初中数学知识概要北师大版

1、中学数学学问概要学习必备欢迎下载(1) 实数 a 的相反数是a 本部分内容是在对比“九义" 教材与“新课标" 基础上结合长期的教改实践，较为详实地提炼出了整个中学数学中关于“数与代数”、“统计与概率 "- “生活中的图形 " 、“平面图形与三角函(2) a 和 b 互为相反数ab0 2倒数(1) 实数 a a 0 的倒数是1 a数”四个领域的双基内容，以供同学们在演练中备查基础学问第一部分数与代数主要内容包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是讨论数(2) a 和 b 互为倒数(3) 留意 0 没有倒数3肯定值ab1；量关系和变化规律的数学模型，可以帮忙

2、人们从数量关系的角度更精确、清晰地熟悉、描述和把握现实世界，以下分别将各模块学问点加以整理收集一、实数 一 实数的组成(1) 一个正实数的肯定值是它本身；一个负实数的肯定值是它的相反数； 0 的肯定值是0即：a a0a0 a0a a0(2) 实数的肯定值是一个非负数，从数轴上看， 一个实数的肯定值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离3 几个非负数的和等于零就每个非负数都等于零，例如： 如abc20 ，就 a0 ， b0 ， c0 4 n 次平方根平方根，算术平方根：设被开方数a0 ，称a 叫 a 的算术1有理数：任意一个有理数都可以写成分数p 的形式，其中qp 与 q 是整数且最大公约数是1，

3、这是有理数的重要特点，例：是无理数而不是分数32无理数2(1) 它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环二者缺一不行平方根，a 叫 a 的平方根正数有两个平方根，它们互为相反数0 的平方根是0负数没有平方根（2）立方根：3 a 叫实数 a 的立方根一个正数有一个正的立方根 0 的立方根是0一个负数有一个负的立方根(2) 它有三种形式：开不尽方根，如3（3）算术平方根与肯定值的联系：aa 特殊常数，如圆周率特定结构的无限小数，如01010010001 每两个1 之间依次多一个 0 3判定一个实数的属性 如有理数、 无理数 ，应遵循： 一化简，二辨析，三判定要留意： “神似”或“形似”都不能作为判

4、定的标准 二 实数中的几个概念1相反数（4）算术平方根的估算方法：两端靠近法例如：估算6 精确到 01 22632 263 又 2.425.76 ， 2.526.25又 6 更靠近 576，62.4（三）近似数与科学记数法学习必备欢迎下载必需由单项式组成表达和的运算(3) 同类项：所含字母相同， 并且相同字母的次数也相同的项同类项必需同时具备两个条件：所含字母相同1. 科 学 记 数 法 ： 把 一 个 数 写 成 a10n的 形 式 （ 其 中相同字母的指数也分别相同2运算1a1 0，n 是整数 ，这种记数法叫做科学计数法；（1）确定 a ： a 是只有一位整数数位的数（2）确定 n：当原数

5、1 时， n 等于原数的整数位数减1；当原数 <1 时， n 是负整数，它的肯定值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）；2. 近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；3. 有效数字：一个近似数，从左起第一个不是0 的数字起，到精确到的数位止，全部的数字，都叫做这个数的有效数字4按精确度或有效数字取近似值，肯定要与科学计数法有机结合起来二、代数式(1) 整式的加减合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变去括号法就：括号前面是“+"号，把括号和它前面的“+" 去掉，括号里各项都不变

6、号：括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一" 号去掉，括号里各项都变号添括号法就： 括号前面是“ +"号， 括到括号里的各项都不变；括号前面是“一 " 号，括到括号里各项都变号整式的加减运算，其实质是合并同类项，方法是在运算时，假如遇到括号， 就依据去括号的法就或乘法安排律，先去括号，再合并同类项(2) 整式的乘除幂的运算性质：（一）代数式1. 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫代数式单独的一个数或一个字母也是代数式a ma na m n a m namnabna nb n2. 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，运算后所得的结ama na

