初中数学_巧添辅助线__解证几何题

1、中学数学 _巧添帮助线 解证几何题巧添帮助线解证几何题 引出问题 在几何证明或运算问题中，常常需要添加必要的帮助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加帮助线，使图形的性质由隐藏得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加帮助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决；值得留意的是帮助线的添加目的与已知条件和所求结论有关；一、倍角问题讨论 2或 = 12问题通称为倍角问题；倍角问题分两种情形：11、与在两个三角形中，常作的平分线，得1=2翻折，得2=2，然后证明2=（如图一），然后证明1=；或把2、 与在同一个三角形中，这样的三角形

2、常称为倍角三角形；倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加帮助线（如图二）12图二图一a 例题解析 d例 1：如图 1，在 abc中， ab=ac,bd ac于 d；求证：1 bac.bcdbc=2分析： dbc、 bac所在的两个三角形有公共角c，可利用三角形内角和来沟通dbc、 bac和 c 的关系；证法一：在abc中， ab=ac，1°°1a abc= c=（180 - bac） =90 - bac；22° bdac于 d bdc=90 dbc=90° - c=90° -90 ° - 121 bac= 12d bacbce即

3、dbc= bac2分析二： dbc、 bac分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论 “ dbc= . bac”中含有角的倍、半关系，因此，可以做a 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把.°a 放在直角三角形中求解；也可以把dbc沿 bd翻折构造2 dbc求解；证法二：如图2，作 aebc于 e，就 eac+ c=90第 1 页 共 14 页中学数学 _巧添帮助线 解证几何题ab=ac 1eag=2bac bd ac于 d° dbc+c=90 eac=dbc（同角的余角相等）1即 dbc= bac；2证法三：如图3，在 ad上取一点 e，使 de=cd连接 bea

4、 bd ac bd是线段 ce的垂直平分线e° bc=be bec= cd ebc=2 dbc=180 -2 c ab=acbc abc= c bac=180°-2 c ebc= bac dbc= 12 bac说明：例 1 也可以取bc中点为 e，连接 de，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解；同学们不妨试一试；例 2、如图 4，在 abc中， a=2 b22求证： bc=ac+ac.aba22分析：由bc=ac+ac.ab= ac（ ac+ab），启示我们构建两个相像的三角形，且含有边bc、ac、ac+ab.又由已知 a=2b 知，bc构建以 a

5、b为腰的等腰三角形；证明：延长ca到 d, 使 ad=ab,就 d= dba bac是 abd的一个外角 bac= dba+d=2 d bac=2 abc d=abc又 c= c abc bdc acbcbccd2 bc=ac.cdad=ab22 bc= ac（ ac+ab）=ac+ac.ab二、中点问题已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题；这类问题常用三种方法添加帮助线（ 1）延长中线至倍（或者倍长中线），如图一；如图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二；（ 2）构造中位线，如图三（ 3）构造直角三角形斜边上的中线，如图四；第 2 页 共 14 页中学数学 _

6、巧添帮助线 解证几何题图一图二图三图四例题解析 例 3已知：如图，abc中， ab=ac,在 ab上取一点d，在 ac的延长线上取一点e, 连接 de交bc于点 f, 如 f 是 de的中点；求证：bd=ce分析：由于bd、 ce的形成与d、 e 两点有关，a但它们所在的三角形之间由于不是同类三角形，所以关系不明显，由于条件f 是 de的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键；d由已知 ab=ac,联系到当过d 点或 e 点作平行线，就可以形成新bc的图形关系构成等腰三角形，也就是相当于先把bdgf或 cee移动一下位置，从而使问题得解；证明：证法一：过点d作

7、dg ac,交 bc于点 g（如上图） dgb= acb, dgf=fce ab=ac b= acb b= dgb bd=dg f 是 de的中点 df=ef在 df g 和 defc 中，dfg=efcdgf=fce df=ef df g efc dg=ce bd=ce证法二：如图，在ac上取一点h,使 ch=ce连, f 是 de的中点接 dh cf是 edh 的中位线 dh bc adh= b, ahd= bca ab=ac b= bca adh= ahd ad=ah ab-ad=ac-ah bd=hc bd=ce说明：此题信息特点是“线段中点”；也可以过e 作 em bc,交 ab延长

