初中数学几何模型大全+经典题型

1、中学数学几何模型大全+ 经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等；两边进行边或者角的等量代换，产生联系；垂直也可以做为轴进行对称全等；第页 共页对称半角模型说明：上图依次是45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等；旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋

2、转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接查找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题第 2页 共 44页旋转半角模型说明：旋转半角的特点是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等；自旋转模型构造方法：遇 60度旋 60度，造等边三角形遇 90度旋 90度，造等腰直角第页 共页遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180度，造中心对称第页 共页共旋转模型说明： 旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个常常考察的内容；通过“8”字模型可以证明；模型变形第 5页 共 44页说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是

3、等腰直角三角形与正方形的混用；第页 共页当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点， 环绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等；中点旋转：说明： 两个正方形、 两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形；证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的始终角边， 转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等 三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证；第页 共页几何最值模型对称最值 两点间线段最短 对称最值 点到直线垂线段最短第

4、8页 共 44页说明： 通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离；旋转最值 共线有最值 说明： 找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值；剪拼模型第页 共页三角形四边形四边形四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移转变图形的外形；第页 共 44 页矩形正方形说明： 通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成外形转变第页 共 44 页正方形 + 等腰直角三角形正方形面积等分旋转相像模型第页 共 44 页说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相像；推广：两个任意相像三角形旋转成肯定角度，

5、成旋转相像；第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律；相像模型第页 共 44 页说明： 留意边和角的对应， 相等线段或者相等比值在证明相像中起到通过等量代换来构造相像三角形的作用；说明：（ 1）三垂直到一线三等角的演化，三等角以30度、 45度、 60度形式显现的居多；（ 2 ）内外角平分线定理到射影定理的演化，留意之间的相同与不同之处；另外，相像、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆第 14 页 共 44 页幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论；说明： 相像证明中最常用的帮助线是做平行，依据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线；第页 共

6、44 页-$ht-'0*syh£hé-> p ¡¡¡¡§.ó,-£“ zfjifl , g a 4r.£ a -ffjíl ,.z/l+¿ yç 1gp 7:g, ,ü,b a'*f-fri.'.¿ ”/j. .jh .a.1fj6 - if°, .1f7f /7 § yÇ$,pl.ddb - loce - 90º , $zz; fi fi l.«dbjgj¿

7、;a, j;jgc.= z Æ,jgg;p pj,y§$ aofx: Æec ,s'=<o:»«oaai«madn.2goe oo - ÎÎ. ; ç s s "'"°' - e'£yq. gzxob - zo ne - izs ,fa.z>i6bo& &i: & oa 3i&&Ñ r.op=, 'ñ&gô.t"fp. gg2.

8、4Ùb - & , 44 h.e - 1 &- &$jgj çf- yf; $z>t säodo£2z274.f.q5;q £x. $j «:2ob$;j , £pdj - <£.£d - ££”gn - x co $fq$j¡¿j$,.Ç »mé: io e+ - o.° + + i idb£f &,i8fft.e/if. x&di8.&yfl:.>

9、-; ¡,=j, abÜd ; aexi6 -45 pp zj4z e q fq$j y4bc g$¿ , g ; $d" +te“ - de-' ¡¡%;,$,¿-,¿ ea«ra*= oæwcææaen d* -*>&t: o <+' zz"b o > is<2-z,.e*ls<2-«fi,.» f* 2-i.gygg,ai0at.b-7 0.f'10.an kf.b - wn a

10、6f¢. - g r aa r s >a« .w a«e r:i n a l is n m , »t rx -°中学数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图， o 是半圆的圆心， c、e 是圆上的两点， cd ab ，ef ab ， eg co 第 22 页 共 44 页求证： cd gf（初二）cegabdof2、已知：如图，p 是正方形 abcd内点，pad pda 15 0 求证：pbc 是正三角形（初二）a dpb c3、如图，已知四边形abcd 、a 1b 1 c1d 1 都是正方形， a 2 、b2 、c2、d 2

