初中数学《圆心角弧弦弦心距之间的关系》学案

1、【基础学问精讲】1. 基本概念(1) 顶点在圆心的角叫圆心角.(2) 从圆心到弦的距离叫弦心距.31 °的圆心角所对的弧叫1°的弧 .2. 定理(1) 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.(2) 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦心距相等.(3) 在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.3. 应留意的问题(1) 解题时作圆心的弦心距是常用帮助线.(2) 等弧的度数肯定相等，相等度数的弧不肯定是等弧.【重点难点解析】本节的重点是把握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并

2、能运用这些关系解决 有关的证明、运算题，难点在于挑选适当的帮助线，运用这几个量的相等关系解题.例 1如图 7-20 ，o是 rt abc三条角平分线的交点，c=90°， o经过 c 点分别交ac、 bc于 d、e，交 ab 于 f、g，求证cd = ce = fg证明 ：作弦 cd、ce、fg的弦心距om、on、op，o是 abc的三条角平分线的交点，om=on=o，p就： cd = ce = fg说明 ：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等.图 7-20图 7-21例 2如图 7-21 ， oa、ob是 o的两条相互

3、垂直的半径，m是弦 ab的中点，过m 作 mcoa，交ab 于 c，求证ac =1ab .3证明 ：过 m、c 作 me ao于 e， cfao于 f，连 ocm为 ab的中点，1me=2ob,易证 mefc为矩形cf=121ob=2oc， cof=30°，就1ac =ab311说明 ：如ac =3ab ，就 cof=3 boa，由题目条件知，须证明cof=30°即可 .例 3已知 ab、cd是 o的两条直径，ap 是 o的弦，且ap cd，求证 bd=dp证明 ：如图 7-22 ， ap cd，ac = pd ， ab、cd是两直径，coa= bod， ca = bd ，

4、就 bd = pd 故 bd=dp说明： 此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等”，“圆心角相等弧相等”，“弧相等弧所对的弦相等”等结论.例 4如图 7-23 ， mba与 mdc是 o的二割线，已知弦ab=cd，求 bm=dm.证明 ：作 oe ab于 e， of cd于 f， ab=cd， oe=o，f1就 rt meo rt mfo，1 me=m，f 又 ae=2 mb=mcab=2cd=fc说明 ：此题通过作弦心距将问题转化为证me=m，f的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论.【难题巧解点拨】再通过三角形全等达到目的，在全等例 1如图 7-24 ， o中弦 ab=cd，交于 e 和

5、 f，求证： me=nf.证明 ：连结 am、bm、cn、dnab 与 cd 的中点分别是m和 n，mn与 ab、cd分别 ab=cd，ab = cd m、 n的分别为ab 、 cd 的中点 am = mb = cn = dn am=bm=cn=d，nmd = nb fnd= emb， mbe=ndf， meb nfd， me=fn说明： 此题通过弧、弦相等关系的互换证得mb=d，n 从而得 meb fnd，得出结论 .例 2如图 7-25 ，已知 o的两弦 ab 和 cd相交于 p，且 bpo= dpo，求证： ad = bc .证明： 作 oe cd于 e， of ab于 f， bpo=

6、dpo， oe=o，fcd=ab，ab = cd ，ad = bc说明： 此题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分 ac 得命题成立 .【课本难题解答】1. 如图 7-26 ，在 o中，弦 ab=cd，延长 ab到 e，延长 cd到 f，使 be=df，求证： ef的垂直平分线经过点o.分析： 由角平分线定理的逆定理知，只须证明oe=o，f 又由条件弦相等得弦心距om=o，n从而得 fom eon，证出 of=oe，命题成立 .2. 如图 7-27 ，在 abc中， acb=90°， b=25°，以 c 为圆心， ca为半径的圆交ab于 d，

7、求ad 的度数 .分析： 要求弧 ad的度数就是求dca的度数，由条件易求出a=65°，再考虑cda，易求得 dca=50°，ad =50°【典型热点考题】例 1如图 7-28 ，已知 o中ab =2 cd ，求证明： ab2cd.证明 ：取ab 的中心 m，连结 bm、am ab =2 cd am = bm = cd从而有 am=bm=cd在 amb中， ab bm+am=2am=2cd故 ab2cd说明： 此题主要考察弦、弧之间的关系，定理告知我们等弧对等弦，此题告知我们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.例 2如图 7-29 ， ab为 o的直径，半径

8、oc ab，过 oc的中点 d 作弦 ef ab，求证abe=15°.证明： 作 eh ab于 h，就 ehod为矩形 eh=od，又 d 为 co的中点， 1eh=od= co2考虑 eho知： eoh=30°再考虑 eob知：1 eoh=15°ebo=2例 3在 rt abc中， c=90°， b=20°，以 c 为圆心 ca为半径的圆交ba于 d，交bc于 e，求de 的度数 图 7-30.解： 连连 dc，考虑 abc， c=90°， b=20° a=70°考虑 cda， cd=ca， a=70°

9、 dca=40°，就 dce=50°，de =50°说明 ：此题主要考察弧的度数的概念.本周训练【同步达纲练习】一、填空题 8 分× 5=40 分 1 梯形 abcd内接于 o，且 ad bc，就 ab=. 2ab 、cd是 o的两弦， e、 f 分别是 ab、 cd的中点，如ab=cd，作 oe=，aob=，ab =.(3) 圆内最大的弦是12，就这个圆的半径是.(4) 一条弦把圆分成2:3 两部分，就劣弧所对的圆心角的度数是.(5) 等边 abc内接于 o，就与ab 相等的弧有， aob=.二 、 选 择 题 8 分 × 5=40 分 1a

10、b 、cd分别是两个不等圆的弦，如ab=cd，就 a. ab = dcb.ab dcc.ab dcd.ab dc(2) 在 o中，ab =2 dc ，那么 a.ab=2dcb.ab=dcc.ab 2dcd.ab 2dc(3) 在 abc中， a=70°， o截 abc的三边， 所截得的弦都相等就boc等于 a.11 °b.125°c.130°d.不能确定(4) 在半径不相等的o1 和 o2 中，a1 b1 与a2 b2 所对的圆心角都是60°，就以下说法正确选项 a. a1b1 与a2 b2的弧长相等b. a1 b1 和a2 b2 的度数相等c. a1b1 与a2 b2的弧长和度数都相等d. a1b1 与a2 b2的弧长和度数不相等(5) 下面说法正确选项a. 弦相等，就弦心距相等b.弧长相等的弧所对的弦相等c. 垂直于弦的直线必平分弦d.圆的两条平行弦所夹的弧长相等三、解答题 10 分× 2=20 分(1) 从 o外一点 p 向 o引两条割线pab、pcd交 o于 a、b、c、d，且证：圆心o必在 bpd的平分线上，ab =cd ，求(2) 如图 7-31 ，已知 o的半径 oa