初中数学二次函数知识点汇总

1、名师总结优秀学问点1. 定义 ：一般地，假如yax2bxca, b, c 是常数， a0 ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 yax 2 的性质（ 1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（ 2）函数 yax 2 的图像与 a 的符号关系 .当 a当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；0 时抛物线开口向下顶点为其最高点.（ 3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax 2（a0）.3. 二次函数yax 2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .4. 二 次函 数yax 2bxc用 配 方法 可 化 成 ：ya xh 2k的 形

2、式 ， 其 中hb ， k 2a4acb 2.4 a5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：yax 2 ； yax 2k ； ya xh 2 ；ya xh 2k ； yax 2bxc .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时，开口向上；当a0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、外形相同.平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh . 特殊地，y 轴记作直线x0.7. 顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数，假如二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）

3、公式法： yax2bxc2a xb 2a4acb24a，顶点是b4ac（，2a4ab ），对称轴是直线xb .22a（ 2）配方法： 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式，得到顶点为 h , k ，对称轴是直线xh .（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分名师总结优秀学问点线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线 yax 2bxc 中，a,b, c 的作用（ 1） a 打算开口方向及开口大小，这与yax 2 中的 a 完全一样 .（

4、 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线ybbax2bxc 的对称轴是直线x，故： b2 a0 时，对称轴为y 轴；0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；a b0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .a（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0 时， yc ，抛物线yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴；c0 , 与 y 轴交于负半轴.b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，就0 .a10. 几种

5、特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax 2yax 2kx0 （ y 轴）（ 0,0 ）x0 （ y 轴）0,k ya xh 2ya xh 2k当 a0 时xh开口向上xh h ,0 h , k yax 2bxc当 a0 时bxb4 acb 2开口向下2 a，2a4a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式：yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常挑选一般式.（ 2）顶点式：ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常挑选顶点式.（ 3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1 、x2 ，通常选用交点式：ya xx1xx2.1

6、2. 直线与抛物线的交点（ 1） y 轴与抛物线yax 2bxc 得交点为 0,c .名师总结优秀学问点（ 2）与 y 轴平行的直线xh 与抛物线yax 2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .（ 3）抛物线与x 轴的交点二次函数yax 2bxc 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x1 、x2 ，是对应一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .（ 4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样

7、可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根.（ 5）一次函数ykxn k0 的图像 l 与二次函数yax 2bxc a0的图像 g 的交点，由方ykx程组n2的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l 与 g 有两个交点 ; yaxbxc方程组只有一组解时l 与 g 只有一个交点；方程组无解时l 与 g 没有交点 .（ 6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc 与 x 轴两交点为a x1，0 ， bx2，0 ，由于 x1 、 x1x2x2 是方程1b , x aax2

8、bxc cx2a20 的两个根，故22b4cb24acabx1x2x1x2x1x24x1 x2aaaa二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax 2bxca,b,c是常数， a0（2）顶点式：ya xh 2ka, h, k是常数， a0（3）当抛物线yax 2bxc 与 x 轴有交点时， 即对应二次好方程ax2bxc0 有实根x1 和 x2存在时，依据二次三项式的分解因式ax 2bxca xx1 xx2 ，二次函数yax2bxc 可转化为两根式ya xx1 xx2 ；假如没有交点，就不能这样表示；名师总结优秀学问点考点三、二次函数的最值（10 分） 假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函

9、数在顶点处取得最大b4acb 2值（或最小值） ，即当 x时， y最值；2a4 ab假如自变量的取值范畴是x1xx2 ，那么，第一要看是否在自变量取值范畴2ax1xx2 内，b4acb 22如在此范畴内， 就当 x=时， y最值；如不在此范畴内，就需要考虑函数在x1 2a4 axx2 范1围内的增减性， 假如在此范畴内， y 随 x 的增大而增大， 就当 xx2 时， y最大ax2bx2c ，当 xx1时， y最小ax 2bx1c ；假如在此范畴内， y 随 x 的增大而减小， 就当 xx1 时， y最大ax 2bx1c ，1当 xx2 时，y最小ax 2bx2c；2考点四、二次函数的性质（6

