初中数学压轴题--动态几何证明及实验题

1、优秀学习资料欢迎下载动态几何证明及试验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题 目解决这类问题的关键是动中求静，敏捷运用有关数学学问解决问题此类题目注意对几何图形运动变 化才能的考查动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查同学的多种才能，有较强的 选拔功能；解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解；解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相相伴着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特别状态、图形间的特别关系）等进行争论考察抓住变化中的“不变量”，以不变应万变试验操作【要点导航】通过试

2、验操作观看猜想科学论证，使我们体验和学到了发觉、获得学问的过程和方法.试验操作探究懂得题意、试验操作是基本保证，观看猜想、探究结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析】例 1取一张矩形纸片进行折叠，详细操作过程如下：第一步：先把矩形 abcd 对折，折痕为 mn ，如图 1；其次步：再把 b 点叠在折痕线 mn 上，折痕为 ae， 点 b 在 mn 上的对应点为 b'，得 rtab 'e，如图 2；第三步：沿 eb'线折叠得折痕 ef，使 a 点落在 ec 的延长线上，如图 3利用绽开图 4 探究：（ 1） aef 是什么三角形？证明你的结论；（ 2）对于任一矩形，

3、依据上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由图 1图 2图 3图 4【思路分析】1图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以bea= aeb'= fec ，它们都是60°角，所以 aef 是等边三角形2由操作可知af>ad 时，不能完整折出这种三角形当图3 中的点 f、d 重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为23 解（ 1） aef 是等边三角形由折叠过程可得：beaaeffec60 由于 bc ad，所以afefec60 所以 aef 是等边三角形（ 2）不肯定当矩形的长恰好等于等边aef 的边 af 时，即矩形的宽长ab af3 : 2 时正优秀学习资料欢迎下载好能折出

4、假如设矩形的长为a，宽为 b，可知当 b3 a 时，按此种方法肯定能折叠出等边三角形；当23a b a 时，按此法无法折出完整的等边三角形2方法点睛要从操作试验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解例 2已知：在 abc 中， bac=90°，m 为 bc 中点操作：将三角板的90°角的顶点与点m 重合，并围着点m 旋转，角的两边分别与边ab、ac 相交于点e、f（ 1）探究 1：线段 be、ef 、fc 是否能构成三角形？假如可以构成a三角形，那么是什么外形的三角形？请证明你的猜想（ 2）探究 2：如转变为：“角的两边分别与边ab、直线 ac 相交于点e、f

5、”其它条件都不变的情形下，那么结论是否仍存在？请画出对应的bmc图形并请证明你的猜想思路分析1由点 m 是 bc 中点，所以构造绕点m 旋转 180 °重合的全等三角形，将线段be、ef、fc 移到同一个三角形中2当角的两边分别与边ab、直线 ac 相交于点e、f 时，构造和证明的方法不变证明（ 1）线段 be、ef 、fc 可以构成直角三角形如图1，延长 em标 注 三角 板 为阴影a fcg为阴影到 g，使得 em =m g，联结 gc 、fg由于 m 为 bc 中点，所以bm =cm ，ef又由于 emb = gmc，em =m g，所以 emb gmc ，所以 be=gc，e

6、m =mg ， b= mcg由于fm垂直平分eg，所以fe=fg又由于b bac=90°，所以 b+ acb=90°，所以mcg+ acb=90 °，即mcg标 注 三2fcg =90 °，所以 gc 2fc 2fg 2 ，所以 be 2fc 2ef（ 2）如图 2，当点 f 在 ca 的延长线上时， 延长 em 到 g，使得 em =m g，联结 gc 、fg 由于 m 为 bc 中点，所以 bm =cm，又由于 emb = gmc ，eem =eg，所以 emb gmc ，所以be=gc ， em =mg ， b=角 板 为阴影fa fcg为阴影 m

