初中数学中的折叠问题

1、中学数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中bc，bd为折痕，折叠后 bg和 bh在同一条直线上， cbd=度2如下列图，一张矩形纸片沿bc折叠，顶点 a 落在点 a处，再过点 a折叠使折痕debc，如 ab=4，ac=3，就 ade的面积是3如图，矩形纸片abcd 中， ab=4 ，ad=3 ，折叠纸片使ad 边与对角线 bd 重合，得折痕 dg ，求 ag 的长dca'依据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中依据勾股定理列方程求解即可agb4把矩形纸片 abcd 沿 be 折叠，使得 ba 边与 bc 重合，然后再沿着bf 折叠，使得

2、折痕be 也与 bc 边重合，绽开后如下列图， 就 dfb 等于（）留意折叠前后角的对应关系5如图，沿矩形abcd的对角线 bd折叠，点 c落在点 e 的位置，已知bc=8cm，ab=6cm，求折叠后重合部分的面积efda重合部分是以折痕为底边的等腰三角形321bc中学数学中的折叠问题监利县第一中学6将一张矩形纸条abcd按如下列图折叠，如折叠角fec=64°，就 1=度； efg的外形三角形对折前后图形的位置变化，但外形、大小不变，留意一般情形下要画出对折前后的图形，便于查找对折前后图形之间的关系，留意以折痕为底边的等腰gefdca1gfd 5234bec7如图，将矩形纸片 abc

3、d 按如下的次序进行折叠：对折，展平，得折痕 ef（如图）； 延 cg 折叠，使点 b 落在 ef 上的点 b 处，（如图）；展平，得折痕 gc（如图）；沿 gh 折叠，使点 c 落在 dh 上的点 c处，（如图）；沿 gc折叠（如图） ；展平，得折痕 gc ， gh（如图 ）（1）求图 中 bcb 的大小；（2）图中的 gcc是正三角形吗？请说明理由理清在每一个折叠过程中的变与不变8如图，正方形纸片abcd的边长为 8，将其沿 ef折叠，就图中四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9如图，将边长为4 的正方形 abcd沿着折痕 ef 折叠，使点 b落在边 ad的中点 g处，求四边形bcfe

4、的面积留意折叠过程中的变与不变，图形的外形和大小不变，对应边与对应角相等10如图，将一个边长为1 的正方形纸片abcd 折叠，使点 b 落在边 ad 上不与 a 、d 重合mn为折痕，折叠后b c与 dn 交于 p1连接 bb ，那么 bb 与 mn 的长度相等吗？为什么？ 2设 bm=y， ab =x，求 y 与 x 的函数关系式； 3猜想当 b 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形mnc b面积最小？并验证你的猜想2二、纸片中的折叠11如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，就的度数等于（）cd30°bfea题考查的是平行线的性质，同位角相等，21a及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，

5、和平角为 180 度的性质， 留意 eab 是以折痕 ab 为底的等腰三角形12如图，将一宽为2cm 的纸条，沿 bc，使 cab=45 °，就后重合部分的面积为在折叠问题中， 一般要留意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整， 对于矩形 （纸片） 折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形abc13将宽 2cm的长方形纸条成如下列图的外形，那么折痕pq的长是留意把握折叠前后图形的对应关系在矩形（纸片）折叠问题中，会显现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形apq14如图 a 是长方形纸带， def=20

6、76;，将纸带沿ef 折叠成图 b，再沿 bf 折叠成图 c，就图 c 中的 cfe 的度数是（）aedaebfcbg图a图bdaecfbgfc图cd3此题考查图形的翻折变换，解题过程中应留意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，依据轴对称的性质，折叠前后图形的外形和大小不变由题意知 def= efb=20 °图 bgfc=140°，图 c 中的 cfe=gfc- efg 15将一张长为70 cm 的长方形纸片abcd ，沿对称轴 ef 折叠成如图的外形，如折叠后，ab 与 cd 间的距离为 60cm，就原纸片的宽ab 是（）cdfgea fdb ecba60cm16一根 30

