习 7、分解因式：（1） 5 x 27 x6（ 2） 3 x 27 x2（ 3） 10 x 217 x3（4）6 y 211y10218 / 30（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：a 28ab128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解；

16、18b1-16b8b+-16b= -8b解： a 28ab128b 2 = a 28b16b a8b16b =a8b a16b练习 8、分解因式 1 x 23 xy2 y 2 2 m 26mn8n 2 3 a 2ab6b 2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2 x 27xy6 y2例 10、x2 y 23xy21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2-3y+-4y= -7y-1+-2= -3解：原式 = x2y 2 x3 y解：原式 = xy1 xy2练习 9、分解因式：（1） 15x 27 xy4 y 2（2） ） a 2 x 26ax8综合练习10 、（ 1） 8 x

17、67 x31（ 2） 12x 211xy15 y2（3） xy 23xy10（4） ） ab 24 a4b3（5） x2 y 25x 2 y6 x 2（6） m 24mn4 n 23m6 n219 / 30（7） x24 xy4 y 22x4 y3 （8） 5ab223a 2b 2 10ab 2（9） 4x 24 xy6 x3 yy 210 （10 ） 12 xy 211x 2y 2 2xy2摸索：分解因式：2abcx22a b2c xabc五、主元法 .2例 11 、分解因式：x3xy10 y 2x9 y25-2解法一：以x 为主元2-1解：原式 = x 2x3 y110 y 29 y2-5

18、+-4= -9=x2x3 y15 y2 2 y11-5y-2= x5 y2 x2 y112y-1=x5 y2 x2 y1-5y-2+2y-1= -3y-1解法二：以y 为主元1-1解：原式 =10 y 210y 2y3x3 x99 y x2x x 22x212-1+2=1=10y 23 x9 yx1 x22x-1= 2 y x1 5 y x25-x+2= 2 yx15 yx25x-1-2 x+2=3x-9练习 11、分解因式 1 x 2y 24 x6 y5 2x 2xy2 y 2x7 y620 / 30(3) x2xy6 y 2x13 y6(4) a 2ab6b 25a35b36六、双十字相乘

19、法；定义：双十字相乘法用于对ax2bxycy 2dxeyf 型多项式的分解因式；条件：（ 1） aa1 a2 ， cc1c2 ， ff1 f 2（ 2） a1c2a2c1b ， c1 f 2c2 f1e ， a1 f 2a2 f1d即：a1c1f 1a2c2f 2a1c2a2 c1b ， c1 f 2c2 f1e ， a1 f 2a2 f1d就 ax 2bxycy 2dxeyfa1 xc1 yf 1 a2 xc2f 2 例 12、分解因式（1） x 23 xy10 y2x9 y2（ 2） x2xy6 y 2x13y6解：（ 1） x 23 xy10 y 2x9 y2应用双十字相乘法：x5 y2

20、x2 y12 xy5 xy3 xy ， 5 y4 y9 y ，x2 xx原式= x5 y2 x2 y1（ 2） x 2xy6 y 2x13 y6应用双十字相乘法：x2 y3x3y23xy2 xyxy ， 4 y9 y13 y ，2x3xx21 / 30原式= x2 y3 x3 y2练习 12、分解因式（1） x2xy2 y 2x7 y6（ 2） 6x27 xy3 y2xz7 yz2 z2七、换元法；例 13、分解因式（1） 2005x 22005 21) x2005（ 2） x1 x2 x3 x6x 2解：（ 1）设 2005= a ，就原式 =ax2a 21xa=ax1 xa =2005x1

21、 x2005（2）型如abcde 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 = x27 x6 x 25x6x2设 x25x6a ，就 x 27 x6a2 x原式= a2 x ax 2 =a 22 axx2= ax2 = x26 x6 2练习 13、分解因式（1） x 2xyy 2 24 xy x2y 2 （2） x 23x2 4x 28 x390 （ 3） a 21 2a 25 24 a 232例 14 、分解因式（ 1） 2 x4x 36x 2x2观看：此多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”；这种多项式属于“等距离多项式”；22 / 30方