7、cg 由于 fm 垂直平分 eg，所以 fe =fg 又由于 bac=90°标， 注 三bmg c角 板 为所 以 b+ acb =90 ° ， 所 以 mcg+ acb=90 ° ， 即 阴影a 图 2efcg =90 °，所以gc 2fc 2fg 2 ，所以be 2fc 2ef 2 bm图 3c fcgf为阴影g优秀学习资料欢迎下载如图 3，当点 f 在 ac 的延长线上时，同理可证be 2fc 2ef 2 方法点睛 线段之间常见的关系是和差关系或者满意勾股定理如能将所要求线段移动到同一条直线上，就线段之间是和差关系的可能性较大，如能将所要求线段移动

8、后能构成三角形，就线段之间满意勾股定理的可能性较大【星级训练】第天 ，年月日1. 如图， 在正方形abcd 中，点 e 在边 ab 上（点 e 与点 a、b 不重合），过点 e 作 fg de ，fg 与边 bc 相交于点f，与边 da 的延长线相交于点g（ 1）操作：由几个不同的位置，分别测量bf 、ag、 ae 的长，从中你能发觉bf 、ag、ae 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（ 2）连结 df ，假如正方形的边长为2，设 ae= x ， dfg 的面积为y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（ 3）假如正方形的边长为2， fg 的长为d5 ，求点

9、 c 到直线 de 的距离2cdcfabaeb供试验操作用g2. 操作：将一把三角尺放在边长为1 的正方形abcd 上，并使它的直角顶点p 在对角线ac 上滑动，直角的一边始终经过点b，另一边与射线dc 相交于点 q探究：设a、p 两点间的距离为x（ 1）当点 q 在边 cd 上时，线段pq 与线段 pb 之间有怎样的大小关系？试证明你观看得到结论；（ 2）当点 q 在边 cd 上时，设四边形pbcq 的面积为y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（ 3）当点 p 在线段 ac 上滑动时， pcq 是否可能成为等腰三角形？假如可能， 指出全部能使 pcq成为等腰三角形的点

10、q 的位置，并求出相应的 x 的值；假如不行能，试说明理由 （图 5、图 6、图 7 的外形大小相同，图 5 供操作、试验用，图 6 和图 7 备用）优秀学习资料欢迎下载adadadb图 5cb图 6cb图 7c3. 在 abc 中， ab=ac，cg ba 交 ba 的延长线于点g一等腰直角三角尺按如图1 所示的位置摆放， 该三角尺的直角顶点为f ，一条直角边与ac 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点b（ 1）在图 1 中请你通过观看、测量 bf 与 cg 的长度， 猜想并写出bf 与 cg 满意的数量关系， 然后证明你的猜想；（ 2）当三角尺沿ac 方向平移到图 2 所示的位置时，一条

11、直角边仍与ac 边在同始终线上，另一条直 角边交 bc 边于点 d，过点 d 作 de ba 于点 e此时请你通过观看、测量de、df 与 cg 的长度，猜想并写出 de df 与 cg 之间满意的数量关系，然后证明你的猜想；（ 3）当三角尺在（2）的基础上沿ac 方向连续平移到图3 所示的位置（点f 在线段 ac 上，且点f 与点 c 不重合）时，（2）中的猜想是否仍旧成立？（不用说明理由）fggafaebcbdcb图 1ge afcd图 2图 34. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线试验与探究 ：（ 1）由图观看易知a（0，2）关于直线l 的对称点a 的坐标为（

12、2， 0），请在图中分别标明b5, 3 、c- 2, 5 关7y6l于直线 l 的对称点 b 、 c 的位置，并写出他们的坐标：5c4b、c；3ab2归纳与发觉：1'a（ 2）结合图形观看以上三组点的坐标，你会发觉：坐标平面内任一点p a, b 关于第一、三象限的角平分线l 的-6-5-4-3-2-1o-1-2-3e ' -4-5-6123456x'd. 22. . 优秀学习资料欢迎下载对称点 p 的坐标为（不必证明 ）；运用与拓广：（ 3）已知两点d1,-3 、e-1,-4 ，试在直线l 上确定一点q，使点 q 到 d、e 两点的距离之和最小，并求出 q 点坐标探干脆

