初中数学圆的辅助线八种作法

1、中 考 数 学 圆 的 辅 助 线在平面几何中， 与圆有关的很多题目需要添加帮助线来解决；百思不得其解的题目， 添上合适的帮助线，问题就会迎刃而解，思路畅通， 从而有效地培育同学的制造性思维； 添加帮助线的方法有很多，本文只通过分析探究归纳几种圆中常见的帮助线 的作法；下面以几道题目为例加以说明；1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，经常需要作出弦心距、半径等帮助线，以便应用于垂径定理和勾股定懂得决问题；例1如图 1, o的弦 ab 、cd 相交于点 p，且 ac=bd；求证： po 平分 apd ；oapeb fdcpb图 1分析 1 ：由等弦ac=bd可得出等弧=acbd，进一

2、步得出=abcd，从而可证等弦ab=cd，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作帮助线oeab ， of cd ，易证 ope opf ，得出 po 平分 apd ；证法 1 ：作 oeab于 e， of cd 于 fac=bd = >=>=> ab=cdacbd=>oe=ofabcd oep= ofp=90° =>ope opf0op=op=>ope= opf => po平分 apd分析 2 ：如图 1-1 ，欲证 po 平分 apd ，即证 opa= opd ，可把 opa与 opd构造在两个三角形中，证三角形全等

3、，于是不妨作帮助线即半径 oa ，od ，因此易证 acp dbp ，得 ap=dp，从而易证 opa opd ；oapbdcpb图 1-1证法 2 ：连结 oa ， od ； cap=bdp apc=dpb=> acp dbp ac=bd=>ap=dpoa=od=>opa opd => opa= opd =>po平分 apd op=op2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质；例 2如图 2 ，在 abc中， ab=ac， 以 ab为直径作 o 交 bc 于点 d，过 d作 o 的切线

4、 dm交 ac于 m ；求证dm ac ；aa12o.mbdc图 2分析：由 ab是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角； 于是可连结ad ，得 adb=rt ,又由等腰三角形性质可得1= 2 ，再由弦切角的性质可得adm=b，故易证 amd= adb=90° ，从而 dm ac ；证明连结 ad ；ab为 o的直径=> adb=rtab=ac=> 1=2dm切 o 于 d=>adm= b=>1+ b= 2+ adm => amd= adb= rt => dm ac说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角；3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或

5、过切点的弦例 3如图 3,ab是 o 的直径，点d 在 ab的延长线上， bd=ob，dc 切 o于 c 点；求 a 的度数；分析：由过切点的半径垂直于切线， 于是可作帮助线即半径oc ，得 rt ，再由解直角三角形可得cob的度数，从而可求 a 的度数；cb.da o图 3解：连结 oc ；dc 切 o于 c => ocd=90 °oc=ob=bd=>a=1/2cob=30°=> cos cod=oc/od=1/=2> cob=6°0说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径；例 4如图 4 ，已知 abc中， 1= 2 ，圆 o 过 a

6、 、d两点，且与bc 切于 d 点；求证ef/bc ；a12ofecb d图 4分析：欲证ef/bc ，可找同位角或内错角是否相等， 明显同位角相等不易证，于是可连结de ，得一对内错角bde 与 def，由圆的性质可知这两个角分别等于1 和 2 ，故易证 ef/bc ；证明连结 de； bc 切 o于 d => bde= 1 2= def=> bde= def =>ef/bc 1=2说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦；4. 当两圆相切，可作公切线或连心线例 5已知：如图5 ， o 1 与 o 2 外切于点 p，过 p 点作两条直线分别交o 1 与 o 2

7、 于点 a、 b、c、d ；求证pb.pc=pa.pd ；分析：欲证pb.pc=pa.pd ，即证 pa pb=pc pd ，由此可作帮助线ac 、bd ，并证ac/db，要证平行，需证一对内错角相等，如c= d ，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作帮助线即两圆公切线mn，从而问题迎刃而解；amd.o1po2c nb证明连结 ac 、bd ，过 p 点作两圆的内公切线mn=> apm= c， bpn=d apm=> c= dbpn=> ac/db => papb=pc pd => pb.pc=pa.pd说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到

8、作公切线和作弦；例6已知：如图6 ， o 1 与 o 2 内切于点 t，经过切点 t 的直线与 o 1 与 o 2 分别相交于点a 和 b ；求证ta tb=o 1 a o 2b；ab21to1o2图 6分析：欲证ta tb=o 1 a o 2b，可考虑证这四条线段所在的三角形相像，即证to 1 a to 2 b，于是只需连结o 2 o 1 ，并延长，必过切点，就产生 to 1a 和 to 2 b，由 1=2= t，就 o 1 a/ o2b，易证线段比相等；证明连结并延长o 2 o 1=> o2o1 必过切点 t o 1和 o 2 内切于点 to 1a=o1 t => 1= t=&

9、gt;1=2 =>o 1a/ o 2bo 2 t= o2 b => 2= t=>to 1a to 2 b => tatb=o1 a o 2 b说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线；5 当两圆相交，可作公共弦或连心线；例 7如图 7 ， o 1 与 o 2 相交于 a、 b两点，过a 点作 o 2 的切线交 o 1 于点 c，直线 cb 交 o 2 于点 d ， da延长线交 o 1 于点 e，连结 ce；求证ca=ce ；faedo1 .o2bc图 7分析：欲证ca=ce ，考虑在三角形中证它们所对的角相等，即e= cae ，又由 daf= cae，想到

10、弦切角 daf与所夹弧对的圆周角相等，故需作帮助线： 公共弦 ab ，得 e= dba ，易证 ca=ce ；证明连结 ab ；ca切 o 2 于 a => daf= dba四边形 abce 内接于 o 1 => e= dba daf= cae=> e= cae => ca=ce说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦；de co1mo2 gnafb图 8例8如图 8 ，在梯形abcd中，以两腰ad 、bc 分别为直径的两个圆相交于m 、n两点，过 m 、n的直线与梯形上、下底交于e、f；求证：mn ab ；分析：由于mn是公共弦，如作帮助线o 1 o 2

11、 ，必有 mn o 1 o 2 ，再由 o 1 o 2 是梯形的中位线，得 o 1 o 2 /ab，从而易证mn ab ；证明连结 o 1o 2 交 ef 于 g =>mn o 1 o 2 ；do 1 =o 1 a ，co 2 =o 2 b => o1 o 2 是梯形 abcd的中位线=> o1 o 2 /ab=> efa= ego 1=rt => mn ab说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线；6 有半圆，可作整圆afc例 9如图 9 ， bc 为 o的直径， ad bc 于 d ，=baaf, ad交 bf 于 e；求证ae=bebeo. d分析：欲

12、证ae=be ，可考虑在三角形中证这两边h所对角相等；即abf= bae ，再考虑证这两个圆周角图 9所对的弧相等，故需补全o ，可 证 =，故有=易证 ae=be.babhbhaf，证明补全 o ，延长 ad交 o 于 h ，直径 bc ad => =babh=> =ba= af，=> abf= bah => ae=bebhaf说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆；7 相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的帮助线是连结过交点的半径例 10如图 10 ， o 1 与 o 2 相交于a 、b 两点，且 o 2 在 o 1 上，点 p 在 o 1 上，点 q 在 o 2 上，如 apb=40°，求 aqb的度数；pao.1o2qb图 10分析连结 o 2 a 、o 2b，在 o 1 中利用圆内接四边形性质求得ao 2 b=140°，在 o 2 中， aqb=1/2ao 2 b=70°；证明过程略；说明，由同圆内同