22、法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法；解：原式 =x2 2 x 2x61 x1 =x2x2 2 x21 xx21 6x1212设 xt ，就 x xx 2t2原式=x 2 （2 t 22) t6 = x 22t 2t102=x2t25t2 = x2 x25x12xx=x·2x25 ·x·x x12=x2 x 25x2x22 x1= x1 2 2 x（ 2） x41 x24 x 3x24 x1解：原式 = x2x24 x14x1= x 2x 212x2x4x11x设 x1 xy ，就 x21x 2y 22原式= x2y24 y3 = x 2y1y3

23、=x2 x11 xx13 =x2xx1 x 23x1练习 14、（ 1） 6 x47 x336 x27 x6（2） x 42 x 3x212xx2 八、添项、拆项、配方法；例 15 、分解因式（ 1） x33 x 24解法 1拆项；解法 2添项；原 式 = x313 x23原 式 = x33x24 x4 x4= x1 x 2x13x1 x1=x x23x44 x42=x1 x2x13x3=x x1 x44 x1=x1 x4 x4= x21 x4x4=x1 x2 2= x1 x2223 /30（2） x 9x6x33解：原式 =x 91x 61x 31= x3= x31 x61 x6x31x31

24、 x3x31 x3111x31= x1 x 2x1 x 62 x33练习 15、分解因式（1） x39 x8（2） ） x1 4 x21 2 x1 4（3） x47 x21（4） x 4x22ax1a 2（5） x4y 4xy 4（ 6） 2a 2 b22a 2 c22b 2c 2a 4b4c 4九、待定系数法；例 16、分解因式x 2xy6 y 2x13 y6分析：原式的前3 项 x 2xy6 y 2 可以分为 x3 y x2 y，就原多项式必定可分为 x3 ym x2 yn 2解：设 x 2xy6 y 2x13y6 = x3 ym x2yn x3 ym x2 yn = xxy6 y 2mn

25、 x3n2m ymnx2xy6 y 2x13 y6 = x 2xy6 y2mn x3n2m ymnmn1m2对比左右两边相同项的系数可得3n2mmn613 ，解得n324 / 30原式= x3y2 x2 y3例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式x 2项式；y 2mx5 y6 能分解因式，并分解此多（ 2）假如 x3ax2bx8 有两个因式为x1和 x2 ， 求 ab 的值；（ 1）分析：前两项可以分解为 xy xy ，故此多项式分解的形式必为 xya xyb 解：设 x 2y 2mx5 y6 = xya xyb 就 x2y 2mx5 y6 = x2y 2 ab xba) yab比较对应的

26、系数可得：a bmb a5a，解得：b2a23 或b3ab6m1m1当m1时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 = xy2 xy3 ；当 m1时，原式 = xy2 xy3（ 2）分析： x3ax 2bx8 是一个三次式，所以它应当分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc 的一次二项式；解：设 x3ax 2bx8= x1 x2xc就 x3ax 2bx8 =x 33cx 223c x2ca3ca7 b23c ，解得b14 ，2c8c4ab =21练习 17、（ 1）分解因式x23xy10 y2x 9 y2（2）分解因式x 23 xy2 y 25 x7 y625 / 30（3）已知：x2解因

27、式；2xy3 y26 x14 yp 能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分2（4） k 为何值时，x多项式；22 xyky3 x5 y2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此26 / 30补充 ：肯定要记住的公式大全：平方差公式：a2-b2=a+ba-b；完全平方公式： a2±2abb2a ±b） 2 ；留意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必需是三项式，其中有两项能写成两个数 或式 的平方和的形式，另哪一项这两个数 或式 的积的2 倍；立方和公式：a3+b3=a+ba2-ab+b2； 立方差公式：a3-b3=a-ba2+ab+b2；完全立方公式： a3±3a2b3ab2±b3=a ±b3 公式： a+b+c-3abc=a+b+ca+b+c-ab-bc-ca* 十字相乘法初步公式：x2+p+qx+pq=x+px+q* （可不记）十字相乘法通用公式：假如有k=ac， n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx2+mx+n=ax+bcx+d因式分解方法（重要：因式分解法的结果肯定是多个因式相乘）：