13、问题探干脆问题是指命题中缺少肯定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探干脆问题一般有三种类型：（ 1）条件探究型问题； （2）结论探究型问题； （3）探究存在型问题条件探究 型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究型问题是指题目中结论不确定，不唯独，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探究存在型问题是指在肯定的前提下，需探究发觉某种数学关系是否存在的题目条件探究【要点导航】“探究”是人类熟悉客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探干脆问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探究”题型，是指命题中缺少肯定的题设，需经过

14、推断、补充并加以证明的命题，因而必需利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探究未赐予的条件；由于题型新奇、综合性强、结构特殊，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而详细操作时要更注意数学思想方法的综合应用【典例精析】例 1如图，在线段ae 的同侧作正方形abcd 和正方形 befg （ beab ），连结 eg 并延长交dc 于点 m ，过 m 作 mnab ，垂足为 n ， mn 交 bd 于点 p 设正方形abcd 的边长为1（ 1）证明 cmg nbp；（ 2）设 be=x，四边形mgbn 的面积为y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域（ 3）假如依据题设方

15、法作出的四边形bgmp 是菱形，求be 的长dmc（ 4）联结 pg，如bpg 能否成为直角三角形？假如能，求be 的长；gf假如不能，请说明理由（ 5）联结 ac、af 、cf，求证 acf 的面积为定值思路分析panbe1第（ 3）小题把四边形bgmp 是菱形作为条件探究be 的长2bpg 中 pbg 始终是 45°，而 bpg 和 pgb 有可能为90°，要分情形争论优秀学习资料欢迎下载3第（ 5）小题即可用割补法求也可用利用ac bf 将 acf 的面积转化为abc 的面积证明（ 1）由于正方形 abcd ，所以ccba90，abd45，同理beg45由于cd /b

16、e ，所以cmgbeg45，由于mnab ，垂足为n，所以mnb90 所以四边形bcmn 是矩形所以cmnb ，又由于cpnb90，cmgnbp45，所以 cmg nbp（ 2）由于正方形 befg ，所以bgbex ，所以cg1x 从而cm1x ，所以1y bg 2mn bn111x1x2212x 定义域为：0x12（ 3）由已知易得mn /bc，mg /bp所以四边形bgmp 是平行四边形 要使四边形bgmp 是菱形 就bg=mg ，所以 x2 1x 解得 x22 所以be22 时四边形bgmp 是菱形（ 4）如图 2，当 pgb90°时， bg pg mc ，即x1x ，解得

17、x21， 所以 be 的长为221 如图 3，2当 gpb90°时， bg 2mc，即 x21x ，解得x，所以 be 的长为33dmcdgfpmcdchgfgfpqanbe图 2anbe图 3abe图 41111（ 5）如图 4： s acfsadhes acds aefs hcf1xx1xx1x或者，由于2222s1 x1xs1 x1xss所以 ssss1 或2aef， bcfe2，因此aefbcfeabqcfq ，acfabc2者由于 bf ac，所以点 b 和 f 到 ac 的距离相等， 即 afc 和 abc 同底等高， 所以s acf1s abc2方法点睛第（ 5）小题表

18、达了图形运动中的不变性，正方形befg 的边长虽然转变但是afc 的面积不变优秀学习资料欢迎下载例 2在等边 abc 的两边 ab、ac 所在直线上分别有两点m 、nd 为 abc 外一点，且 mdn 60°， bdc 120 °，bd dc 探究：当 m 、n 分别在直线ab、ac 上移动时， bm 、nc 、mn 之间的数量关系及 amn 的周长 q 与等边 abc 的周长 l 的关系naaanmnmbcbcbcmdd图 1图 2d图 3（ 1）如图 1 所示，当点m 、n 在边 ab、ac 上，且 dm dn 时， bm 、nc 、mn 之间的数量关系q是； 此 时l

