初中数学函数知识点整理

1、学习必备欢迎下载中学数学函数学问点整理1. 定义：一般地， 假如 yax 2bxca ,b,c 是常数， a0 ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 yax 2 的性质（1）抛物线y2ax的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数 yax2的图像与 a 的符号关系 .当 a当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；20时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax （ a0）.3. 二次函数yax 2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .4. 二 次 函 数yax 2bxc用 配 方 法 可 化 成 ：ya

2、xh 2k 的 形 式 ， 其 中hb ， k 2a4acb 2.4a5. 二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 ， 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： yax 2 ； yax 2k ； ya x2h； y2a xhk ； yax 2bxc .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时，开口向上；当a0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、外形相同.平行于y 轴（或重合）的直线记作xh . 特殊地，y 轴记作直线x0.7. 顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数，假如二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是

3、顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 （ 1）公式法： y2b4acb 22axbxcax，2a4a顶点是（b4acb 2，2a4a），对称轴是直线xb .2a（ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式，得到顶点学习必备欢迎下载为 h , k ，对称轴是直线xh .（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线yax 2bxc 中，a,b, c 的作用（ 1） a 打算开口方向

4、及开口大小，这与yax 2 中的 a完全一样 .（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线ybbax 2bxc 的对称轴是直线x，故： b2ab0 时，对称轴为y 轴；0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在ay 轴左侧；0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .a（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置.当 x0 时， yc ，抛物线yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴.b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛

5、物线的对称轴在y 轴右侧，就0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2yax 2kx0（ y 轴）（ 0,0 ）x0（ y 轴）0,k 2ya xh2ya xhk当 a0 时xh开口向上xh h ,0 h , k yax 2bxc当 a0时bxb4acb 2开口向下2a，2a4 a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式：yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常挑选一般式.（ 2）顶点式：y2a xhk . 已知图像的顶点或对称轴，通常挑选顶点式.学习必备欢迎下载（ 3）交点式： 已知图像与x 轴的交点坐标x1

6、 、 x2 ，通常选用交点式：ya xx1xx2.12. 直线与抛物线的交点（ 1） y 轴与抛物线yax 2bxc 得交点为 0,c .（ 2 ） 与 y轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线yax2bxc有 且 只 有 一 个 交 点 h ,ah 2bhc .（ 3）抛物线与x 轴的交点二次函数yax 2bxc 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x1 、 x2 ，是对应一元二次方程 ax2bxc0 的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x 轴相切；没有交点0抛物线与x 轴相

7、离 .（ 4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根.（ 5）一次函数ykxn k0 的图像 l 与二次函数y2axbxc a0 的图像 g 的交点，由方程组ykxnyax 2bx的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时cl 与 g 有两个交点;方程组只有一组解时时l 与 g 没有交点.l 与 g 只有一个交点；方程组无解（ 6） 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 如 抛 物 线 yax 2bxc与 x 轴 两 交

8、点 为a x1，0 ， bx2，0，由于x1、x2 是方程ax 2bxc0 的两个根，故x1x2b , xxc12a a2222abx1x2x1x2x1x24x1 x2b4caab 4acaa学习必备欢迎下载一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系（ 3 分）1、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系；其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向； 两轴的交点 o（即公共的原点） 叫做直角坐标系的原点； 建立了直角坐标系的平面， 叫做坐标平面；为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和 y

9、轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限；留意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限；2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒；平面内点的坐标是有序实数对，当ab 时，（ a， b）和（ b， a）是两个不同点的坐标；考点二、不同位置的点的坐标的特点（ 3 分）1、各象限内点的坐标的特点点 px,y 在第一象限x0, y0点 px,y 在其次象限x0, y0点 px,y 在第三象限x0, y0点 px,y 在第四象限2、坐标轴上的点的特点x0, y0点 px,y 在 x 轴上点 px,

10、y 在 y 轴上y0 ， x 为任意实数x0， y 为任意实数点 px,y 既在 x 轴上，又在y 轴上x， y 同时为零，即点p 坐标为（ 0， 0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 px,y 在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 px,y 在其次、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同；5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特点点 p 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数学习必备欢迎下载点 p 与点 p关于 y 轴对称纵坐

11、标相等，横坐标互为相反数点 p 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 px,y 到坐标轴及原点的距离：（ 1）点 px,y 到 x 轴的距离等于y（ 2）点 px,y 到 y 轴的距离等于x（ 3）点 px,y 到原点的距离等于x2y 2考点三、函数及其相关概念（ 38 分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于x 的每一个值，y 都有唯独确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是 x 的函数；2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关

12、系式； 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范畴；3、函数的三种表示法及其优缺点（ 1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法；（ 2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法；（ 3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法；4、由函数解析式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（ 3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连接起来；考点四、正比例函数和一次函数

13、（ 310 分）1、正比例函数和一次函数的概念一般地，假如ykxb （ k， b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数；特殊地，当一次函数ykxb 中的 b 为 0 时， ykx （ k 为常数， k0）；这时， y 叫做x 的正比例函数；2、一次函数的图像全部一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特点：一次函数ykxb 的图像是经过点（0， b）的直线；正比例函数ykx 的图像是经过原点（0， 0）的直线；k 的符号b 的符号函数图像图像特点k>0b>0y图像经过一、二、三象限，y 随 x 的学习必备欢迎下载增大而增大；0xyb<0图像经过