7、m n （a0 ） a01 （ a0 ）果，叫做代数式的值3. 代数式的分类：a p 1 pa1 （ a0 ）a p系数单项式次数单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，就连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘：就是依据安排律用单项式去乘多项式有理式整式项的每一项，再把所得的积相加，即：代数式多项式次数排列mabcmambmc分式无理式多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘以另一个多 项 式 的 每 一 项 ， 再 把 所 得 的 积 相 加 ， 即 ： 二 整式的有关概念及运算ab mna ma nb mb n1概念(1) 单项式：单项式是数

8、与字母的积其含义有：不含有加、减运算符号字母不显现在分母里单独的一个数或者字母也是单项式不含“符号”(2) 多项式：多项式是几个单项式的和其含义有：单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，就连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式：用这个多项式的每一项去除以这个单项式，再把所得的商相加乘法公式：平方差公式： ab aba 2b2学习必备欢迎下载式的约分其步骤是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式 在平方差公式中， 符号相同者为“a " ，符号相反者为 “ b ”(4) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式完全

9、平方公式： 三 分解因式ab 2a 22abb 2(5) 通分：把几个异分母的分式分别化成与原先的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分*6 最简公分母：各分母全部系数的最小公倍数与因式的最高1分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式分解因式次幂的积叫最简公分母2分式的基本性质2常用分解因式的方法(1) 提公因式法，即：mambmcmabc 1a amb bm,aambbm（其中 m0 ）其分解步骤为：确定多项式的公因式，公因式 =各项系数的最大公约数与相同(2) 分式的符号法就：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变3分式的运算

10、字母的最低次幂的积将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式2 运用公式法(1) 加、减：abab cccacadbcad平方差公式：a2b 2ab abbdbdbdbd完全平方公式：a 22 abb2 ab 2(2) 乘、除：acacacad bdbdbdbc运用时，应留意：假如多项式中各项含有公因式，应当第一提取公因式，然后再考虑运用公式公式中的字母，既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式(3) 十字相乘法： 新教材中已不作要求，但此方法在解题中特别适用4 分组分解法严格地讲，分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式法或运用公式法制造条件，即先把多项式各项

11、适当分组，以达到最终能用提公因式或运用公式分解因式的目的 3分解因式的一般步骤(1) 假如多项式的各项有公因式，那么先提公因式(2) 假如各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解(3) 假如用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解(4) 分解因式，必需进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 四 分式1分式定义：式子鲁叫做分式，其中a，b 表示两个整式，且b 中含有字母3 乘方： a nanbb n*4 繁分式： 分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式 通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法就进行化简（五）二次根式*1. 二次根式的概念：式子a a0 叫做二次根式；（1）

12、最简二次根式满意：被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式* （ 2）同类二次根式：化成最简二次根式后，假如被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；* （ 3）分母有理化：把分母中的根号化去叫分母有理化* （ 4）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式如： 23 与 23 互为理化因式2. 二次根式的性质2(1) 分式无意义：当b=0 时，分式无意义；当bo时，分式有 意义（1） a a a0(2) 分式的值为0：当 a=0 且 b0时，分式的值为0(3) 分式约分： 把一个分式的分子与分母的公

13、因式约去，叫做分（2）abab a0， b0a a（3）ab b0，b0学习必备欢迎下载1一元方程(1) 一元一次方程的标准形式：2a a0axb0 a0（4）注：aaa abb ba a0(2) 一元一次方程的解法(3) 一元一次方程有唯独的一个解说明：对于以x 为未知数的最简方程axb ，如没有给出字母 a 和 b 的取值范畴，其解有下面三种情形：b*3. 二次根式的运算 a0 时一元一次方程，有唯独解xa（1）加减运算的实质是合并同类二次根式，其步骤是先化简，后找“同类”合并 a0 ， b a0 ， b0 时，方程无解0 时，方程有很多个解（2）乘除运算的法就是逆向运用二次根式的性质（2