19、；（不必证明）（ 2）如图 2 所示，点 m 、n 在边 ab、ac 上，且当 dmdn 时，猜想（ 1）问的两个结论仍成立吗？写出你的猜想并加以证明；（ 3） 如图 3 所示，当m 、n 分别在边ab、ca 的延长线上时，如an 2，就 q（用含有 l 的式子表示） 思路分析1当 dm dn 时， bdm 和 cdn 全等，设bm =cn =a，就q6a ，l9a 2当 dmdn 时，在 ac 的延长线上截取cp bm ，连接 dp，通过两次全等可证bm +nc =mn 所以 q6a ， l9a 结论依旧成立3当 m 、n 分别在边ab、ca 的延长线上时，通过两次全等可证nc bm =mn

20、 解（ 1） bm nc mn ； q = 2 l3（ 2）（ 1）问的两个结论任然成立如图4，在 ac 的延长线上截取cpa bm ，连接 dp ，在等边 abc ， abc acb 60°， bdc 120°，bd dc ，所以 dbc dcb 30°，所以 dbm dcp 90°在n dbm 与 dcp 中， cpbm ， dbm dcp 90°， db dc ，所以mp dbm dcp（ s as）所以 bdm cdp ，dm dp ，由于 bdcbc 120°， pdn cdp cdn bdm cdn 120° 6

21、0°60°在 dmn 与 dpn 中， dm dp ， mdn pdn 60°， dn d图 4优秀学习资料欢迎下载ndn ，所以 dmn dpn（ sas）所以 mn pn nc pc nc bm ，a所以 q am mn an（ am bm ）（ cn an） ab+ac=2 ab而 l ab+ac+bc=3ab，所以 q = 2（ 3）ql32l 4如图 5，在 ac 的上截取cp bm ，连接 dp ，同理p3 bc可证 dcp dbm和 dnp dnm ，所以q=an +am +mn = an+abm，d1+bm +mn = an+ab +cp +np

22、=2 nc=2（ an+ac）由于 an 2，ac=l3图 5所以 q= 23l 4方法点睛旋转对称图形中构造旋转型全等三角形是常用的方法【星级训练】第天 ，年月日1. 如图1 所示，直线ab 交 x 轴于点a（ a， 0），交 y 轴于点b（ 0，b），且a、b 满意ab a4 20 （ 1）如图 1，如 c 的坐标为（1， 0），且 ah bc 于点 h， ah 交 ob 于点 p，试求点p 的坐标；（ 2）如图 2，连接 oh ，求证： ohp 45°；（ 3）如图 3，如点 d 为 ab 的中点，点m 为 y 轴正半轴上一动点，连接md ，过 d 作 dn dm 交 x 轴于

23、 n 点，当 m 点在 y 轴正半轴上运动的过程中，式子sbdm s adn 的值是否发生转变，如发生转变， 求出该式子的值的变化范畴；如不转变，求该式子的值yyycoacoamxxanoxhphp2图 1图bbdb图 3第天 ，年月日2. 已知bd 、 ce 分别是md 、 me 、 de abc 的 ac 边、 ab 边上的高，m 是 bc 边的中点，分别联结优秀学习资料欢迎下载（ 1）当bac90 时，垂足d 、 e 分别落在边ac 、 ab 上，如图1求证：dmem 2当bac90 时，垂足 d 、 e 分别落在边ac 、 ab 所在的直线上，如图2，问（ 1）中的结论是否依旧成立？无

24、需说明理由，直接写出答案即可；如bac135，试判定 dem的外形，简写解答过程（ 3）设bac 的度数为 x ，dme 的度数为y ，求 y 与 x 之间的函数关系式aedbbmcdeaabc（备用图）mc图 2图 1第天 ，年月日3. 如图1，已知 abc=90 °， abe 是等边三角形，点p 为射线 bc 上任意一点（点p 与点b 不重合），连结 ap ，将线段ap 绕点 a 逆时针旋转60°得到线段 aq，连结 qe 并延长交射线bc 于点 f.（ 1）如图 2，当 bp=ba 时， ebf =°，猜想 qfc=°；（ 2）如图 1，当点 p

