初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答

1、学习必备欢迎下载专题三：二次函数存在性问题1（ 10 广东深圳） 如图，抛物线y ax2 c（ a 0）经过梯形abcd 的四个顶点，梯形的底ad 在 x 轴上，其中a（ 2,0）， b（ 1, 3） 1）求抛物线的解析式；2）点 m 为 y 轴上任意一点，当点m 到 a、b 两点的距离之和为最小时，求此时点m 的坐标；3）在第（ 2）问的结论下，抛物线上的点p 使 s pad 4sabm 成立，求点p 的坐标yya_dadoxoxmbcbc图 2答案：（ 1）、由于点a、b 均在抛物线上，故点a、b 的坐标适合抛物线方程4ac0ac3解之得：a12；故 yxc44 为所求2）如图 2， 连接

2、 bd ，交 y 轴于点 m ，就点 m 就是所求作的点设 bd 的解析式为ykxb ，就有2kbkb0k1，3b2故 bd 的解析式为yx2 ；令 x0, 就 y2 ，故m 0,23 、如图 3，连接 am ， bc 交 y 轴于点 n ，由（ 2）知， om=oa=od= 2，amy b90易知 bn=mn= 1， 易求 am22, bm2p2p1s abm12222 ；设2p x, x24 ，依题意有：1 adx22442 ，即：14 x22442ad ox解之得： x22 ， x0 ，故符合条件的p 点有三个：mbncp122,4,p2 22,4,p3 0,4p3图 3210 北京）在

3、平面直角坐标系xoy 中，抛物线y =m12x45m x m243m 2学习必备欢迎下载与 x 轴的交点分别为原点o 和点 a，点 b2， n在这条抛物线上；(1) 求点 b 的坐标；y(2) 点 p 在线段 oa 上，从 o 点动身向点运动，过p 点作 x 轴的垂线，与直线ob 交于点 e；延长 pe 到点 d；使得 ed=pe；以 pd 为斜边在pd 右侧作等腰直角三角形pcd 当 p 点运动时， c 点、 d 点也随之运动 当等腰直角三角形pcd 的顶点 c 落在此抛物线上时，求op 的长；1xo1如 p 点从 o 点动身向a 点作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段oa 上另一点

4、q 从 a 点动身向 o 点作匀速运动， 速度为每秒 2 个单位 当 q 点到达 o 点时停止运动， p 点也同时停止运动 ；过 q 点作 x 轴的垂线，与直线 ab 交于点 f；延长 qf 到点 m，使得 fm =qf ，以 qm 为斜边，在 qm 的左侧作等腰直角三角形 qmn 当 q 点运动时， m 点，n 点也随之运动；如 p 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值；答案： 解：1 拋物线 y= m2=2 ，m1 x245m x m2 3m 2 经过原点， m2 3m 2=0 ，解得 m1=1，4由题意知m 1， m=2， 拋物线的解析

5、式为y=物线1 x245 x， 点 b2，n在拋21y=x245x 上， n=4， b 点的坐标为 2， 4；22设直线 ob 的解析式为y=k1x，求得直线ob 的解析式为ydy=2x， a 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得a 点的c坐标为 10，0，设 p 点的坐标为 a， 0，就 e 点的坐标为ea，2a，依据题意作等腰直角三角形pcd ，如图 1；可求b195得点 c 的坐标为 3a， 2a，由 c 点在拋物线上，得ax2a=3a243a，即a22411a=0，解得 a1=222 ，a2=0op9图 1舍去 ， op=22 ；9依题意作等腰直角三角形qmn ，设直线 ab 的解析式

6、为y=k2x b，由点 a10，0，1点 b2，4，求得直线ab 的解析式为y=x 5，当 p 点运动到t 秒时，两个等2腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情形：第一种情形： cd 与 nq 在同一条直线上；如图2 所示；可证 dpq 为等腰直角三角形；此时op、dp 、aq 的长可依次表示为t、 4t、 2t 个单位； pq=dp =4t ， t 4t 2t=10， t= 10 ；7其次种情形：pc 与 mn 在同一条直线上；如图3 所示；可证 pqm 为等腰直角三角形；此时op、aq 的长可依次表示为t、2t 个单位； oq=102t， f 点在直线 ab 上， fq

