南京邮电大学电磁场与电磁波考试必背公式

1、电磁场与电磁波复习-13 -第一部分知识点归纳弟一早矢量分析1、三种常用的坐标系(1)直角坐标系微分线元：d R = ax dx+ Wdy+dz面积元:jdSx =dydz =dxdz，体积元：dT=dxdydzJdSz =dxdy(2)柱坐标系工 dlr = dr长度元:« dl中=rd中，面积元dlz =dz(3)球坐标系'dlrdr长度元： dlg = rdedl ：r sind ：dSr = dl dl z = rd dzdS(p = dlrdlz =drdz ，体积元：d£ = rdrd*dz dSz = dl dlz = rdrdzdSr = dl dl

2、 - r2 sin did ：面积元：dS0 = dlrdl审=r sinOdrd中，体 积元：dS(p = dlrdle = rdrd 日d = r2 sin drd 飞:2、三种坐标系的坐标变量之间的关系(1)直角坐标系与柱坐标系的关系'x=rcosq r1x2+y2y =rsin :,= arctan义xz 二z(2)直角坐标系与球坐标系的关系r = x2 y2 z2y y = r sin Hsin Q 伯=arccosz.x2y2z2=arctan z(3)柱坐标系与球坐标系的关系z = r cos二r = 3 2 + z2，步=arccosz22r - z =邛3、梯度(1)

3、直角坐标系中:gradT cP.口 = '=ax- ay x二 yt cPaz ：z(2)柱坐标系中：1grad二二a a. az r r -'z(3)球坐标系中：1grad = x J = ar a-a .：；:r ' r4.散度(1)直角坐标系中：ax八：Azdiv A =；x2y；z(2)柱坐标系中：1 :div A =(rAr) r ；r(3)球坐标系中：,1 F 2div A =一(Ar)r ：:r(sin uA1)1：:A5、高斯散度定理:r sin 二夕T|AdS =广 Adz d fdivAdi ,意义为：任意矢量场A的散度在场中任XXT意体积内的体积分

4、等于矢量场 A在限定该体积的闭合面上的通量。6,旋度(1) 直角坐标系中：TaxT ayTazFxAx-:yAy:zAz(2) 柱坐标系中:T ar-TArTra :百rA :Taz3:zAz(3) 球坐标系中：T ar-TArT rau公rA 二T r sin a acpr sin gcpT两个重要性质：矢量场旋度的散度恒为零，父A = 0标量场梯度的旋度恒为零， M N = 07、斯托克斯公式：第二章 静电场和恒定电场1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度E、电位移矢量D和电位中。电场强度与电位的关系为：E = 中。00 %8.854x10/2F/m2、

5、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的 计算公式如下：（1）点电荷分布Eqk-RRk-qj,），：& C4二；0 k4 Rk4二；0 kmRk4二；0 k=1 Rk（2）体电荷分布>1E 二4二；°：(r )(r -r )dv3中=,1 ： (r )dv T C4二；0T r -r（3）面电荷分布一； 1E =4 二；0（4） 线电荷分布>1E =4 二；0:l (r )(r -r )dl3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为r"DdS=q,（积分形式） 表示意义D1 ：（r）（微分形式） fEd7 = 0,（积分

6、形式） VmE=0（微分形式）号介质中的高斯定理（q为S面内的总源电荷和S面内的总极化电荷之和安培环路定理，说明静电场是一种发散 场，也是保守场。T T 1 _n一一 一，、E dS =工2 qi.（积分形式）4 Tp 80 T %旺T真空中的高斯定理v E=£（微分形式，p为体电荷密度）060在线性、各向同性介质中，本构方程为： D=%E+P=eE = %E4、电介质的极化（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：Pp = -V 'P（P极化强度矢量）。p（2）介质表面的极化面电荷密度为：PDS =PU（'为表面的单位法向量矢 量）p35、在均匀介质中，电位满足的微分

7、方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即 $29=£ (有源区域)，/中=0(无源区域)6、介质分界面上的边界条件(1)分界面上Dn的边界条件Din - D2n = %或 n ( D1 D2 ) = Ps(Ps为分界面上的自由电荷面密度)，当分界面上没有 自由电荷时，则有：Din =D2n即n-DtD2，它给出了 B的法向分量在介质分界面两侧的关系：(I)如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧D的法向分量连续;1跨过分界面进入介质时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度Ps。(II)如果介质分界面上分布电荷密度Ps , D的法向分量从介质分界面上Et的边界条件用电位表示：£