25、为射线 bc 上任意一点时，猜想qfc 的度数，并加以证明；（ 3）已知线段ab= 23 ，设 bp= x ，点 q 到射线 bc 的距离为y，求 y 关于 x 的函数关系式qaebfpcqaebfpc图 1图 2【要点导航】结论探究探干脆问题是指命题中缺少肯定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探干脆问题一般有三种类型：（ 1）条件探究型问题； （2）结论探究型问题； （3）探究存在型问题条件探究优秀学习资料欢迎下载型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究型问题是指题目中结论不确定，不唯独，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一

26、般结论；探究存在型问题是指在肯定的前提下，需探究发觉某种数学关系是否存在的题目探究型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个中学数学学问常常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、正、反比例和一次函数的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特别）的性质、等其中用几何图形的某些特别性质：勾股定理、相像三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径因此复习中既要重视基础学问的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的争论，切实提高分析问题、解决问题的才能【典例精析】例 1 如图 1，在 abc 中， acb = 90 °， ac = bc， ab =

27、 8 ， cd ab ，垂足为点 dm 为边 ab 上任意一点， 点 n 在射线 cb 上（点n 与点 c 不重合），且 mc = mn ，ne ab，垂足为点 e当点 m 在边 ab 上移动时，摸索究线段 me 的长是否会转变？说明你的理由a思路分析射线 cb 包括线段cb 和线段 cb 的延长线两部分，点n 在射线cnmdeb图 1cb 上运动时， 可证明 cmd 和 men 全等，所以线段me 的长始终和线段cd 相等， 所以不会转变长度解：当点 m 在边 ab 上移动时，线段me 的长不变， me = 4由点 n 在射线 cb 上，可知点n 在边bc 上或点 n 在边 cb 的延长线上

28、（）如图 1，假如点 n 在边 bc 上，可知点 m 在线段 ad 上由于ac = bc， acb = 90 °，所以 a= b = 45°又由于ac = bc，cd ab， ab = 8，所以cd = bd = 4即得bcd45 由于mc= mn ，所以 mcn = mnc 由于 mcn =mcd + bcd ， mnc =b + bmn ，所以 mcd= nme 又由于cd ab， ne ab，所以 cdm =men = 90 °所以mcd mne（ aas）所以me = cd = 4 （）如图2，假如点n 在边 cb 的延长线上，可知点m 在线段 bd 上，

29、且点e 在边 ab 的延长线上c由于 abc= mnc+ bmn=45°， bcd=mcd+ mcn = 45°， mcn = mnc ，所以 mcd= bmn 由于 mc=mn ， cdm= men=90°， 所 以 mcd nme（ aas）所以me = cd = 4所以由（） 、（）可知，当a点 m 在边 ab 上移动时，线段me 的长不变， me = 4 edmb图 2n方法点睛 点 m 在 ab 上和在 ab 的延长线上，从图1 到图 2 是图形的变式题随着点m 的运动线段之间的关系不变，所以证明思路不变优秀学习资料欢迎下载例 2如图，已知在正方形abc

30、d 中， ab = 2 ，p 是边 bc 上的任意一点，e 是边 bc 延长线上一点，联结 ap过点 p 作 pfap ，与 dce的平分线cf 相交于点f联结 af，与边 cd 相交于点g，联结pgad（ 1）求证： ap = fp ；g（ 2）探究线段bp 、dg 、pg 之间的数量关系，并给出证明过程；f（ 3）当 bp 取何值时， pg / cfbpce思路分析1过点 f 作 fh bc，结合所给条件无法证明abp 和 phf 全等在边ab 上截取线段ah ，使 ah = pc，便可证明 ahp pcf 2由第（ 1）小题的结论得apf 是等腰直角三角形，所以paf =45 °