7、 =t， mq =2 t， pq=mq =cq=2 t，t 2t 2t =10， t=2；第三种情形：点p、q 重合时， pd 、qm 在同一条直线上，如图4 所示；此时 op、aq 的长可依次表示为t、2t 个单位； t 2t=10， t= 10 ；综上，符合3题意的 t 值分别为10 ， 2，7学习必备欢迎下载10 ；yd3ydydm ece bcmfnaxb em cfnbfopq图 2nopqaxxoq p图 3图 43（ 10 贵州遵义）如图，已知抛物线yax 2bxca0 的顶点坐标为 q 2,1 ，且与 y 轴交于点c0,3，与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b 的右侧

8、），点 p 是该抛物线上一动点，从点c沿抛物线向点a 运动（点 p 与 a 不重合），过点 p 作 pd y 轴，学习必备欢迎下载交 ac于点 d(1) 求该抛物线的函数关系式；(2) 当 adp是直角三角形时，求点p 的坐标；(3) 在问题 2 的结论下，如点e 在 x 轴上，点f 在抛物线上，问是否存在以a、p、e、f 为顶点的平行四边形？如存在，求点 f 的坐标；如不存在，请说明理由答案：解：（ 1）抛物线的顶点为q（ 2，-1 ）设 ya x2 21将 c（0， 3）代入上式，得3a 02 21a1 yx2 21， 即 yx 24 x32 ）分两种情形：当点 p1 为直角顶点时 , 点

9、 p1 与点 b 重合 如图 令 y =0,得 x 24x30解之得 x11,x23点 a 在点 b 的右边 , b1,0, a3,0 p11,0解 : 当点 a 为 apd2 的直角顶点是 如图 oa=oc, aoc=90 , oad2= 45当 d2ap2 =90时, oap2=45 , ao平分 d2ap2又 p2d2 y 轴 , p2d2ao,p2、d2 关于 x 轴对称 .设直线 ac的函数关系式为y将 a3,0, c0,3代入上式得kxb03kbk1,3bb3 yx3 d2 在 yx3 上, p 2 在 yx 24x3 上,设 d2 x ,x3 , p2 x , x24 x3 x3

10、 +x24 x3 =0x25x60 , x12 ,x23 舍当 x=2 时,yx2= 2 24 x3423 =-1 p2 的坐标为p22,-1即为抛物线顶点 p 点坐标为p11,0, p22,-13解:由题 2 知, 当点 p 的坐标为p11,0时, 不能构成平行四边形当点 p的坐标为p22,-1即顶点 q时,平移直线ap如图 交 x 轴于点 e, 交抛物线于点f.当 ap=fe时, 四边形 pafe是平行四边形 p2,-1,可令 f x ,1 x 24 x31解之得 :x122 ,x222学习必备欢迎下载 f 点有两点 , 即 f1 22 ,1, f2 22 ,14（ 10 湖北黄冈）已知抛

11、物线yax2bxca0 顶点为 c（ 1，1）且过原点o.过抛物线上一点 p（ x ， y）向直线y1）求字母a，b， c 的值；35作垂线，垂足为m ，连 fm （如图） .42）在直线x 1 上有一点f 1, ，求以 pm 为底边的等腰三角形pfm 的 p 点的坐标，并4证明此时 pfm 为正三角形；3）对抛物线上任意一点p，是否总存在一点n （ 1， t），使 pm pn 恒成立，如存在恳求出 t 值，如不存在请说明理由.答案：（ 1）a 1， b 2， c 012）过 p 作直线x=1 的垂线，可求p 的纵坐标为4，横坐标为 1123 .此时， mp mf pf 1，故 mpf 为正三