8、1受十名2巴=PS和£1%/型(PS = 0) jn ；njn Fn(2)分界面上Et的边界条件(切向分量) nx E = nx E或 E1t = E2t，电场强度的切向分量 在不同的分界面上总是连续的。由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量 有限，故在分界面上的电位函数连续，即Cp - Cp1 2 °tan 二 七电力线折射定律： 二。tan 1227、静电场能量(1)静电荷系统的总能量1 一.体电何：We= (PGdf；2 ,1 一 ,面电何：We=aPSGdS；1线电荷：We=1Pl6dl。一 一 .一1 一(2)导体系统的总能量为：We =-Z qkQ 。2

9、k(3)能量密度静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。场中任意1 1 C O一点的能量密度为：- = DE = ；E2J/m32 2在任何情况下，总静电能可由8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变量为电场强度fffE和电流密度J,且J=0E。为媒质的电导率。(1)恒定电场的基本方程电流连续性方程：;积分形式:JdS=一号I微分形式：了=-空或J+2=0Ft2t恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减，即 虫=0和包=0。因此，电流连续性方程变为：cfJdS=0和 J=0,再加上ft NS

10、*E d 丁=0和V mE =0，这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。(2)恒定电场的边界条件(1)Jln =J2n 或 nJiJ2)=0,(2)Eit = E2t 或 * (E-E2t) = 0T T应用欧姆定律可得：ffiEin =<I2E2n和"=包。二 1 二 21 c此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为p=oE2,储能密度为 切。=8E2。e 2第四章恒定磁场1、磁场的特性由磁感应强度B和磁场强度(真空磁导率：|(0 =4冗m10，H /m1H来描述，真空中磁感应强度的计算公式为:(1)线电流:0Id l aRl2-4二1 R(3)体电流:(2)面电流:.&

11、#39;' J0 Js (r-r)4. . RdS2、恒定磁场的基本方程(1)真空中恒定磁场的基本方程为：真空中安培环路定理：A、磁通连续性方程：,积分形式：爹=° , B、I微分形式：VB = 0j积分形式：,B*dT=叼岁分形式：VxB=N0J(2)磁介质中恒定磁场的基本方程为：A、磁通连续性方程仍然满足：积分形式：® d_S=0,、微分形式： B =0B、磁介质中安培环路定理：积分形式：0H d l =源分形式：MH = J . 一 B .c、磁性媒质的本构方程：B=r0wH=nH（H=£_M,其中M为磁化强度矢量）。恒定磁场是一种漩涡场，因此一般不

12、能用一个标量函数的梯度来描述。3、磁介质的磁化磁介质在磁场中被磁化， 其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁化程度用磁化强度M表示。（1）磁介质中的束缚体电流密度为：Jm = VxM ；（2）磁介质表面上的束缚面电流密度为：J：=/><及其中，n为表面的单位法向量矢量）4、恒定磁场的矢量磁位为：B = 父A,矢量A为矢量磁位。在库仑规范条件（ A = 0）下，场与源的关系方程为：v2X=1?（有源区H2A=o（无源区） 对于分布型的矢量磁位计算公式：（1） 线电流：A = L（五（2）面电流：三dS （3）体电流：A=上叵4二 s R4二.R4二1 R5、恒定磁场的

13、边界条件（1）分界面上Bn的边界条件在两种磁介质的分界面上，取一个跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面（高 hT0为无穷小量）如右图所示，应用磁通连续性方程可得：T T T T T TsB dS =B1nds -B2 ndS =0于是有：n （B2-B1） =0或 B1n =B2n（2） 分界面上Ht （切向分量）的边界条件: n'（H；_H2'） =J；,如果分界面上无源表面电流分界面上Bn的边界条件磁力线折射定律tan %1tan4口 2(即 Js = 0 ),贝U nX(Ht-H2) =0即 H?t =Ht 或H1sin Q =H2sin &用矢量磁位表示的边界条件为：