31、;，将 adg 绕点 a 顺时针旋转90°后， bp 与 dg 联结成一条线段，通过全等三角形可证bp 与 dg 的和等于pg3当 pg / cf 时， pcg 是等腰直角三角形，由第（2）小题结论得pg=dg +bp，在 rt pcg 中，由勾股定理可求得bp 的长证明 （ 1）如图 2，在边 ab 上截取线段ah ，使 ah = pc，联结ph 由正方形abcd ，得 b = bcd = d = 90，°ab = bc = ad 因ad为 apf = 90 °，所以 apf = b由于 apc = b + bap = apfg+ fpc ，所以 pah = f

32、pc又由于 bcd = dce = 90，°cf 平hfb分 dce ，所以 fce = 45 °所以 pcf = 135 °又由于ab = bc，ah = pc，所以 bh = bp，即得 bph = bhp = 45°所以 ahp =pce135 °，即得 ahp = pcf在 ahp 和pcf 中， pah = fpc，图 2ah = pc， ahp = pcf ，所以 ahp pcf 所以 ap = pf （ 2）证明：如图3，延长 cb 至点 m ，使 bm = dg，联结 am 由 ab = ad， abm = d = 90

33、76;， bm = dg ，得 adg abm ，即得adag = am ， mab = gad 由于 ap = fp， apf = 90，°所以 paf =gf45°由于 bad = 90，°所以 bap + dag = 45，°即得 map = pag =45°于是，由 am = ag，map = pag，ap = ap，得 apm apg所mbpce以 pm = pg即得 pb + dg = pg图 3（ 3）解：由 pg / cf ，得 gpc =fce = 45 °于是，由 bcd = 90 °，得 gpc = p

34、gc = 45 °所以 pc = gc即得 dg = bp设 bp = x，就 dg = x由 ab = 2，得 pc = gc =2 x由于 pb + dg = pg，所以 pg = 2 x在 rt pgc 中， pcg = 90，°得pc 2cg 2pg 2 即得2x22x 22 x 2 解得 x222 所以当 bp222 时， pg / cf 方法点睛此题所需添加的帮助线比较特别，在旋转型图形如：正方形，等边三角形，等腰直角三角形中较为常见优秀学习资料欢迎下载【星级训练】第天 ，年月日1. 已知：在 abc 中， ab=ac ，点 p 在直线 bc 上， pd ab

35、于点 d，peac 于点 e，bh 是 abc 的高（ 1）当点 p 在边 bc 上时，求证： pd +pe=bh（ 2）当点 p 在边 bc 的延长线上时，摸索究pd 、pe 和 bh 之间的数量关系第 天 ， 年 月 日2. 已知等边 abc 和点 p，设点 p 到 abc 三边 ab、ac、bc 的距离分别为h 1， h2， h 3， abc 的高为 h “如点 p 在一边 bc 上如图（ 1），此时 h 30 可得结论： h1 h 2 h3 h”请直接应用上述信息解决以下问题：当点 p 在 abc 内如图（ 2），以及点 p 在 abc 外如图（ 3）这两种情形时，上述结论是否成立？如

36、成立，请予以证明；如不成立， h 1，h 2， h3 与 h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明aaadfbmpcdepdmebmfcbcp图 1图 2图 3第天 ，年月日3. 已知在正abc 中， ab=4，点 m 是射线 ab 上的任意一点（点m 与点 a、b 不重合），点n 在边 bc 的延长线上， 且 am = cn联结 mn ，交直线 ac 于点 d设a am = x， cd = y（ 1）如图， 当点 m 在边 ab 上时， 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范畴m（ 2）当点 m 在边 ab 上，且四边形bcdm 的面积等于 dcn 面d积的 4