7、cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其依据图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，期望折叠完成后纸条两端超出点p 的长度相等，就最初折叠时，求ma 的长三、三角形中的折叠17如图，把 rtabc（ c=90°），使 a， b两点重合，得到折痕ed，再沿 be折叠， c点恰好与 d点重合，就 ce：ae=18在 abc中，已知 ab=2a， a=30°， cd是 ab边的中线，如将 abc沿 cd对折起来，1折叠后两个小 acd与 bcd重叠部分的面积恰好等于折叠前abc的面积的 4 （1）当中线 cd等于 a 时，重叠部分的面积等于；4（2）有如下结论（不在“ c

8、d等于 a”的限制条件下）： ac边的长可以等于a；折叠前的abc的面积可以等于3 22 a；折叠后，以a、b 为端点的线段ab与中线 cd平行且相等其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，如认为都不正确填“无”）cb'adbc12ae3dbb'留意“角平分线 +等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19在 abc 中，已知 a=80°， c=30°，现把 cde 沿 de 进行不同的折叠得c de，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（ 1）把 cde 沿 de 折叠在四边形 adeb 内，就求 1+2 的和；（2

9、）如图（ 2）把 cde 沿 de 折叠掩盖 a ，就求 1+2 的和；（3）如图（ 3）把 cde 沿 de 斜向上折叠，探求1、 2、 c 的关系（1）依据折叠前后的图象全等可知，1=180° -2cde ，2=180°-2ced ，再依据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接 dg，将 adg+ agd 作为一个整体， 依据三角形内角和定理来求；（3）将 2 看作 180° -2ced ， 1 看作 2ccde-180°，再依据三角形内角和定理来求ad1c'2e图 1bc'c'aa1d2gd1bce图22ceb图35由于等

10、腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形经常常会显现等腰三角形20观看与发觉：将三角形纸片abc（ab ac ）沿过点 a 的直线折叠， 使得 ac 落在 ab 边上， 折痕为 ad ，绽开纸片（如图） ；在第一次折叠的基础上其次次折叠该三角形纸片，使点a 和点 d 重合，折痕为 ef，展平纸片后得到aef （如图）小明认为 aef 是等腰三角形，你同意吗？请说明 理由实践与运用：1将矩形纸片 abcd 沿过点 b 的直线折叠， 使点 a 落在 bc 边上的点 f 处，折痕为 be（如图）；再沿过点 e 的直线折叠，使点 d 落在 be 上的点 d处，折痕为 eg（如图）；再展平纸片（如图）求图

11、中的大小由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关；要抓住折叠前后图形之间的对应关系2将矩形纸片 abcd 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕ef，折痕与 ad 边交于点 e，与 bc 边交于点 f；将矩形 abfe 与矩形 efcd 分别沿折痕 mn 和 pq 折叠，使点 a 、点 d 都与点 f 重合，绽开纸片，此时恰好有mp=mn=pq （如图），求 mnf 的大小在矩形中的折叠问题，通常会显现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21直角三角形纸片abc 中， acb=90 °， ac bc，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点

12、 a 落在直角边 bc 上，记落点为d，设折痕与 ab 、ac 边分别交于点e、点 f探究：假如折叠后的 cdf 与 bde 均为等腰三角形， 那么纸片中 b 的度数是多少？写出你的运算过程，并画出符合条件的后的图形6先确定 cdf 是等腰三角形，得出cfd= cdf=45 °，由于不确定 bde 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需争论，de=db ， bd=be ， de=be ，然后分别利用角的关系得出答案即可22以下图案给出了折叠一个直角边长为2 的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：第一对折， 如图 2，折痕 cd 交 ab 于点 d；打开后，过点d 任意折叠，使折痕de 交