12、角形 .53）不存在 .由于当 t4，x 1 时， pm 与 pn 不行能相等，同理，当t 54，x 1 时，pm 与 pn 不行能相等 .5（ 10 辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有始终角梯形omn，h点 h的坐标为（8， 0），点 n的坐标为（6， 4）1 ）画出直角梯形omnh绕点 o旋转 180°的图形oab，c 并写出顶点a，b，c 的坐标（点 m的对应点为a， 点 n 的对应点为b， 点 h的对应点为c）；2 ）求出过a，b， c 三点的抛物线的表达式；3 ）截取 ce=of=ag=m，且 e，f，g分别在线段co，oa，ab上，求四边形 befg的面积 s学习必备欢迎

13、下载与 m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范畴； 面积 s 是否存在最小值.如存在，恳求出这个最小值；如不存在，请说明理由；4）在（ 3）的情形下，四边形befg是否存在邻边相等的情形，如存在，请直接 写出此时 m的值，并指出相等的邻边；如不存在，说明理由答案：（ 1） 利用中心对称性质，画出梯形oabc a， b， c 三点与 m， n，h 分别关于点o中心对称， a（ 0， 4）， b（ 6， 4），c（ 8， 0） 写错一个点的坐标扣1 分）yadbfh 8oecxmn 6， 42 ）设过 a， b， c 三点的抛物线关系式为2yaxbxc ，抛物线过点a（ 0， 4）， c4 就

14、抛物线关系式为yax 2bx4 将 b（ 6， 4）， c（ 8， 0）两点坐标代入关系式，得36a 64a解得6b44，8b40a 1 ， 4b 3 2所求抛物线关系式为：y1 x23 x4 423 ） oa=4， oc=8， af=4 m，oe=8 m s四边形 efgbs梯形abco1s agfs eof1s bec11oa（ ab+oc）2af· ag2oe· of2ce· oa214 （628） 1 m 42m1 m8m214m2m28m28 0 m 4）学习必备欢迎下载 s m4 212 当 m4 时， s 的取最小值又 0 m 4，不存在m值，使 s

15、 的取得最小值4 ）当 m226 时， gb=gf，当 m2 时， be=bg6已知：函数y=ax2+x+1 的图象与x 轴只有一个公共点1）求这个函数关系式；22）如下列图，设二次函数 y=ax +x+1图象的顶点为b，与 y 轴的交点为a，p 为图象上的一点，如以线段pb 为直径的圆与直线ab 相切于点 b，求 p 点的坐标；3）在 2 中，如圆与x 轴另一交点关于直线pb 的对称点为m ，摸索究点m 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上，如在抛物线上，求出m 点的坐标；如不在，请说明理由yabox4答案：解 ：（1）当 a= 0时，y= x+1，图象与x 轴只有一个公共点当a0 时，=1

16、- 4a=0，a = 1 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点函数的解析式为：y=x+1 或y=14x2+x+12）设 p 为二次函数图象上的一点，过点 p 作 pcx轴于点 c y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：12y=4 x+x+1，就顶点为b（ -2，0），图象与y 轴的交点坐标为 a（ 0，1）以 pb 为直径的圆与直线ab 相切于点b pb ab就 pbc= bao rtpcb rt boa pcobbc ，故 pc=2 bc，设 p 点的坐标为 x，y， abo 是锐角， pba 是直角，ao pbo 是钝角， x<-2 bc=-2- x， pc=-4-

17、2 x，即 y=-4-2 x， p 点的坐标为 x， -4-2x点 p 在二次函数y=14x2+x+1 的图象上，-4-2x=14x2 +x+1 解之得： x1=-2， x2=-10+上由（ 2） x<-2 x=-10， p 点的坐标为： -10，163 ）点 m 不在抛物线 y=ax2 x+1知： c 为圆与 x 轴的另一交点，连接cm ，cm 与直线 pb 的交点为q，过点 m 作 x 轴的垂线，垂足为d ，取 cd 的中点 e，连接 qe，就 cm pb，且 cq=mq qemd ，qe=12md ，qe ce cm pb，qe cepc x 轴 qce = eqb = cpb学习