37、倍时，求x 的值bcn（ 3）过点 m 作 me ac，垂足为点e当点 m 在射线 ab 上移动时，线段de 的长是否会转变？请证明你的结论优秀学习资料欢迎下载第天 ，年月日4.在rt abc 中， c=900， a=30 0， ab=4，将一个300 角a的顶点 p 放在 ab 边上滑动，保持300 角的一边平行于bc，且交边 ac 于点e， 300 角的另一边交射线bc 于点 d，联结 ed（ 1）如图 1，当四边形pbde 为等腰梯形时，求ap 的长；（ 2）四边形pbde 有可能为平行四边形吗？如可能，求出pbde 为平行四边形时ap 的长；如不行能，说明理由；（ 3）如 d 在 bc

38、 边上（不与b、c 重合），试写出线段ap 取值范畴；第天 ，年月日pe300bcd（图 1）5. 在梯形abcd 中， ad /bc， ab=cd=ad =5cm， bc=11cm，点 p 从点 d 动身沿 da 边以每秒 1cm 的速度移动，点q 从点 b 动身，沿bc 边以每秒2cm 的速度移动（当点p 到达点 a 时，点 p 与点q 同时停止移动） ，假设点p 移动的时间为x（秒），四边形 abqp 的面积为 y（平方厘米） ；（ 1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（ 2）在移动的过程中， 求四边形abqp 的面积与四边形qcdpapd的面积相等时x 的值；（ 3）

39、在移动的过程中，是否存在x 使得 pq=ab，如存在求出全部的 x 的值，如不存在请说明理由bqc6. 如图，平面直角坐标系中，o 是坐标原点，正比例2y函数 ykx （ x 为自变量）的图像与双曲线y交于点 a ，且点xca 的横坐标为2 （ 1）求 k 的值；ab（ 2）将直线ykx （ x 为自变量）向上平移4 个单位得到直线bc，ox直线 bc 分别交 x 轴、 y 轴于 b、c，如点 d 在直线 bc 上，在平面直角坐标系中求一点p，使以 o、 b、d、p 为顶点的四边形是菱形y7. 如图1，直线 y2x12 分别与x 轴、 y 轴交于点a、b，b点 c 是线段 ab 的中点，点d

40、在线段 oc 上，点 d 的纵坐标为4（ 1）求点 c 的坐标和直线ad 的解析式；cdxoa图 1优秀学习资料欢迎下载（ 2）p 是直线 ad 上的点，请你找一点q，使以 o、a、p、q 这四个点为顶点的四边形是菱形，写出全部满意条件的点q 的坐标【要点导航】猜想证明此类问题通常由一个特别图形到一般情形，引出一系列探究的问题经受对一些命题和结论的猜想、证明、推广的过程，体会学问之间的内在联系，感受特别到一般、数形结合等数学思想，对同学的想象、思维、归纳、分析都有较高的要求此类题目变式多，证明方式也不尽相同，可以说是出色纷呈借题发挥，拓宽视野，这样做不仅有助于同学综合而敏捷的运用学问，而且能不

41、断提高同学独立探究问题解决的才能，更有助于培育同学思维的深刻性与批判性；【典例精析】例 1如图 1，已知点 d 在 ac 上，abc 和 ade 都是等腰直角三角形，b点 m 为 ec 的中点em（ 1）求证： bmd 为等腰直角三角形adc（ 2）将 ade 绕点 a 逆时针旋转45 ，如图 2，（ 1）中的“ bmd 为等图 1b腰直角三角形”是否仍旧成立？请说明理由（ 3）将ade 绕点 a 逆时针旋转 135 ，如图 3，（ 1）中的“bmd 为e等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）dmac（ 4）我们是否可以猜想，将ade 绕图 2bb点 a 任意旋转肯定的角度，如图4，（ 1）