14、a =A2；（、, A）t -/（'、 A2）t =JSJ 1- 26、电感的计算T TqT T（1）外自感：-=旦=此前dl0d l , （2）互感：m12=M21 =0卜史 I 4二 l1。 R4 二 七 l2R（3）内自感：单位长度的圆截面导线的内自感为：（长度为1的一段圆截面导线的内自感为L =旦）。8 二7、磁场的能量和能量密度（1）磁场的总能量磁介质中，载流回路系统的总磁场能量为：Wm =£ £ M kj I j 1k2 j 土 k 3（3）磁场能量密度B、，一 乂人日-1 1：A、任悬磁介质中：0m =一 H B ,此时磁场总能重可以由 Wm ,m在各

15、向同性，线性磁介质中此时磁场总能量可以由Wm4 B'Hd 4 ：H2d第五章时变电磁场1、法拉第电磁感应定律 d(1)感应电动势为： £ =；dtt积分形式：qE,dT=q空dS(2)法拉第电磁感应定律1§ Ft，*微分形式：Vxe=-二 t它说明时变的磁场将激励电场，而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保,>守场，感应电场 E在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通 的负变化率。2、麦克斯韦位移电流假说电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流按照麦克斯韦提出的位移电流假说,T一；,D ，、- 一 , , 一密度，称为位移电流密

16、度，即Jd =D。位移电流一样可以激励磁场，从而可以得出 ;t时变场中的安培环路定律卜分形式ijH d 1 =g(J +詈)d SI> 微分形式：vxHmJ+CD3、麦克斯韦方程组D>r(1)lH d 1 = s(J. ) dS.t- - 一，.B ；(2)：1 E d 1 =-.s-j- dST T(3) SB d 1 =0(4) sD'dS=q，Tc T T 3DVmH =J + &(1)微分形式L T BB (2)积分形式(2)Vxe =-二- a(3)V B = 0(4八 D =：(3)非限定形式的麦克斯韦方程组在线性和各向同性的介质中，有媒质的本构关系:D

17、 二 E 二 0 ；r E,B - 1 H -0，H,Jc=仃E,由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组:L T TdE(1H =J十君士e a«(2HmE一空(3)V 串H =0(4八；E>=：(4)麦克斯韦方程组的实质A、第二方程一时变电磁场用的安培环路定律。物理意义一磁场是由电一流和时变的电场. 激励的。B、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。C、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。d、第向方程：高而定证 粉a意L 而变血诙场而面灸菽i谷量是而通荷丽加而。思考题：差克斯韦万程中为和么浚宥官提而流逢续任方

18、程？答：因为它可以由微分形式的方程组中、式两式导出。把式两边同时取散度得由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得,再把式代入上式,即得J+上二=0,这便是电流连续性方程。；:t4、分界面上的边界条件(1)法向分量的边界条件A、T T TT T TD1勺边界条件nx(Di D2)= Ps，若分界面上Ps =0,则nx(D1 D2)=0T八T M Mb、b的边界条件nM(B1 B2)=0(2)切向分量的边界条件A、E的边界条件>f >n (E1 - E2) =0TTTTTTTTb、Hl勺边界条件nM(H1 H 2) = Js ,若分界面上 Js =0 ,则nM(H1 H2)= 0(3)理想导

19、体(仃=8)表面的边界条件 T T T T T(1) nH =Jsu Ht =Js T T T(2)nME =0= Et =0« TT'(3) n B =0u Bn =0/八Ps良(4) n EEnJ"0；0T式中n是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在理想导体与空气的分界面上，如果导 体表面上分布有电荷，则在导体表面上有电场的法向分量，则由上式中的式决定，导体表面上电场 的切向分量总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，如果导体表面上分布有电流，则在导体表面 上有磁场的切向分量，则由上式中的决定。5、波动方程2-22 e无源区域内，E、 1的波动方程分

20、别为：V2 H=0，V2e%E=0；Ft2?t2此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程。由此可以看出：时变电磁场在无源空间中是以波动的方式在运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为：0 =p6、坡印廷定理和坡印廷矢量 ,',：1 .9199数学表达式：-炉H dS = - (- JH- E )d -E d121 一 2 .由于双=卜电df为体积E内的总电场储能， Wm =阳di为体积E内的总磁场222储能，P=EdT为体积工内的总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：EMH dS=!M4+Wm)+P,式中的S为限定体积七的闭合面。 S物理意义：对空间中任意闭合面 s限定的体积丁，S