8、线于点g，仿照证法二求解；例 4如图，已知ab cd， ae平分 bad，且 e 是 bc的中点第 3 页 共 14 页求证： ad=ab+cd中学数学 _巧添帮助线 解证几何题证法一：延长ae交 dc延长线于 fab ab cd bae= f, b= ecf e 是 bc的中点be=ce 在 abe和 cef中bae=feb=ecf be=ce abe ceffab=cfcae 平分 abd bae=dae dae=fad=dfdf=dc+cfcf=ababad=ab+dc证法二：取ad中点 f，连接 efab cd，e 是 bc的中点ef 是梯形 abcd的中位线feef ab , ef=

9、12（ ab+cd） bae=aefcae 平分 badd bae=fae aef=faeaf=efaf=df1ef=af=fd=ad2 1 ab+cd=1 ad22ad=ab+cd三角平分线问题已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题；常用的帮助线有两种：1. 以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示；2. 由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示；图一图二图三例题解析 例 5如图（ 1）， op是 mon的平分线，请你利用图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三第 4 页 共 14 页中学数学 _巧添帮助线 解证几何题角形；请你参考这个全等三角形的方

10、法，解答以下问题；（ 1）如图（ 2），在 abc中， acb是直角， b=60° ,ad、ce 分别是 bac、 bca的平分线， ad、ce相交于点f, 请你判定并写出ef 与 fd之间的数量关系；（ 2）如图（ 3），在 abc中，假如 acb不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（ 1）中所得的结论是否仍旧成立？如成立，请证明；如不成立，请说明理由；mebeofdapfn 1 ac 2 bedfac 3 分析：此题属于学习性题型；这类题型的特点是描述一种方法，要求同学依据指定的方法解题；指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形；解：（ 1） ef=fd（ 2）答：（

11、1）结论 ef=fd仍旧成立理由：如图（ 3），在 ac上截取 ag=ae连,在 aef和 agf中，ae=ageaf=fag af=af aef agfef=gf, efa=gfa接 fg由 b=60°， ad、ce分别是 bac bca的平分线可得 fag+ fca=60° efa=gfa= dfc=60° gfc=60°在 cfg和 cfd中第 5 页 共 14 页中学数学 _巧添帮助线 解证几何题gfc=dfc cf=cfdce=ace cfg cfdfg=fd又由于 ef=gfef=fd说明：学习性问题是新课程下的新型题，意在考查同学现场学习才

12、能和自学才能；抛开此题要求从角平分线的角度想，此题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的；解法二：（ 2）答（ 1）中的结论ef=fd仍旧成立；理由：作fg ab于 g,fh ac于 h,fm bc于 m ead= dac fg=fh ace=bce fh=fg b=60° dac+ace=60° efd= afc=180° - 60 ° =120°在四边形befd中 bef+ bdf=180° bdf+ fdc=180° fdc = bef在 efg和 dfm中fdc =befbegm

13、d fahc 3 egf=dmf=90 0fg=fm efg dfm ef=df四、线段的和差问题已知条件或所求问题中含有a+b=c 或 a=c-b ，称为线段的和差问题，常用的帮助线有两种：1. 短延长：如ab=a,就延长 ab 到 m,使 bm=b,然后证明 am=c；2. 长截短：如ab=c, 就在线段ab上截取 am=a,然后证明 mb=b； 例题解析 例 6 如图，在 abc中， ab=ac,点 p 是边 bc上一点， pd ab于 d,pe ac于 e,cm ab 于m,摸索究线段pd、pe、cm的数量关系，并说明理由；分析：判定三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大

