初中数学专题---------直线等分面积问题

1、中学数学专题讲座dw中学数学专题讲座 -直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特别图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形- 1 -中学数学专题讲座dw练习：1、作图题，请用学过的学问将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分 （保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必需经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分请用学过的学问将下图所示的图形

2、面积分成相等的两部分4、在一个矩形中， 把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必需经过该矩形5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图 1，已知四边形abcd、befg都是矩形，点g、 h 分别在 ab、 cd上，点 b、 c、e 在同一条直线上（1）当 s矩形 aghd=s矩形 cefh时，试画一条直线将整个图形面积2 等分（不写画法）（2）当 s 矩形 aghds 矩形 cefh时，如图 3；当 s 矩形 aghd s 矩形 cefh时，如图 4画一条直线将整个图形面积2 等分，在（ 1）的基础上，应当如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位

3、同学的画法是图5 和图 6：刘老师看过之后说这两个图形实质上表达的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）- 2 -中学数学专题讲座dw6、通过运算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如下列图， .abcd内有一圆， 请你画一条直线， 同时将圆和平行四边形的周长二等分（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布匀称的等腰三角形蛋糕（ab=bc，且 bc ac），在蛋糕的边缘匀称分布着巧克力，小明和小华打算只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样） 背景介绍： 这条分割直线

4、即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出请你帮小明在图1 中画出这条“等分积周线” ，从而平分蛋糕（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己仿照着在图1 中过点 c 画了一条直线cd 交 ab 于点 d你觉得小华会胜利吗如能胜利，说出确定的方法；如不能胜利，请说明理由（3）通过上面的实践，你肯定有了更深刻的熟悉请你解决下面的问题：如ab=bc=5cm， ac=6cm，请你找出 abc的全部“等分积周线” ，并简要的说明确定的方法9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布匀称

5、且外形为等腰 梯形和直角梯形的蛋糕（ad bc），在蛋糕的边缘匀称分布着巧克力，小明和小华打算只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）背景介绍： 这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线” 尝试解决：（ 1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕（2）小华觉得小明的方法很好，所以仿照着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线ef分别交 ad、bc于点 e、f你觉得小华会胜利吗？如能胜利，说出确定的方法；如不能胜利，请说明理由（3）通过上面的实践，你肯定有了更深刻的熟悉如

6、图2 中 ad bc， a=90°， ad bc， ab=4cm，bc=6cm，cd=5cm请你找出梯形abcd的全部“等分积周线” ，并简要的说明确定的 方法- 3 -中学数学专题讲座dw10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知 abc中， p 为 bc边上肯定点，过点p 作始终线，使其等分abc的面积 解决：情形1：如图，如点p 恰为 bc的中点，作直线ap即可情形 2：如图，如点p 不是 bc的中点，就取bc的中点 d，连接 ap，过点 d 作 deap 交 ac于 e，作直线pe，直线 pe即为所求直线问题解决： 如图， 已知四边形abcd，过点 b 作始终线（不必写作法）

7、，使其等分四边形abcd的面积，并证明11、如图， 把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心o点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情形分别为等分 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分13、用三种不同的方法把.abcd的面积四等分，并简要说明分法12题14、 如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分（至少有两种画法）215、抛物线 y=x ， y1 x22和直线 x=a（a0）分别交于a 、b 两点，已知 aob=90 °（1）求过原点o，把 aob面积两等分的直线解析式；（2）为使直线y2 xb 与线段 ab相交

8、，那么b 值应是怎样的范畴才适合16、如图长为2 的线段 pq在 x 的正半轴上， 从 p、q作 x 轴的垂线与抛物线y=x2 交于点p 、- 4 -中学数学专题讲座dwq（ 1）已知 p 的坐标为（ k， 0），求直线 op的函数解析式；（ 2）如直线op把梯形p pqq的面积二等分，求k 的值17、一条直线过abc的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比 为（）a 2： 1 b 1： 1 c 2： 3 d 3： 118、某课题讨论小组就图形面积问题进行专题讨论，他们发觉如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的

9、两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；现请你连续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（ s 表示面积）问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板abc， p1， p2 三等分边ab， r1，r2 三等分边ac经探究知 =sabc，请证明问题 2：如有另一块三角形纸板，可将其与问题1 中的拼合成四边形abcd，如图 2，q1， q2三等分边dc请探究与s 四边形 abcd之间的数量关系问题 3：如图 3， p1， p2， p3， p4 五等分边ab， q1， q2， q3， q4 五等分边dc如 s 四边形 abcd=1，求问题 4：如图 4，p1，p2，p3 四等分边 ab，q1

10、， q2， q3四等分边 dc， p1q1，p2q2， p3q3将四边形 abcd分成四个部分，面积分别为 s1，s2，s3，s4请直接写出含有 s1，s2，s3， s4 的一个等式19、阅读下面材料，再回答疑题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积 相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正- 5 -中学数学专题讲座dw方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线” 解决以下问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形abcd的“二分线” ，并

11、说明你的画法20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分（ 3种画法）22、如下列图的图案是一个轴对称图形，直线 l 是它的一条对称轴，假如最大圆的半径为2， 那么阴影部分面积是（）a b 2 c 3 d 423、如下列图是由7 个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分（在原图上作出） 24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2： 3 的两个四边形证明：这九条直线中至少有三条经过同一点抽屉原理 专题：证明题 分析： 第一依据抽屉

12、定理证明9 条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2： 3 的两个四边形中至少有5 条直线穿过一对边，然后再依据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点解答：证明：按抽屉原理，9 条直线中的每一条直线都把正方- 6 -中学数学专题讲座dw形分成面积比为2：3 的两个四边形，就至少有5 条直线穿过一对边又 2： 3 1： 1，依据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这 5 条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点故如 5 个点不全经过一点，就必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点25、一条直线平行于直线y=2x-1 ，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，就直线的解析式是

13、a y=2x+4 b y=2x-4 c y=2x± 4 d y=x+2（）26、把一个圆心为点 o，半径为 r 的圆的面积四等分， 请你尽可能多地设想各种分割方法 如图，假如圆心也是点 o的三个圆把大圆 o的面积四等分求这三个圆的半径 ob、oc、od的长27、已知直线ab 与 x ， y 轴分别交于a、b（如图）， ab=5， oa=3，（1）求直线ab的函数表达式；（2）假如 p 是线段 ab上的一个动点（不运动到 a，b），过 p 作 x 轴的垂线，垂足是 m，连接 po，设 om=x，图中哪些量可以表示成 x 的函数？试写出 5 个不同的量关于 x 的函数关系式（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（ 1）如图1 所示，已知abc中， d 为 bc 的中点，请写出图1 中，面积相等的三角形：，理由是- 7 -中学数学专题讲座dw（2）如图 2 所示，已知：平行四边形a abc，d 为 bc中点，请你在图中过d 作一条线段将平行四边形a abc的面积平分，平分平行四边形a abc的方法许多，一般地过画直线总能将平行四边形a abc的面积平分（3）如图 3 所示，已知：梯形abca中， aa bc，d 为 bc中点，请你在图3 中过 d 作一条线段将梯形的面积等分（4）如图 4 所示，某承包人要在自己梯形abc