初中数学九大几何模型

1、中学数学九大几何模型一、手拉手模型-旋转型全等d（1）等边三角形oocedea图 1bca图 2b【条件】： oab和 ocd均为等边三角形；【结论】： oac obd； aeb=60°； oe平分 aed（2）等腰直角三角形ddocoeeca图 1ba图 2b【条件】： oab和 ocd均为等腰直角三角形；【结论】： oac obd； aeb=90°； oe平分 aedd（3）顶角相等的两任意等腰三角形oo【条件】： oab和 ocd均为等腰三角形；ced且 cod=aobe【结论】： oac obd；c aeb=aob；oe平分 aeda 图 1b a图 2b二、模型二

2、：手拉手模型-旋转型相像oo（1）一般情形【条件】： cd ab，将 ocd旋转至右图的位置dc decabab【结论】：右图中 ocd oab oac obd；do延长 ac交 bd于点 e，必有 bec= boaoc（2）特别情形ecd【条件】：cd ab， aob=90°将 ocd旋转至右图的位置abab【结论】：右图中 ocd oab oac obd；延长 ac交 bd于点 e，必有 bec= boa； bdacodobocoatan ocd； bdac；连接 ad、bc，必有ad 2bc 2ab 2cd 2 ；sbcd1 acbd2a三、模型三、对角互补模型cd（1）全等型

3、 -90 °【条件】： aob= dce=90°； oc平分 aoboeb图 1【结论】： cd=ce； od+oe= 2 oc；证明提示：作垂直，如图2，证明 cdm censdcesocda mdsoce1 oc22c过点 c 作 cf oc，如图 3，证明 odc fec当 dce的一边交 ao的延长线于d 时（如图4）：以上三个结论：cd=ce； oe-od= 2 oc；1oneb图 2amc socesocdoc22adocnobeefbd图 4图 3（2）全等型 -120 °【条件】： aob=2 dce=120°； oc平分 aob【结论】

4、： cd=ce； od+oe=o；csdcesocdsoce3 oc 24证明提示：可参考“全等型-90 °”证法一；如右下图：在ob上取一点f，使 of=oc，证明 ocf为等边三角形；acacffoeboefb（3）全等型 - 任意角【条件】： aob=2，dce=180-2；cd=c；e【结论】： oc平分 aob； od+oe=2o·c cos ； sdcesocdsoceoc 2sin cos当 dce的一边交ao的延长线于d 时（如右下图） ：原结论变成：；可参考上述第种方法进行证明；请摸索初始条件的变化对模型的影响；acdaoebcoebd对角互补模型总结：常

5、见初始条件：四边形对角互补，留意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区分；a留意 oc平分 aob时，ccde= ced= coa= cob如何引导？doeb四、模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90° -1【条件】：正方形abcd； eaf=45°；【结论】： ef=df+be； cef的周长为正方形abcd周长的一半；也可以这样：【条件】：正方形abcd； ef=df+be；【结论】： eaf=45°；adadffbecgbec（2）角含半角模型90° -2【条件】：正方形abcd； eaf=4

6、5°；【结论】： ef=df-be；adadadebcebcebcfff（3）角含半角模型90° -3【条件】： rt abc； dae=45°；【结论】： bd 2ce 2de 2 （如图 1）如 dae旋转到 abc外部时，结论abd 2ce 2de 2 仍旧成立（如图2）afbdecbd fecaadbecdbec（4）角含半角模型90°变形ad ad【条件】：正方形abcd； eaf=45°；hhff【结论】： ahe为等腰直角三角形；证明：连接ac（方法不唯独）gg dac=eaf=45°，b dah=cae，又 acb=

7、adb=45°；e cbec dah cae， daacahae ahe adc， ahe为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型adad（1）倍长中线类模型-1f f【条件】：矩形abcd； bd=be； df=ef；【结论】： af cfbceh beh模型提取：有平行线ad be；平行线间线段有中点df=ef； 可以构造“ 8”字全等 adf hef；（2）倍长中线类模型-2【条件】：平行四边形abcd； bc=2ab； am=d；m ce ab；【结论】： emd=3mea帮助线：有平行ab cd，有中点am=d，m 延长 em，构造 ame dmf，连接 cm构造等腰 emc