11、 分别是 aa 1 、bb 1、cc1 、dd 1 的中点 求证：四边形a 2 b2 c2d 2 是正方形（初二）第页 共页a da2d2a1d1b1c1b2c2b c4、已知：如图，在四边形abcd中， ad bc ，m 、n分别是ab 、cd 的中点， ad 、bc 的延长线交 mn于 e、ff求证：den fencdabm经典难题（二）1、已知：abc中， h为垂心（各边高线的交点），o 为外心，且 om bc 于 m （ 1）求证： ah 2om；（ 2）如bac 60 0，求证： ah ao （初二）ao· hebmdc第页 共页2、设 mn是圆o 外始终线，过o 作 oa

12、 mn于 a ，自 a 引圆的两条直线， 交圆于 b 、c 及 d 、e，直线 eb 及 cd分别交mn于 p、q求证： ap aq （初二）gec o·bdmnpaq3、假如上题把直线mn由圆外平移至圆内，就由此可得以下命题：设 mn是圆 o的弦，过 mn的中点 a任作两弦bc、de ，设 cd 、eb 分别交 mn于 p、q 求证： ap aq （初二）e cqanm·p·obd第页 共页4、如图，分别以 abc的 ac和 bc 为一边，在 abc的外侧作正方形 acde和正方形 cbfg ，点 p 是 ef 的中点求证：点 p 到边ab的距离等于 ab的一半

13、（初二）dgcepfa qb经典难题（三）1、如图，四边形abcd为正方形， de ac ， ae ac ，ae 与cd 相交于 f求证： cecf（初二）adfeb c第页 共页2、如图，四边形abcd为正方形，de ac ，且ce ca ，直线 ec 交 da延长线于 f求证： ae af （初二）fadbce3、设 p是正方形abcd一边 bc上的任一点， pf ap ， cf平分dce 求证： pa pf（初二）adfbpce4、如图， pc 切圆o 于 c， ac 为圆的直径， pef 为圆的割线，ae 、af 与直线 po 相交于 b、d 求证：ab dc ，bc ad（ 初a第页

14、 共页bodp三）经典难题（四）1、已知：abc是正三角形， p 是三角形内一点，pa 3， pb 4 ， pc 5 求：apb的度数（初二）ap2 、设p 是平行四边形abcd内部的一点，且 pba pda 求证：pab pcb （初二）bcadpbc3 、设abcd为圆内接凸四边形，求证：ab ·cd ad ·bc ac ·bd （初三）ad第页 共页bc4、平行四边形abcd中，设 e、f 分别是 bc 、ab上的一点，ae 与 cf 相交于 p，且ae cf求证： dpa dpc （初二）adfpbec经典难题（五）1、设 p 是边长为 1 的正abc内任

15、一点， l pa pb pc，求证：l2 2、已知： p 是边长为 1 的正方形 abcd内的一点，求pa pb pc 的最小值aadppbcbc第页 共页3、p 为正方形 abcd内的一点，并且pa a，pb 2a ，pca d3a ，求正方形的边长pb c4、如图， abc中，abc acb 80 0 ， d 、e 分别是 ab 、ac 上的点， dca 30 0 ，eba 20 0 ，求bed 的度数aedbc经典难题（一）第页 共页1. 如下图做gh ab, 连接 eo ；由于gofe四点共圆，所以gfh oeg,即 ghf oge, 可 得 eogf=go gh=co cd, 又co

16、=eo， 所 以cd=gf得证；2. 如下图做dgc使与adp全等，可得 pdg为等边，从而可得dgc apd cgp, 得出pc=ad=dc,和dcg=pcg 15 0所以dcp=300 ，从而得出 pbc 是正三角形第页 共 44 页3. 如下图连接bc 1 和 ab 1 分别找其中点f,e.连接c2f 与 a 2e 并延长相交于q 点，连接 eb2 并延长交 c2q 于 h点，连接 fb2 并延长交 a 2 q 于 g111点，1由 a 2 e=2 a 1b 1 =2 b1 c1 = fb 2，eb2 =2 ab=2 bc=fc 1 ，又gfq+ q=900 和geb2 + q=900