14、）（3）；做乘法时，要敏捷运用乘法法就；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化；2一元二次方程(1) 一元二次方程的一般形式：ax 2bxc0a0三方程与方程组（一）方程1. 方程：含有未知数的等式叫做方程，它包含两层意思：一是含有未知数，二是等式，二者缺一不行；从定义可说明方程是等式，但等式不肯定是方程；2. 方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方(2) 一元二次方程的解法特殊解法：直接开平方法： 一般解法：配方法bb2x2a a04ac程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根3. 解方程：求方程的解的过程，叫做解方程*4. 同解方程： 假如两个方程的解相同，那么这两个

15、方程叫做同公式法：x b 22a4ac0解方程*3 一元二次方程根的判别式：b 24ac*5. 方程的同解原理（ 1）方程两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程2 方程两边都乘以 或除以 同一不等于0 的数，所得方程与原方程是同解方程6方程的增根与遗根(1) 在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根(2) 在方程变形时， 由于盲目变形， 在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根7方程的分类一元一次方程整式方程一元二次方程0方程有两个不相等的实数根0方程有两个相等的实数根0方程无实数根0方程有两个实数根；反之：0一元二次方程有两个不等实根a0

16、0一元二次方程有两个相等实根a00一元二次方程无实根有理方程方程* 无理方程分式方程* 高次方程a00一元二次方程有两个实根a0 二 一元方程结论：（1）如二次三项式ax2学习必备欢迎下载bxc 是完全平方式， 就方程a xb ycax 2bxc0 的判别式=0；1 一般形式：111a2 xb2 yc2（ 2）方程ax2bxc0 有实数根，包括两种情形：（ a1， b1， c1， a2， b2， c2不全为 0）a 0 有两个实数根，a0 ，只有一个实数根；代入法或加减法说明：根的判别式最常见的用法有：不解方程判别一元二次方程根的情形；由方程根的情形确定某些字母的值或范畴* （4）、一元二次方

17、程的根与系数的关系（韦达定理）：2 解法：二元一次方程组2三元一次方程组(1) 一般形式：a1 xb1 yc1 zd1消元一元一次方程组如 果 ax 2bxc0a0 的 两 个 根 是b cx1， x2 ， 就a2xb2 yc2 zd2 a3 xb3 yc3 zd3x1x2， x1x2aa(2) 解法： x2x2 xx 22 x x三 元 一 次 方 程 组代入法或加减法二 元 一 次 方 程 组12121 2消元11x2x1， x1x2代入法或加减法消元一元一次方程组x1x2x1 x2a3二元二次方程组（5）、一元二次方程的应用题（1）商品利润问题：每件商品利润=售价进价涨价时：商品总利润

18、=每件商品利润×商品件数= 原先利润 +涨价 ×（原先件数削减件数） 降价时：商品总利润 =每件商品利润×商品件数= 原先利润降价×（原先件数 +增加件数）（2）增长率问题：(1) 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(2) 由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组基本解法是：消元，转化为解一元二次方程；降次，转化为解二元一次方程组 四 列方程 组 解应用题列方程 组 解应用题， 千万不要死记硬背例题的类型及其解法，要详细问题详细分析，一般来讲，应按下面的步骤进行： 1审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出能够

19、表示应用问题的全部含义的等量关系 a 1nxnb （其中 a 是原先数量，n 是增长次数，b 是22设未知数：挑选一个或几个适当的未知量，用字母表示，并 依据题目的数量关系， 用含未知数的代数式表示相关的未知量次增长后到达数）aa 1xa 1xb3列方程 组 ：依据等量关系列出方程 组 （ 3）矩形内修路问题的常用思路是用平移集中法；3分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程(1) 分式方程的解法一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母特殊解法：换元法(2) 验根： 由于在去分母过程中，当未知数的取值范畴扩大而有可能产生增根因此，验根是解分式方程必不行少的步骤，一 般把整式方程的根的