8、，等腰 mcf；（通过构造8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）famdamdeebcbc模型六：相像三角形360°旋转模型（1）相像三角形（等腰直角）360°旋转模型 -倍长中线法【条件】： ade、 abc均为等腰直角三角形；ef=cf；【结论】： df=bf； df bf帮助线：延长df 到点 g，使 fg=df，连接 cg、bg、bd，证明 bdg为等腰直角三角形；c突破点： abd cbg；c难点：证明bao= bcgfgfddababe（2）相像三角形（等腰直角）360°旋转模型 -补全法c【条件】： ade、 abc均为等腰直角三角形；ef=c

9、f； cg【结论】： df=bf； df bf帮助线：构造等腰直角aeg、 ahc；fd帮助线思路：将df与 bf 转化到 cg与 ef；fdababeeh（3）任意相像直角三角形360°旋转模型 -补全法【条件】： oab odc； oab= odc=90°； be=ce；【结论】： ae=de； aed=2 abo帮助线：延长ba 到 g，使 ag=ab，延长 cd到点 h 使 dh=cd，补全 ogb、 och构造旋转模h型；转化ae与 de到 cg与 bh，难点在转化aed；ogodaadbebcec（4）任意相像直角三角形360°旋转模型 -倍长法【条件

10、】： oab odc； oab= odc=90°； be=ce；【结论】： ae=de； aed=2 abo帮助线：延长de至 m，使 me=d，e 将结论的两个条件转化为证明amd abo，此犯难点，将 amd abc 连续转化为证明abm aod，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在o证明 abm= aododadabebcec模型七：最短路程模型m（1）最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最终都转化到： “两点之间，线段最短：解决；特点：动点在直线上；起点，终点固定abpa+pblpb'a'l 1pabql 2pa+pq+bq

11、b'aa'blpqpa+pq+bqb'ala'p1l 2pa+pq+bqb（2）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】： oc平分 aob； m为 ob上肯定点；p 为 oc上一动点；q为 ob上一动点；【问题】：求 mp+pq最小时， p、q的位置？帮助线：将作q关于 oc对称点 q，转化pq=pq，过点 m作 mhoa，a就 mp+pq=mp+pqmh垂线段最短）ahq'p（3）最短路程模型二（点到直线类2）【条件】： a0,4,b-2,0,p0,n）poqmb【问题】：n 为何值时，pb5 pa 最小？ 55求解方法： x 轴上取 c2,0,使 s

12、in oac=5；过 b 作 bd ac，交 y 轴于点 e，即为所求； tan ebo=tan1 ，即 e（0， 1）oac=yyaapp edoxbocx2b（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：线段oa=4， ob=2； ob绕点 o在平面内360°旋转；【问题】： ab的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点 o为圆心， ob为半径作圆，如下列图，将问题转化为b“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”；最大值： oa+o；b 最小值： oa-oba最小值位置o最大值位置【条件】：线段oa=4， ob=2；以点o为圆心， ob， oc为半径作圆；点 p 是两

13、圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：如 pa的最大值为10，就 oc= 6 ；如 pa的最小值为1，就 oc= 3；b如 pa的最小值为2，就 pc的取值范畴是0<pc<2caop【条件】： rt obc， obc=30°；oc=2； oa=1；点 p 为 bc上动点（可与端点重合）； obc绕点 o旋转【结论】： pa最大值为oa+ob1=23 ； pa的最小值为1 oboa312如下图，圆的最小半径为o到 bc垂线段长；ccppbaoaob模型八：二倍角模型【条件】：在 abc中， b=2 c；帮助线：以bc的垂直平分线为对称轴，作点a 的对称点a，连接aa、

14、ba、 ca、就 ba=aa =ca 留意这个结论）此种帮助线作法是二倍角三角形常见的帮助线作法之一，不是唯独作法；aaa'bcbc模型九：相像三角形模型（1）相像三角形模型- 基本型平行类： de bc；aedaadedebcbcbca字型8字型a字型结论： adabaedeacbc 留意对应边要对应）aa（2）相像三角形模型-斜交型【条件】：如右图， aed=acb=90°；【结论】： ae× ab=ac× ad【条件】：如右图， ace=abc；ecb斜交型dedb斜交型caaee2【结论】： ac =ae× abb 斜交型c b双垂型c22第四个图仍存在射影定理：ae×ec=bc× ac； bc=be×ba； ce =ae× be；（3）相像三角形模型-一线三等角型e【条件】：（1）图： abc=ace= cde=90°；（2）图： abc=ace= cde=60°；a（3）图： abc=ace= cde=45°；【结论】： abc cde； ab× de=