14、一、三、四象限，y 随 x 的0x增大而增大；yb>0图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小0xk<0yb<0图像经过二、三、四象限，y 随 x 的增大而减小；0x注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；4、正比例函数的性质，一般地，正比例函数ykx 有以下性质：（ 1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（ 2）当 k<0 时，图像经过其次、四象限，y 随 x 的增大而减小；5、一次函数的性质， ，一般地，一次函数ykxb 有以下性质：（ 1）当 k>0 时， y 随 x 的增大而增大（

15、 2）当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小学习必备欢迎下载6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx （ k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb （ k0）中的常数k 和 b；解这类问题的一般方法是待定系数法；考点五、反比例函数（ 310 分）1、反比例函数的概念一般地，函数yk（ k 是常数， k0）叫做反比例函数；反比例函数的解析式也可以写x成 ykx1的形式； 自变量x 的取值范畴是x0 的一切实数， 函数的取值范畴也是一切非零实数；2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支

16、分别位于第一、三象限，或其次、四象限，它们关于原点对称；由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永久达不到坐标轴；3、反比例函数的性质反比例函数yk k0 xk 的符号k>0k<0yy图像oxox x 的取值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；性质当 k>0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法；由于在反比例函数 x 的取值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；当 k<0 时，函数图像的两个分支分别

17、在其次、四象限；在每个象限内，y随 x 的增大而增大；yk 中，只有一个待定系数，因x此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式；5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数yk k x0 图像上任一点p 作 x 轴、 y 轴的垂线pm ， pn，就所学习必备欢迎下载得的矩形pmon 的面积s=pmpn= yxxy ；yk , xxyk , sk ；二次函数考点一、二次函数的概念和图像（ 38 分）1、二次函数的概念一般地，假如yax 2bxca,b, c是常数， a0 ，那么 y 叫做 x 的二次函数；yax 2bxc a, b, c是常数， a

18、0 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x抛物线的主要特点：b对称的曲线，这条曲线叫抛物线；2 a有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法五点法：（ 1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m ，并用虚线画出对称轴（ 2）求抛物线yax 2bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点a,b 及抛物线与y 轴的交点c，再找到点c 的对称点d ；将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图 像；当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点c 及对称点d ；由 c、m

19、 、d 三点可粗略地画出二次函数的草图；假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点a 、b ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像；考点二、二次函数的解析式（ 1016 分）二次函数的解析式有三种形式：（ 1）一般式：yax 2bxca ,b,c是常数， a0（ 2）顶点式：ya xh 2ka, h, k是常数， a0（ 3）当抛物线yax 2bxc 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2bxc0 有实根 x1 和 x2 存在时， 依据二次三项式的分解因式2axbxca xx1 xx2 ，二次函数yax 2bxc 可转化为两根式yaxx1 xx2 ；假如没有交点，就不能这样表示；考点

20、三、二次函数的最值（ 10 分） 假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处b4acb 2取得最大值（或最小值），即当 x时， y最值；2 a4a学习必备欢迎下载假如自变量的取值范畴是x1xx2 ，那么，第一要看b是否在自变量取值范畴2 ab4acb 2x1xx2 内，如在此范畴内，就当x=时， y最值；如不在此范畴内，就需2a4 a1要考虑函数在x1xx2 范畴内的增减性， 假如在此范畴内，y 随 x 的增大而增大， 就当 xx2时， y最大ax2bx2c ，当 xx1 时，y最小ax2bx1c ；假如在此范畴内，y 随x2的增大而减小，就当xx1 时，y最大ax 2bx1c ，当 x

21、x2 时，y最小ax2bx2c ；12考点四、二次函数的性质（ 614 分）1、二次函数的性质二次函数2函数yaxbxca,b, c是常数， a0a>0a<0yy图像0x0x（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延长；b（1）抛物线开口向下，并向下无限延长；bbb（ 2）对称轴是x=，顶点坐标是（2a，（2）对称轴是x=2a，顶点坐标是（，2a2a4acb 2）；4ab4acb 2）；4ab（ 3）在对称轴的左侧，即当x<性质时， y 随 x 的2a（3）在对称轴的左侧，即当x<时， y 随 x2ab增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>2a的 增 大 而 增 大 ；

22、在 对 称 轴 的 右 侧 ， 即 当b时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；x>时， y 随 x 的增大而减小，简记左增2a（ 4）抛物线有最低点，当 x=b时，y 有最小值，2a右减；（4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最大y最小值4acb22a4a学习必备欢迎下载值， y最大值4acb 24 a2、二次函数y2axbxca, b, c是常数， a0 中， a、b、c 的含义： a 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上，a <0 时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=b2ac 表示抛物线与y 轴的交点坐标： （ 0， c ）3、二次函数与一

23、元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标；因此一元二次方程中的b 24ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点；当>0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当<0 时，图像与x 轴没有交点； 补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点a 坐标为（ x1 ， y1 ）点 b 坐标为（ x2， y2）就 ab 间的距离，即线段ab 的长度为2x1x22y1y2a0xb2、函数平移规律（中考试题中，只占3 分，但把握这个学问点，对提高答题速度有很大帮忙，可以大大节约做题的时间）3、直线斜率：ktany2y1x2x1b为直线在 y轴上的截距扩展1. 一般一般直线方程ax+by+c=02.两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:yy 1y 2y 1xx 2x 1x 1 3.点斜知道一点与斜率yy1k xx1 学习必备欢迎下载4.斜截斜截式方程，简称斜截式: y kx bk 05 .截距由直线在x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：记牢可大幅提高运算速度xy1ab6.设两条直线分别为，l1 ：yk1 xb1l2 ：yk 2 xb2如 l 1/l 2 ，就有l1 / l 2k1k 2 且 b1b