14、小关系，通过测量猜想pd+pe=cm.分析：在cm上截取 mq=pd，得 pqmd再,答： pd+pe=cm证法一：在cm上截取 mq=p，d 连接 pq. cm ab于 m, pd ab 于 d证 明 cq=pe cmb= cm dppdb=90°四边形pqmd为平行四边形a pq ab cqp= cmb=90° qpc= b第 6 页 共 14 页mqe ab=ac b=ecp qpc= ecp pe ac于 e pec=90°在 pqc和 pec中pqc=pec qpc=ecppc=pc中学数学 _巧添帮助线 解证几何题a pqc pec qc=pe mq=

15、pd mq+qc=pd+pe pd+pe=cm分析 2：延长 df 到 n 使 dn=cm连,再证明 pn=peme接 cn,得平行四边形dncm,d证法 2：延长 df 到 n，使 dn=c，m 连接 cn同证法一得平行四边形dncm，及 pnc pecbpc pn=pe pd+pe=cmn分析 3：此题中含有ab=ac及三条垂线段pd、 de、cm，且 sss，所以可以用面积法求解；vpabv pacv abc证法三：连接ap, pd ab于 d,peac于 e,cm ab于 ma pqc= pec qpc= ecp pc=pcsv abp1 ab . pdm2 esv acp1 ac .

16、 pe2 dsv abc1 ab . cm2bpc ab=ac 且 sssvpabvpacv abc 1 ab . pd1 ab . pe1 ab . cm222q ab0pdpecm说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解；五、垂线段问题已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所讨论的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转化；常用的面积关系有：1. 同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；2. 同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系； 例题解析 第 7 页 共 14 页中学数学 _巧添帮助线 解证几何题例 7 在平行四边形abcd中， p 是对角线bd

17、上点，且peab, pfbc,垂足分别是e、f求证：abpfdcbcpe分析：将比例式abpfbcpe转化为等积式pfaebab . pebc . pf ，联想到，11ab . pebc . pf 22即 pab与 pbc的面积相等，从而用面积法达到证明的目的；证明：连接ac与 bd交于点 o,连接 pa、pc在平行四边形abcd中， ao=cosvaobsvboc同理， ssvaopsvaobsvpabvcopsv aopsvpbcsvbocsvcop peab, pfbc,svpab1 ab . pe, s1 bc . pfvpbc22a1 ab . pe1 bc . pf22ab . p

18、ebc . pf abpfbcpeedbfc例 8 求证：三角形三条边上的中线相交于一点；分析：这是一个文字表达的命题；要证明文字命题，需要依据题意画出图形，再依据题意、结合图形写出已知、求证；已知： abc中， af、bd、ce是其中线；求证： af、bd、 cg相交于一点；,分析：要证三线交于一点，只要证明第三条线经过另两条线的交点即可；证明：设bd、ce相交于点g，连接 ag，并延长交bc于点 f .q addcsv abdsvcbd , sv agdsv cgdsv agb同理，sv agbsv cgbsvcgbsv agc,sv agc,作 bm af 于 m,cn af 于 n第

19、8 页 共 14 页中学数学 _巧添帮助线 解证几何题就11sv agbag . bm , sv agc22ag .cn1 ag . bm1 ag . cn22bmcn在 bmf, 和 cnf, 中bf mcf nbmfcnf bmcn bmf cnf bf 'cf ', af 是 bc边上的中线又 af 时 bc边上的中线 af 与 af, 重合即 af 经过点 d af、bd、ce三线相交于点g因此三角形三边上的中线相交于一点；六、梯形问题梯形可以看作是一个组合图形，组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等；因此，可以通过添加适当的帮助线，把梯形问题转化为三角形、平行四

20、边形、矩形等问题求解，其基 本思想为：转化梯形问题三角形或者平行四边形问题分割、拼接在转化、分割、拼接常常用的帮助线：1. 平移一腰；即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一） ；讨论有关腰的问题常常用平移一腰；2. 过顶点作高；即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（如图二）；讨论有关底或高的问题常常过顶点作高；3. 平移一条对角线；即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（如图三）；讨论有关对角线问题常常用平移对角线；这种添加帮助线的方法，可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角