13、 bc 于点 e，如图 3；打开后，如图4；再沿 ae 折叠，如图 5；打开后，折痕如图6就折痕 de 和 ae 长度的和的最小值是（）此题经过了三次折叠，留意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参见文章 23小华将一条 1（如图 1），沿它对称轴折叠1 次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图 3），就图 3 中一条腰长；同上操作，如小华连续将图1 折叠 n 次后所得到（如图n+1） 一条腰长为多少？此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中常常显现对于找规律的题目第一应找出哪些部分发生了变化，是依据什么规律变化的24如图，矩形纸片abcd中， ab= 6 ，bc

14、= 10 第一次将纸片折叠，使点b 与点 d重合，折痕与 bd交于点 o1；o1d 的中点为 d1，其次次将纸片折叠使点b与点 d1 重合，折痕与 bd交于点 o2；设 o2d1 的中点为 d2 ，第三次将纸片折叠使点b 与点 d2 重合，折痕与bd交于点 o3 ，按上述方法，第 n 次折叠后的折痕与bd交于点 on，就 bo1=，bon =7问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展现运算的具体过程；在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观看其中的变与不变，特殊是变化的数据与折叠次数之间的关系25如图，直角三角形纸片abc 中， ab=3 ，ac=4， d 为斜边

15、 bc 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 a 与点 d 重合，折痕与 ad 交于点 p1；设 p1d 的中点为 d 1，第 2 次将纸片折叠，使点a 与点 d1 重合， 折痕与 ad 交于点 p2；设 p2d 1 的中点为 d2，第 3 次将纸片折叠， 使点 a 与点 d2 重合， 折痕与 ad 交于点 p3；设 pn-1dn-2 的中点为 dn-1，第 n 次纸片折叠，使a 与点 dn-1 重合，折痕与 ad 交于点 pn （n 2），就 ap 6 长（）此题考查了翻折变换的学问，解答此题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，留意培育自己的归纳总结才能26阅读懂得如图 1

16、， abc中，沿 bac的平分线 ab1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿b1a1c 的平分线a1b2 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿bn an c的平分线 anbn+1 折叠，点 bn 与点 c重合，无论折叠多少次，只要最终一次恰好重合，bac是 abc的好角小丽展现了确定 bac是 abc的好角的两种情形 情形一： 如图 2，沿等腰三角形abc顶角 bac的平分线 ab1 折叠，点 b 与点 c重合；情形二：如图3，沿 bac的平分线 ab1 折叠，剪掉重复部 分；将余下部分沿b1a1c的平分线 a1b2 折叠，此时点b1 与点 c重合探究发觉（1） abc中， b=2 c，经过两次，

17、bac是不是 abc的好角？（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发觉了bac是 abc的好角，请探究 b与 c（不妨设 b c）之间的等量关系依据以上内容猜想：如经过n 次折叠 bac是 abc的好角，就 b 与 c（不妨设b c）之间的等量关系为 b = n c应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、 60°、105°，发觉 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角请你完成，假如一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三 个角均是此三角形的好角aaaa 1b b1图1a 2b 2

18、b3bna ncbn+1bd图2bb1c 图3a 1b2c8留意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，懂得三角形中假如有一个角是好角之后，另两个角之间的关系，通过这样的问题培育归纳总结才能27我们知道：任意的三角形纸片可通过如图所示的方法折叠得到一个矩形（1）实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形（在图中画图说明）（2）探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？如能，直接在图中画图说明；如不能，就四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明（要求：画图应表达折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重叠部分）折叠

19、即对称28如图，双曲线y =6x （x 0）经过四边形 oabc的顶点 a、c，yabc=90°， oc平分 oa与 x 轴正半轴的夹角， abx 轴，将 abc沿abac翻折后得到 ab'c，b' 点落在 oa上，就四边形 oabc的面积是多少？b'c明白折叠中的对应边就行xod29已知一个直角三角形纸片oab ，其中 aob=90 °， oa=2 ，ob=4 如图， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片， 折痕与y边 ob 交于点 c，与边 ab 交于点 db（1）如折叠后使点b 与点 a 重合，求点 c 的坐标；（2）如折叠后点b 落在边 oa 上的点为 b，设 o