42、中的“bmd 为等腰直角三角形”均成dd立？思路分析eam图 3emcac图 41 利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证明dm 与 bm 垂直且相等优秀学习资料欢迎下载2 将 ade 绕点 a 转过 45 或 135 时，加倍延长dm ，可构造出全等三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质可证明bmd 为等腰直角三角形3 将 ade 绕点 a 任意旋转肯定的角度时，可以d、m 、b 为顶点构造正方形再证明bmd 为等腰直角三角形证明 （ 1）由于点m 是 rt bec 的斜边 ec 的中点，所以bm =1ec=mc ，所以 mbc = mcb 所2以 bme =2 bcm 同理

43、可证：dm =1ec=mc ， emd =2 mcd 所以 bmd =2 bca=90 °，所以2bm =dm 所以 bmd 是等腰直角三角形b（ 2）第（ 1）题中的结论仍旧成立如图5，延长 dm 与 bc 交于点 n，e由于 de ab， cb ab，所以 edb = cbd =90°，所以de bc所以n dmdem =mcn 又由于 emd = nmc ，em =mc ，所以 edm mnc 所ac图 5以 dm =mnde =nc =ad又 ab=bc，所以 ab-ad =bc-cn ，所以 bd =bn所以 bm dm 即 bmd =90 °由于 ab

44、c=90 °，所以 bm =（ 3）成立1dn =dm 所以 bmd 是等腰直角三角形2（ 4）bmd 为等腰直角三角形的结论仍旧成立如图6，过点dn作 dn dm ，使得 dn =dm ，联结 bn、an由于 eda =ndm =90°，bd所以 edm = and ， ad =ae ， dm =dn ，所以 edm and 所以pandm ，an=em ，又由于 em =mc ，所以 an =mc利用三角形内角和emac可证 bcm = nab，又由于ab =bc，bm =bn，所以 mbc nba，图 6所以 nba=mbc ，由于 abc=90°，所以 n

45、bm =90°，联结 mn ，所以 bmd = bnd=90°，所以四边形 dnbm 是正方形所以bmd 是等腰直角三角形方法点睛此题仍可争论将ade 绕点 a 旋转后当c、 d、e 三点一线，当b、 a、d 三点一线， e 在ac 上等多种情形下bmd 都是等腰直角三角形例 2点 a、b、c 在同始终线上，在直线ac 的同侧作abe 和bcf ，连接 af ，ce取 af 、ce的中点 m 、 n，连接 bm ， bn， mn （ 1）如abe 和fbc 是等腰直角三角形，且abefbc900 （如图 1），就mbn 是三角形（ 2）在abe 和bcf 中，如 ba =b

46、e ，bc=bf，且三角形，且mbnabefbc，（如图 2），就mbn 是优秀学习资料欢迎下载（ 3）如将（ 2）中的abe 绕点 b 旋转肯定角度， （如图 3），其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？如成立，给出你的证明；如不成立，写出正确的结论并给出证明ffefeemmmnannabc图 1abcbc图 2图 3思路分析1 abf 和 ebc 可看作绕点b 旋转 90°后可重合的两个三角形，bm 和 bn 是对应斜边上的中线，夹角为 90°，所以mbn 是等腰直角三角形2 mbn 可看作是两个全等三角形abf 和 ebc 对应边上的中线，它们的夹角mbn 和对应

47、边的夹角 abe 和 fbc 相等3要证明 mbn 和 fbc 相等， 只要证明 fbm 和 cbn 相等， 所以要证明mfb 和 ncb 全等解（ 1）等腰直角（ 2）等腰、（ 3）结论仍旧成立证明：在abf 和 ebc 中， ba=be， abf =ebc， bf=bc，所以 abf ebc所以 af=ce， afb =ecb由于 m ，n 分别是 af、ce 的中点，所以fm =cn所以 mfb ncb 所以 bm=bn， mbf =nbc ，所以所以 mbn + fbn= fbc + fbn，即 mbn = fbc 所以结论依旧成立方法点睛 从图 1 到图 3 是连续的图形变式题图形由特别到一般，虽然图形转变， 但是证明思路不变【星级训练】第天 ，年月日1. 如图1，四边形 ab