18、必备欢迎下载 tanqce = tan eqb= tancpb =12ce=2qe =2× 2be=4be，又 cb=8，故 be=85， qe 16=5 q 点的坐标为 -185，16 5可求得 m 点的坐标为 14532， 5 1 14 214144324 5 + 5 +1 = 25 5 c 点关于直线pb 的对称点m 不在抛物线 y=ax2+x+1 上7（ 10 重庆潼南）如图,已知抛物线y1 x22bxc 与 y 轴相交于c，与 x 轴相交于a 、b，点 a 的坐标为（ 2， 0），点 c 的坐标为（ 0， -1 ） . 1 ）求抛物线的解析式；2 ）点 e 是线段 ac 上

19、一动点， 过点 e 作 de x 轴于点 d ，连结 dc ，当 dce 的面积最大时，求点d 的坐标；3）在直线bc 上是否存在一点p，使 acp 为等腰三角形，如存在，求点p 的坐标，如不存在，说明理由.答案：解：（ 1）二次函数y1 x2bx2c 的图像经过点a（ 2， 0） c0, 122bc0c 1解得：b=1c= 12121二次函数的解析式为yxx1222 ）设点 d 的坐标为（ m，0） 0 m 2） od =m ad =2- m由 ad e aoc 得， addeaooc 2mde21de = 2m2学习必备欢迎下载 cde 的面积 =1 × 2m × m2

20、2m2m121=m14244当 m=1 时， cde 的面积最大点 d 的坐标为（ 1， 0）3）存在由1 知：二次函数的解析式为y1 x221 x12设 y=0 就 01 x 221 x12解得： x1=2x2= 1点 b 的坐标为（ 1， 0）c（ 0， 1）设直线 bc的解析式为： y=kx bkb0b1解得： k=-1b=-1直线 bc的解析式为 :y= x 10在 rt aoc 中， aoc=90 oa=2 oc=1由勾股定理得：ac=5点 b 1,0点 c（ 0， 1） ob=oc bco=450当以点c 为顶点且pc=ac= 5 时，设 pk, k 1过点 p 作 ph y 轴于

21、 h hcp= bco=450ch=ph= k在 rt pch中2k2+k2=5k =10 ， k =10 p1（解得10 ，10221221 ） p2（ 210 ，101 ）22以 a 为顶点，即ac=ap= 5设 pk, k 1过点 p 作 pg x 轴于 g ag= 2 k gp= k 1在 rt apg 中ag 2 pg2=ap22 k 2+ k1 2=5解得： k1=1, k2=0 舍 p31,2以 p 为顶点， pc=ap设 p k,k 1过点 p 作 pq y 轴于点 qpl x 轴于点 l学习必备欢迎下载 l k,0 qpc 为等腰直角三角形pq=cq=k由勾股定理知cp=pa

22、=2 k al= k-2 , pl= k 1 在 rt pla 中2 k 2=k 2 2 k 1 24解得： k= 5 p 257,22综上所述：存在四个点： p1（10 ，101 ）22p2（ -10 ，101 ）p31, 2p42257,228 10 山东临沂）如图，二次函数y=x2ax b 的图像与 x 轴交于 a1 ，y0、b2， 0两点，且与 y 轴交于点 c；(1) 求该拋物线的解析式，并判定abc 的外形；(2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点d，且以 a、c、d、b 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出d 点的坐标；(3) 在此拋物线上是否存在点p，使得以 a、c、b、p

23、四点2cxaob为顶点的四边形是直角梯形？如存在，求出p 点的坐标；如不存在，说明理由；答案： 解 1依据题意，将a1 ， 0， b2， 0代入y=x2ax b中，得211 ab420，解这个42ab0方程，得 a= 3 ，b=1，该拋物线的解析式为y=x223 x1， 当 x=02时， y=1，学习必备欢迎下载点c的坐标为0，1；在aoc中，ac=oa2oc 2 = 1 212 =5 ；22在 boc 中， bc=ob 2oc 2 =2212=5 ；ab=oa ob= 12= 5 ， ac 2bc 2= 55= 25 =ab 2， abc2244是直角三角形；(2) 点 d 的坐标为 3 ，