10、14 分）1、二次函数的性质二次函数函数yax 2bxca ,b,c是常数， a0a>0a<0yy图像0x0x（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延长；（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延长；（ 2）对称轴是x=b，顶点坐标是（2ab ，（ 2）对称轴是x=2 abb，顶点坐标是（，2a2 a4acb 2）；4 a性质4acb 2）；4a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随 x2a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随2 a的 增 大 而 减 小 ； 在 对 称轴 的 右 侧 ， 即 当bx 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当bx>时， y 随 x

11、 的增大而增大， 简记左减2a右增；x>时， y 随 x 的增大而减小，简记左2a增右减；名师总结优秀学问点（ 4）抛物线有最低点，当x=b时， y 有最小2a（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最2 a值， y最小值4acb2 4a大值，y最大值4acb 24a2、二次函数yax 2bxca,b,c是常数， a0 中，a、b、c 的含义： a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上， ，a <0 时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=b2 ac 表示抛物线与y 轴的交点坐标： （ 0， c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次

12、函数的图像与x 轴的交点坐标；因此一元二次方程中的b 24 ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点；当 >0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当 <0 时，图像与 x 轴没有交点；二次函数学问点：1二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc （ a ，b，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数为零二次函数的定义域是全体实数a0 ，而 b，c 可以2. 二次函数yax 2bxc 的结构特点： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2a ，b ，c 是常数， a

13、是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax 的性质：2oo结论： a 的肯定值越大，抛物线的开口越小；总结：名师总结优秀学问点a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时， y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 随a0向上0 ，0y 轴x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 a0向下0 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小；xy 轴0 时， y 随x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 22. yaxc 的性质：结论： 上加下减； 同左上加，异右下减总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ，cx0 时， y

14、 随 x 的增大而增大；xy 轴0 时， y 随x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c a0向下0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而减小；xy 轴0 时， y 随x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：结论：左 加右减； 同左上加，异右下减总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随a0向上h ，0x=hx 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 0 a0向下h ，0x=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 0 24. ya xhk

15、 的性质：名师总结优秀学问点总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随a0向上h ，kx=hx 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k a0向下h ，kx=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 k 二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式22ya xhk ，确定其顶点坐标h，k； 保持抛物线yax的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下：y=ax 2向上 k >0【或向下 k<0】平移 |k|个单位y=ax 2+ k向右 h&

16、gt;0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=a x-h2向右 h>0 【或左 h<0 】平移 |k| 个单位向上 k>0 【或下 k<0 】平移 |k|个单位向上 k >0【或下 k <0】平移 |k |个单位向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=a x-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“同左上加，异右下减 ”三、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较请将 y222 x4 x5 利用配方的形式配成顶点式；请将yax2bxc 配成2ya xhk ；总

17、结：从解析式上看，2ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2yaxb 2a4acb24a，其中 hb ，k 2a24acb4a名师总结优秀学问点四、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式ya xh k ， 确定其开口方向、22对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0 ，x2 ，0（如与 x轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称

18、轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .五、二次函数yax2bxc 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb ，顶点坐标为2ab4acb2，2a4a当 xb 2a时， y 随 x 的增大而减小；当x2b时， y 随 x 的增大而增大；当x 2ab 时， y 有最2a小值 4acb4abb4acb2b2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为2a，当 x2a4a时， y2a随 x 的增大而增大；当xb 时， y 随 x 的增大而减小；当x 2ab 时， y 有最大值2 a4acb24a六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ， b ，

19、c 为常数 ， a0 ）；2. 顶点式：ya xh 2k （ a ， h ， k 为常数 ， a0 ）；3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 ， x1 ，x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即析式的这三种形式可以互化.b24ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解七、二次函数的图象与各项系数之间的关系21. 二次项系数a二次函数yaxbxc 中， a 作为二次项系数，明显a 0 名师总结优秀学问点 当 a 当 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来， a 打算了抛物线开口的大小和方向，a 的正负打算开口方向，a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b 0 时 ， 当 b