21、形内，使梯形的问题转化为三角形的问题；此三角形的面积等于梯形的面积；4. 延长两腰交于一点；把梯形问题转化为两个相像的三角形问题（图四）；5. 过底的中点作两腰的平行线；当已知中有底的中点时，常过中点做两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形（图五）；6. 过一腰中点作直线与两底相交；当已知中有一腰的中点时，常连接梯形一顶点和此中点，并延长交另一底于一点，将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三角形；此三角形的面积等于梯形的面积（图六） ；7. 作梯形中位线；当已知中有一腰的中点时，常取另一腰的中点，作梯形的中位线，（图七），利用梯形中位线性质解题；第 9 页 共

22、14 页中学数学 _巧添帮助线 解证几何题图一图二图三图四图五图六图七 例题解析 例 9以线段a=16,b=13 为梯形的两底，以c=10 为一腰，就另一腰长d 的取值范畴是分析：如图，梯形abcd中，上底b=13，下底 a=16，腰 ad= c=10，过 b 作 be ad,得到平行四边形 abed，从而得ad=be=10,ab=de=13所以 ec=dc-de=16-13=3.ab所以另一腰d 的取值范畴是10-3 d 10+3答案： 7 d 13例10 如 图 ， 已 知 梯 形abcd 中 ， ab dc, 高ae=12,bd=15,ac=20, 求梯形 abcd的面积；分析：已知条件

23、中给出两条对角线的长，但对角线dec位置交叉，条件一时用不上；另外，求梯形面积只要求出上、下底的和即可，不肯定求出上、下底的长，所以考虑平移腰；解：解法一：如图，过a 作 af bd,交 cd延长线于 fabq ab/ fc四形abdf是平行四形fdab, afbd fcabdcq aefcaef15fde；caec90在直角三角形aef中， ae=12,af=1522efafae2215129在直角三角形aec中， ae=12,af=15第 10 页 共 14 页中学数学 _巧添帮助线 解证几何题2222ecacae201216abdcfcefec91625s梯形 abcd1 abdc .

24、ae1ab251215022解法二：如图，过b 作 bf dc于 f bfc=90° ae dc于 e；aed=aec=90；aec=bfc=90defcae / bfq ab / dcabfe 是平行四形bfac12, abef在直角三角形abc中，ae12, ac20在直角三角形bdf中，2ecac2ae16bf12, bd1522dfbdbf9abdcdfce91625s梯形 abcd1 abdc . ae1251215022例 11. 如图，在梯形abcd中， ad bc, b+ c=90° ,m、 n分别是 ad、bc的中点，试说明：mn1g bcad 2分析 1

25、： b+ c=90°，考虑延长两腰，使它们ad相交于一点，构成直角三角形；m解法 1：延长 ba、 cd交于点 g,连接 gm、gnbcn；qbc90bgc90ammdgmam gamagm又bncngnbnbbgnq ad pbcgambagmbgn b、a、g共线 g、m、n共线第 11 页 共 14 页中学数学 _巧添帮助线 解证几何题q gm1 ad,gn1 bc22mngngm1 bcad2分析 2：考虑 m、n 分别为 ad、bc中点，可以过m 分别作 ab、dc的平行线，梯形abcd内部构成 直角三角形，把梯形转化为平行四边形和三角形；解法 2：作 me ab交 bc于

26、 e, 作 mfdc交 bc于 f ad bc四边形abem、dcfm都是平行四边形 be=am,fc=dmq ammdbefcadq bncnenfnm由mepab, mfpdcmefb,mfec；qbc90mefmfe90 emf=90° , 又 en=fnbcenfmn1 ef1 bcad 22 拓展延长 1. 已知：如图， abc中， d是 bc的中点， f 是 caf延长线上一点，连接fd交 ab于 e，如 ae=af求证： be=cfa证法一：延长ed到 g使 dg=de连,在 bde和 cdg中，bdcdbdecdg dedg接 cg.ebcdvbdevcdgbedg, becggq aeafffeaqfeabed , fgcgcfbe