24、1；2(3) 存在；由 1 知， acbc；如以 bc 为底边，就 bc/ap，如图 1 所示，可求得直线ybc 的解析式为 y=1 x 1，直线 ap 可以看作是由直线2cabxbc 平移得到的，所以设直线ap 的解析式为 y=1 xb，o2把点 a1 ，0代入直线 ap 的解析式，求得b=1 ，p24直线 ap 上，直线 ap 的解析式为 y=1 x1 ；点 p 既在拋物线上，又在24点 p 的纵坐标相等，即x23 x 1=1 x1 ，解得 x1= 5 ，x2 =2242y1 舍去；当 x= 5 时，y=3 ，点 p 5 ，322222c；ab xo如以 ac 为底边，就 bp/ac，如图

25、 2 所示；可求得直线 ac 的解析式为 y=2x 1；直线 bp 可以看作是由直线ac 平移得到的，所以设直线 bp 的解析式为 y=2xb，把点 b2，0代入直线 bp 的解析式，求得 b=4，直线 bp 的解析式为 y=2x 4；点 p 既在拋物线上，又在直线 bp 上，点 p 的纵坐标相等，即23xx 1=2x 4，解得 x1=25 ， x2 =2舍去；2当 x=5 时， y=9，点 p 的坐标为 25 ， 9；p25综上所述，满意题目条件的点p 为，23或25 ， 9 ；29（ 10 山东潍坊）如下列图，抛物线与x 轴交于点a1，0 、b3，0两点，与y 轴交于点c0， 3 . 以

26、ab 为直径作m ，过抛物线上一点p 作 m的切线 pd，切点为 d，并与m 的切线 ae 相交于点e，连结 dm 并延长交 m于点 n，连结an、ad.1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；2 ）如四边形eamd 的面积为 43，求直线 pd 的函数关系式；学习必备欢迎下载3）抛物线上是否存在点p ，使得四边形eamd 的面积等于求出点 p 的坐标；如不存在，说明理由.dan的面积？如存在，答案：解：（ 1）由于抛物线与x 轴交于点a1，0、b 3，0两点，设抛物线的函数关系式为： ya x1x3 ，抛物线与y 轴交于点 c0， 3 ，3a0103 ， a1.所以，抛物线的函数关

27、系式为：yx22 x3，2又 yx14，因此，抛物线的顶点坐标为1， 4 2）连结 em ， ea、ed 是m ，的两条切线， eaed， eaam ，edmn， eam edm又四边形 eamd 的面积为 43，s eam23， 1 am·ae223，又 am2， ae23.因此，点 e 的坐标为e11，23或 e21，23 .当 e 点在其次象限时，切点d 在第一象限 .在直角三角形eam 中，tanea23ema3，am2ema60°，dmb60°过切点 d 作 dfab，垂足为点 f， mf1， df3因此，切点d 的坐标为2， 3 学习必备欢迎下载设直线

28、 pd 的函数关系式为ykxb， 将 e1，23 、d2， 3的坐标代入得32kb23kbk3解之，得3b533所以，直线pd 的函数关系式为y3 x53 .33当 e 点在第三象限时，切点d 在第四象限 .同理可求：切点d 的坐标为2， -3 ，直线 pd 的函数关系式为y3 x53 .33因此，直线pd 的函数关系式为y3 x53 或 y3 x53 .33333）如四边形eamd 的面积等于dan的面积又 s四边形 eamd2 s eam ， s dan2s amd s amds eam e、d 两点到 x 轴的距离相等， pd 与 m 相切，点d 与点 e 在 x 轴同侧，切线 pd 与

