初中数学最值问题典型例题

1、优秀教案欢迎下载中考数学最值问题总结考查学问点 ： 1、“两点之间线段最短” ，“垂线段最短” ，“点关于线对称” ，“线段的平移” ；（ 2、代数运算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型： 饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等；解题总思路 ：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：b条件：如下左图，a 、 b 是直线 l 同旁的两个定点a问题：在直线l 上确定一点p ，使 papb 的值最小l方法：作点a 关于直线 l 的对称点a ，连结 a b 交 l 于p点 p ，就 pap

2、ba b 的值最小a例 1、如图，四边形abcd 是正方形，abe 是等边三角形， m 为对角线bd （不含 b 点）上任意一点，将bm 绕点 b 逆时针旋转60°得到 bn ，连接 en 、 am 、cm （ 1 ）求证： amb enb ；（ 2 ）当 m 点在何处时，am+cm的值最小；当 m 点在何处时，am+bm+cm的值最小，并说明理由；（ 3 ）当 am+bm+cm的最小值为时，求正方形的边长；优秀教案欢迎下载例 2 、如图 13，抛物线y=ax 2 bx ca 0的其中 b 点的坐标为（ 3,0 ）（1）求抛物线的解析式顶点为（ 1,4 ），交 x 轴于 a、b，交

3、y 轴于 d，（2）如图 14，过点 a 的直线与抛物线交于点e，交 y 轴于点 f，其中 e 点的横坐标为2， 如直线 pq 为抛物线的对称轴，点g 为 pq 上一动点，就x 轴上是否存在一点h，使 d、g、 f、h 四点围成的四边形周长最小.如存在，求出这个最小值及g、h 的坐标；如不存在，请 说明理由 .（3）如图 15，抛物线上是否存在一点t ，过点 t 作 x 的垂线，垂足为m ，过点 m 作直线 m n bd，交线段 ad于点 n，连接 md，使 dnm bmd，如存在，求出点t 的坐标；如不存在，说明理由 .优秀教案欢迎下载例 3 、如图 1，四边形aefg 与 abcd都是正方

4、形，它们的边长分别为a,bb 2a 且, 点 f 在ad 上（以下问题的结果可用a,b 表示）（ 1）求 s dbf ;(2) 把正方形 aefg 绕点 a 逆时针方向旋转450 得图 2,求图 2 中的 s dbf ;(3) 把正方形aefg 绕点 a 旋转任意角度 ,在旋转过程中,s dbf 是否存在最大值,最小值 .假如存在 ,试求出最大值、最小值；假如不存在，请说明理由；优秀教案欢迎下载例 4、 如图，在平面直角坐标系中，直线y= 1 x+1 与抛物线2y=ax 2 +bx3 交于 a， b 两点，点 a 在 x 轴上，点 b 的纵坐标为3；点 p 是直线 ab 下方的抛物线上一动点（

5、不与a，b 重合），过点 p 作 x 轴的垂线交直线ab 与点 c，作 pd ab 于点 d（ 1）求 a， b 及 sinacp 的值（ 2）设点 p 的横坐标为m用含 m 的代数式表示线段pd 的长，并求出线段pd 长的最大值；连接 pb，线段 pc 把 pdb 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9： 10？如存在，直接写出m 值；如不存在，说明理由.优秀教案欢迎下载3例 5、如图，c的内接 aob中，ab=ao=，4 tan aob=4, 抛物线yax2bx 经过点 a4,0与点（ -2,6 ） .（ 1）求抛物线的函数解析式；（ 2）直线 m与 c 相切于

6、点 a，交 y 于点 d.动点 p 在线段 ob上，从点 o动身向点 b 运动； 同时动点 q在线段 da上， 从点 d 动身向点 a 运动； 点 p 的速度为每秒 1 个单位长，点 q的速度为每秒 2 个单位长，当 pqad 时，求运动时间 t 的值；（ 3）点 r 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当rob 面积最大时，求点r 的坐标 .优秀教案欢迎下载例 1 、证明：（ 1 ） abe 是等边三角形， ba=be ， abe=60° mbn=6°0， mbn- abn= abe- abn 即 mba= nbe 又 mb=nb， amb enb （ sas ）（ 5

7、分）解：（ 2 ）当 m点落在 bd的中点时， a、 m 、c 三点共线，am+cm的值最小（7 分）如图，连接ce，当 m点位于 bd 与 ce 的交点处时，am+bm+cm的值最小（9 分）理由如下：连接mn ，由（ 1 ）知， amb enb ， am=en， mbn=6°0， mb=nb， bmn是等边三角形 bm=mn am+bm+cm=en+mn+cm（ 10 分）依据 “两点之间线段最短”，得 en+mn+cm=ec最短当 m 点位于 bd 与 ce 的交点处时，am+bm+cm的值最小，即等于ec 的长（ 11分）优秀教案欢迎下载例 2、 解：（ 1）设所求抛物线的解

8、析式为：ya x1 24 ，依题意，将点b（ 3，0）代入，得：a31240解得： a 1所求抛物线的解析式为：yx124（ 2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点i，使得点f 与点 i 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一点h ，连接 hf 、hi 、hg 、gd 、ge，就 hf hi设过 a 、e 两点的一次函数解析式为：y kx b（ k 0），点 e 在抛物线上且点e 的横坐标为2，将 x2 代入抛物线yx124 ，得y 21243点 e 坐标为（ 2， 3）又抛物线y x1 24 图像分别与x 轴、 y 轴交于点a 、b、d当 y 0 时， x1240 ， x 1 或 x 3当 x