17、,所以geb 2 = gfq 又b2fc2= a 2eb2，可得b2 fc2 a 2eb2，所以 a 2 b2 =b 2c2，又gfq+hb 2 f=900 和gfq= eb2a 2 ,从而可得 a 2 b2 c 2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形a 2 b2c2d 2 是正方形；第页 共 44 页4. 如下图连接 ac并取其中点q，连接qn和 qm ，所以可得qmf=f，qnm=den和qmn=qnm，从而得出den f ；经典难题（二）1.1 延长ad到 f 连 bf，做 og af,又f= acb=bhd ，可得bh=bf,从而可得 hd=df，又ah=gf+hg=g

18、h+hd+df+hg=2gh+hd=2om2 连接 ob ， oc, 既得boc=1200 ，从而可得 bom=600,所以可得 ob=2om=ah=ao,得证；第页 共 44 页3. 作 of cd ，og be，连接op ，oa ，of ，af ，og ，ag ，oq ；由于ad =ac =cd = 2fd =fd ，abaebe2bgbg由此可得adf abg ，从而可得 afc= age ；又由于 pfoa与 qgoa四点共圆，可得 afc=aop和age= aoq ，aop=aoq ，从而可得ap=aq；第页 共 44 页4. 过 e,c,f 点分别作 ab所在直线的高eg，ci ，

19、fh ；可得 pq=eg + fh ；2由ega aic ，可得 eg=ai，由bfh cbi ，可得fh=bi；从而可得 pq=ai + bi =2ab ，从而得证；2经典难题（三）1. 顺时针旋转 ade ，到abg ，连接 cg.第页 共 44 页由于abg=ade=900 +45 0 =1350从而可得 b， g， d 在一条直线上，可得 agb cgb ；推出 ae=ag=ac=gc，可得agc为等边三角形；agb=300 ，既得eac=300 ，从而可得 a ec=750；又efc= dfa=450+300=750 .可证： ce=cf ；2. 连接 bd作 ch de ，可得四边

20、形cgdh是正方形；由 ac=ce=2gc=2ch，可得ceh=300 ，所以cae= cea= aed=150，又fae=900 +450 +150=1500，从而可知道 f=150 ，从而得出ae=af；第页 共 44 页3. 作 fg cd ， fe be，可以得出gfec 为正方形；令 ab=y， bp=x ,ce=z ,可得pc=y-x；tan bap=tanepf=x =z，可得 yz=xy-x2+xz，yy -x + z即 zy-x=xy-x，既得 x=z，得出abp pef，得到 pa pf，得证；第 37 页 共 44 页经典难题（四）1. 顺时针旋转 abp60 0，连接p

21、q，就pbq是正三角形；可得pqc 是直角三角形；所以apb=1500；2. 作过 p 点平行于 ad的直线，并选一点e，使 ae dc ，be pc.可以得出 abp=adp=aep ，可得：aebp共圆（一边所对两角相等） ；可得bap=bep= bcp ，得证；第 38 页 共 44 页3. 在 bd取一点 e，使bce= acd ，既得becadc ，可得：be =ad bcac，即ad ·bc=be ·ac ，又acb= dce ，可得abc dec ，既得ab =de acdc，即ab ·cd=de·ac ，由 + 可得 : ab ·cd+ad·bc=acbe+de= ac·bd，得证；4. 过 d作 aq ae， ag cf，由sv ade =sy abcd =2svdfc，可得：aegpq =2aegpq 2，由 ae=fc ；可得 dq=dg，可得dpa dpc （角平分线逆定理） ；第页 共