29、 x 轴平行，此时切线 pd 的函数关系式为y2 或 y2.当 y2 时，由yx22x3 得， x16；当 y2 时，由yx22 x3 得， x12.故满意条件的点p 的位置有4 个，分别是p1 16，2、p216，2、 p312， 2 、p4 12， 2 .说明 ： 本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.10 10 山东省淄博 已知直角坐标系中有一点a（ 4， 3），点 b 在 x 轴上， aob 是等腰三角形1）求满意条件的全部点b 的坐标；2）求过 o、a、b 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满意条件的一条即可）；3）在（ 2）中求出的抛物线上存在

30、点p，使得以o， a， b， p 四点为顶点的四边形是梯形，求满意条件的全部点p 的坐标及相应梯形的面积【答案】解：作ac x 轴，由已知得oc 4，ac3， oaoc 2ac2 5学习必备欢迎下载1）当 oa ob 5 时，假如点 b 在 x 轴的负半轴上，如图（1），点 b 的坐标为（5，0）假如点 b 在 x 轴的正半轴上，如图（2），点 b 的坐标为（ 5， 0）yyaab cox 1c obx 2当 oa ab 时，点 b 在 x 轴的负半轴上， 如图（3），bc oc，就 ob 8，点 b 的坐标为 （8， 0）当 abob 时，点 b 在 x 轴的负半轴上，如图（4），在 x 轴

31、上取点d ，使 ad oa，可知obod 8由 aob oab oda ，可知 aob oda ，就oaoa，解得 obod25 ，8点 b 的坐标为（25 ，8yyaa0）bcoxd34box2）当 ab oa 时，抛物线过o（ 0， 0）， a（ 4， 3），b（ 8， 0）三点，设抛物线的函数表达式为yax 2bx ，可得方程组64a8b16a4b0，解得 a333， b，1622y3 x163 x 23215当 oaob 时，同理得yxx 443）当 oa ab 时，如 bp oa，如图（ 5），作 pe x 轴，就 aoc pbe， aco peb90°， aoc pbe，

32、 peacbeoc3 设 be 4m，pe 3m，就点 p 的坐标为（ 4m48， 3m），代入 y3 x 2163 x ，解得 m 32就点 p 的坐标为（ 4， 9），s 梯形 abpo s abo s bpo 48如 op ab（图略），依据抛物线的对称性可得点p 的坐标为（ 12， 9），s 梯形 aopb s abo s bpo 48学习必备欢迎下载yabecox5pyafbcoxp6当 oaob 时，如 bp oa，如图（ 6），作 pf x 轴，就 aoc pbf ， aco pfbpf90°， aoc pbf ，bfac3oc4设 bf 4m，pf 3m，就点 p 的

33、坐标为（ 4m5， 3m），代入 y3 x 2415 x ，解得 m 3 42就点 p 的坐标为（ 1，9 ），2s 梯形 abpo s abo s bpo75 4如 op ab（图略），作 pf x 轴，就 abc pof ， acb pfo 90°， abc pof ，pfacofbc3 设点 p 的坐标为（n， 3n），代入 y3 x2415 x ，解得 n 9就4点 p 的坐标为（9， 27）， s 梯形 aopb s abo s bpo 751110 广西河池）如图， 在直角梯形oabc 中， cb oa ，oab90 ，点 o 为坐标原点， 点 a 在 x轴的正半轴上，对

34、角线ob ， ac 相交于点 m ， oaab4 ， oa2cb 学习必备欢迎下载1 ）线段 ob 的长为，点 c 的坐标为；2 ）求 ocm 的面积；y3 ）求过 o ， a ， c 三点的抛物线的解析式；4 ）如点 e 在（ 3）的抛物线的对称轴上，点f 为该cb抛物线上的点，且以a ， o ， f ， e 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点f 的坐标moax答案：解：（ 1） 42；2,4.2）在直角梯形oabc 中， oa=ab=4，cb oa oam bcm又 oa=2bcoab901 am 2cm ， cm ac31118所以 socms oac443323 注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分. ）3 ）设抛物线的解析式为yax2bxc a0由抛物线的图象经过点o0,0, a 4,0, c2,4.