9、 0 时， y 1 43,点 a （ 1， 0），点 b （ 3， 0），点 d （0， 3）又抛物线的对称轴为：直线x 1，点 d 与点 e 关于 pq 对称， gd ge分别将点 a （ 1， 0）、点 e（ 2，3）代入 y kx b，得：kb02kb3k1解得：b1过 a 、e 两点的一次函数解析式为：y x 1当 x 0 时， y 1点 f 坐标为（ 0， 1） df =2又点 f 与点 i 关于 x 轴对称，点 i 坐标为（ 0， 1） eide 2di 2224225又要使四边形dfhg 的周长最小，由于df 是一个定值，只要使 dg gh hi 最小即可由图形的对称性和、，可知

10、， dg gh hf eg gh hi只有当 ei 为一条直线时，eg gh hi 最小设过 e（ 2， 3）、i（ 0， 1）两点的函数解析式为：yk1 xb1 k10 ，分别将点e（ 2， 3）、点 i（0， 1）代入yk1xb1 ，得：2k1b13b11优秀教案欢迎下载k12解得：b11过 a 、e 两点的一次函数解析式为：y 2x 11当 x 1 时， y 1；当 y 0 时， x；21点 g 坐标为（ 1， 1），点 h 坐标为（， 0）2四边形 dfhg 的周长最小为：df dg gh hf df ei由和，可知：df ei 225四边形dfhg 的周长最小为225 ；（3）如图

11、7，由题意可知，nmd mdb ，nmmd要使， dnm bmd ，只要使mdbd即可，即： md 2nmbd设点 m 的坐标为（ a， 0），由 mn bd ，可得 amn abd ，nmambdab再由（ 1）、（ 2）可知， am 1 a， bd 32 ， ab 4mnambd ab1a 3232 1a44 md 2od 2om 2a 29 ，式可写成：a 2932 14a) 32解得： a3 或 a3 （不合题意，舍去）2点 m 的坐标为（3 ， 0）2又点 t 在抛物线3yx15124 图像上，当 x 时， y22315点 t 的坐标为（，） .22优秀教案欢迎下载例 3 、解：（

12、1）点 f 在 ad 上， af 2=a2 a2，即 af=2a ； dfb2a ； s dbf1 dfab1 （ b2a） b1 b23 ab ；2222（2）连接 df， af ，由题意易知af bd ，四边形 afdb是梯形； dbf 与 abd 等高同底，即bd 为两三角形的底；由 af bd ，得到平行线间的距离相等，即高相等， s dbfs abd1 b2 ；2（3）正方形 aefg 在绕 a 点旋转的过程中，f 点的轨迹是以点a 为圆心， af 为半径的圆；第一种情形：当b2a 时，存在最大值及最小值， bfd 的边 bd=2b ，当 f 点到 bd 的距离取得最大、最小值时，s

13、 bfd 取得最大、最小值；如图，当 df bd 时， sbfd 的最大值 =12b22bb2a2222ab，s bfd 的最小值 =12b22bb2a2222ab；其次种情形：当b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，s bfd的最大值 =b2ab2；2优秀教案欢迎下载例 4、 解：（ 1）由 1 x+1=0 ，得到 x= 2， a （ 2， 0）；21由x+1=3 ，得到 x=4 ， b （4， 3）；2 y=ax2 +bx3经过 a 、b 两点，4a2b3=016a+4b3=3，解得1a=2；b=12设直线 ab 与 y 轴交于点e，就 e（ 0，1）；依据勾股定理，得ae=5 ；pcy

14、 轴， acp= aeo ； sinacp=sinaeo=oa225；ae55（2）由（ 1）可知抛物线的解析式为y= 1 x 21 x3 ；22由点 p 的横坐标为m ，得 p12m，m1m3， c1m， m+1；222pc=1 m+11 m21 m31 m2 +m+4 ；2222在 rt pcd 中，pdpc sinacp=1 m 2 +m+425 =5295m1+，25555 <50 ，当 m=1 时， pd 有最大值95 ；5存在满意条件的m 值，m= 5 或 32 ；29优秀教案欢迎下载例 5、解：（ 1）将点 a（4，0）和点（ -2 ，6）的坐标代入2y=ax+bx 中，得

15、方程组16a+4b=0，4a-2b=6解之，得a= 12 . 抛物线的解析式为b=-2y= 1 x2 -2 x .2（2）连接 ac交 ob于 e.直线 m切c于 aacm， 弦ab=ao， abao . acob， mob. oad=aob， oa=4 tanaob=3 ， od=o·a tan oad=×443 =3.4作 ofad 于 f. 就 of=o·a sin oad=×43 =2.4.5t 秒时， op=t,dq=2t ，如 pqad，就 fq=op= t.df=dq fq= t.odf中， t=df=od 2of 2 =1.8 秒.（ 3）令 rx,1 x2 2x 0 x 4.212作 rgy轴于 g 作 rhob于 h交 y 轴于 i. 就 rg= x， og=x2+2x.rtrig 中， gir=aob， tan gir=3