21、矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电 磁能量的增加率和焦耳损耗功率，它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。坡印廷矢量(能流矢量)S、=E> H'表示沿能量流动方向单位面积上传过的功率。T7、动态矢量磁位 A和动态标量为 与电磁场的关系为：T :A B=VmA, E =2 ftT达朗贝尔方程(或称 A与6的非齐次波动方程)为J三一 J7"三 t2ttc；第六章正弦平面电磁波欧拉公式： ejx = cosx + j sin x1、正弦电磁场fE(x, y,z,t)(i) 正弦电场、磁场强度的复数表示方法(以电场强度为例) 在直角坐标系中，正弦电磁场的电场分量可

22、以写成：= axExm(x, y,z) cost x(x, y, z)ay Eym(x, y, z) cos' t (x, y,z) az Ezm(x, y,z) cos1 t (x,y, z)l运用欧拉公式将其表示成复数矢量形式：Ex =ExmCOSt . (x,y,z)l-ReExmej( t ")】=Re(Exmej t) Ey-EymCOs'-t ' ;:y(x,y,z)'-ReEymej( t 'y) -Re(Eymejt)Ez = EzmcosY：z(x,y,z)l-ReEzmej( t z)1=Re(Ezmej t).j x.j

23、：y,j ：z，-=其中，Exm Exme , E ym Eyme, E zm Ezme分力u称为各分重振幅的相重,它的模和相位角都是空间坐标的函数，因此E(x,y, z,t) = Re(ax Exmay Eym az Ezm)ej t= Re(Eej t)其中，E =ax Exm+av Eym+az Ezm ,称为电场强度复矢量，它含有各分量的振幅和初相两大要 xyz素。电场强度复矢量是一个为简化正弦场计算的表示符号，一般不能用三维空间中一个矢量来表示，也不能写成指数形式。例题1将下列场矢量的瞬时值改写为复数；将场得复矢量写为瞬时值r r a、 .，二xx、，、(1) H = ax H 0k

24、(一)sin(一)sin(kz - t) az H0 cos(一)cos(kz - t) 二 aa(2) Exm = 2 jE0 sin 二 cos(kxcosi)eTkzsin )解：(1)因为cos(kzcot)是偶函数，T T =ax H xm az H zm则 cos(kz -Ft) = cos仰t - kz)而 sin(kz -0t) = cos(kz -0t -) = cos(ot -kz +-)，故Hm = ax H 0k()sin()ekz 2az H 0 cos()e4kz二 aa(2)因为Exmi a_j(kzsin0_?)= 2jE° sincos(kxcos1

25、)e丑即1 = 2E0 sin u cos(kxcos)e 2故 Ex =2Eo sin rcos(kxcos ) cos( ,t-kzsin 1 )2(2)麦克斯韦方程组的复数形式H = J' j , D x E = j6 B ,此方程组没有时间因子，注意：式中的场量仍代表复矢量，标量仍代表复数。v B =0D = P对于正弦电磁场的求解，我们可根据给出的源写出其复矢量和复数，然后利用麦克斯韦方程组的复数 形式求出场得复矢量，再由电磁场的复矢量写出电磁场的正弦表达式。例题2在真空中，已知正弦电磁波的电场分量为Ez,t) = ay103sin(cot - pz),求波的磁场分量H(z,

26、t)解：先将波的电场分量写出复矢量，即 Ey =_j103ej- ,将其代入矢量的麦克斯韦方程组:xE*=JM0内得：1中东旧_序丫 ，将Ey =_j103ej(曲电)代入上式可得 =Rz103 sin(,，t -Pz)'''' ' 0HJlio3/")，将上式展开取实部得：H(z,t)=£o(3) 正弦场中的坡印廷定理T Tq S d S = J (Pm + Pe + PQdt + j 禽 j(Wm平均 S其中亚,平均二1 R H 2为磁场能量密度的平均值，We平均=-44- W界均)dh'E2为电场能量密度的平均值。这里场O I量E、H分别为正弦电场和磁场的幅值。正弦电磁场的坡印廷定理说明：流进闭合面S内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；而流进(或流出)的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。(4) 亥姆霍兹方程(正弦电磁场波动方程的复数形式)227 4 k E=0，式中k =s上称为正弦电磁波的波数。' 2 H k2 H =02、理想介质中的均匀平面波(1)均匀平面波的波动方程及其解平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场 F和磁场H只沿波的传播方向变化，而在波阵面内 育口 H1的方向、振