20、值代人最简公分母，看结果是不是零，使4解方程 组 ：其过程可以省略，但要留意技巧和方法；5检验：第一检查所列方程 组 是否正确，然后检验所得方程的解是否符合题意6写答：不要遗忘单位名称四、不等式与不等式组 一 一元一次不等式的解法即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为最简公分母为零的根是原方程的增根，必需舍去说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法axb 或 axb a等式的解集0 的形式， 再把系数化为1 得出不 三 多元方程组1二元一次方程组说明：在去分母和化系数为l 时，需特殊留意不等式两边同时乘以 或除以 一个负数，要将不等号转变方向，其解集情形如下：当 a0 时

21、， xb 或 xb aabb学习必备欢迎下载要的方法，要留意横坐标与纵坐标的次序不能颠倒3不同位置点的坐标的特点(1) 坐标轴上点的坐标的特点 x 轴上点的纵坐标为0，一般记为px ，0 ·当 a0 时， x 或 x aay 轴上点的横坐标为0，一般记为q0，y当 a0 时，如 b0 ，不等式无解 或不等式的解集为一切(2) 各象限内点的坐标的特点实数 如：点 px ，y 在第一象限x>0， y>0当 a0 时，如 b0 ，不等式的解为一切实数 或不等式无点 px ，y 在其次象限x<0， y>0解 二 一元一次不等式组的解法即先求出不等式组中每一个不等式的解

22、集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情形可见下表 其中 ab 口诀不等式组解集在数轴上表示点 px ，y 在第三象限x<0， y<0点 px ，y 在第四象限x>0， y<0同小取小xaxa4点p x， y 坐标的几何意义xbabxa同大取大xbxbab(1) 点 p x， y 到 x 轴的距离是y (2) 点 p x， y 到 y 轴的距离是x 22(3) 点p x， y 到原点的距离是xy大小取中xaaxb5关于坐标轴、原点对称的两点坐标的特点：xbab1 点 p x， y 关于 x 轴的对称

23、点是p1 x，y xb两背为空xa不等式组2 点 p x， y 关于 y 轴的对称点是p2 x， y 无解ab3 点 p x， y 关于原点的对称点是p3 x， y 五、函数及其图象6 1 如 pqx 轴，就 y pyq 留意：两条坐标轴不属于任何象限2点的坐标： 设点 p 是坐标平面内的任一点，由点 p 向 x 轴作垂线，垂足对应着x 轴上的一个实数a ；由点 p 向 y 轴作垂线，垂足对应着y 轴上一个实数b ，就点 p 的坐标就是 a，b ，其中 a 叫点 p 的横坐标， b 叫做点 p 的纵坐标说明：点的坐标的定义实际上给出了求点的坐标的一种特别重段 ab 的中点时x 一 平面直角坐标

24、系在平面内画两条有公共原点且相互垂直的数轴，就建立了平面2 如 pqy 轴，就xpxq 直角坐标系，该平面就叫坐标平面1坐标平面的结构：由四个象限和两条坐标轴构成7如 a x1， y1 ， b x2，y2 ，当 px0， y0 是线x1x202yy1y202*8. 如 a x1，y1 ， bx2， y2 ，就ab xx 2 yy 2学习必备欢迎下载 k0直线过点 0 ， b 且平行于 x 轴的直线1212 k0倾斜角为钝角9坐标平面内的点和有序实数对x ，y 之间建立了一一对应关系 二 函数的概念2b 打算直线与y 轴交点的位置b>0直线与 y 轴交点在 x 轴的上方b=0直线过原点b&

25、lt;0直线与 y 轴交点在 x 轴的下方；b21常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量 2函数：在某一变化过程中的两个变量x 和 y ，假如对于 x 在某一范畴内的每一个确定的值，y 都有唯独确定的值和它对应，那么 y 就叫做 x 的函数，其中x 做自变量， y 是因变量1 自变量取值范畴的确定整式函数自变量的取值范畴是全体实数分式函数自变量的取值范畴是使分母不为0 的实数二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，如涉及实际问题的函数，除满意上述要求外仍要使实际问(3) 如图 l ， s(4) 如图 2， kyabox

26、图 1aob2 ktanyaoxb图 2题有意义2 函数值： 对于自变量在取值范畴内的一个值所求得的函数的5 设直线 l 上有两点，a x1， y1 ，bx2， y2 对 应 值 3函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法由函数的解析式作函数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线y1y2就 kx1x22二次函数 三 几类特殊函数1一次函数 见下表 自变函量取解析式数值范围图象增减性ya xh 2kyax 2bxcya xx1xx 2正比ykx全体例当k>0时， y直线 x h直线 xb开口a0开口向上函数有最小值顶点为最低点方a0开口向下函数有最大值顶点为最高点向对称2a轴直线 xx1

27、x 22 k0函实数数一次函ykkx0b全体实数数k>0k<0随 x 增顶大而增点b4ac b2xx- a xx 2 h， k ，12，12大；坐当标2a4a24k><0时， y当 a0 时，在对称轴左侧， y 随着 x 的增大而削减；在增对称轴右侧， y 随着 x 的增大而增大；当a0 时，在对k>0k<0随 x 增大而减小；减称轴左侧， y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随性着 x 的增大而削减；b说明：直线位置与常数的关系当x，2a当x1 x21 k 打算直线的倾斜角 直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角的大小 最当 x h ， y

28、最 值 k值y最值4ac b2 4ax，求 y最值2用代入法 k0倾斜角为锐角留意：抛物线位置由a、b、c 打算(1) a 打算抛物线的开口方向学习必备欢迎下载二次函数yax2bxc a0 的顶点在 y 轴上 a0开口向上二次函数的图象关于y 轴对称b0 ； a0开口向下二次函数yax2bxc a0 经过原点，就(2) c 打算抛物线与y 轴交点的位置c0 ； c0 c0图象与 y 轴交点在 x 轴上方图象过原点（11）二次函数的解析式： c0图象与 y 轴交点在x 轴下方一般式：yax 2bxc a0 ，用于已知三点；(3) a、b 打算抛物线对称轴的位置 对称轴： xb2a a、b 同号对

29、称轴在 y 轴左侧顶点式：对称轴；ya xh2k ，用于已知顶点坐标或最值或 b0对称轴是 y 轴（ 3）交点式： ya xx1xx2 ，其中x1 、x2 是二次函数 a、b 异号对称轴在 y 轴右侧b4ac b2与 x 轴的两个交点的横坐标；如已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式；(4) 顶点坐标 522a ， 4a 3反比例函数（1）反比例函数的定义：b4 ac 打算抛物线与x 轴的交点情形 、k>0抛物线与 x 轴有两个不同交点一般地，形如y（ k 为常数， kx0 ）的函数，称为 =0抛物线与 x 轴有唯独的公共点 相切 <0抛物线与 x 轴无公共点6 二次函数是否具有

30、最大、最小值由a 判定当 a>0 时，抛物线有最低点，函数有最小值反比例函数；其中自变量x 的取值范畴为x0 ；yk k0 x当 a<0 时，抛物线有最高点，函数有最大值y 与 x 成反比例xykk0（7） 2ab、 abc 、 4a2bc 的符号的判定：ykx 1k0表达式，请代值，对应y 值定正负；对称轴，用处多，三种式子a 相约；2、反比例函数的图象和性质y 轴两侧判 a、b ，左同右异中为0；1 的两侧判 2ab ，左同右异中为0；-1 两侧判 2ab ，左异右同中为0.（ 8）函数图象的平移：左右平移变x ，左 +右；上下平移变常数项，上 +下- ；平移结果先知道，反向平

31、移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来查找；k 的 符号图像的大致位置经过k 0k 0（9）对称：yax2bxc 关于 x 轴对称的解析式为第象限第象限象限yax2bxc ，关于 y 轴对称的解析式为性质在每一象限内， y在每一象限内， y 随 xyaya x2x2bxbxc ，关于原点轴对称的解析式为c ，在顶点处翻折后的解析式为随 x 的增大而（1）反比例函数的图象是两支双曲线；的增大而ya xh2k （ a 相反，定点坐标不变） ；（2）k0图象过一、 三象限在每一象限内，y 的（ 10）结论：二次函数yax2bxc a0 与 x值随 x 值的增大而减小；轴只有一个交点二次函数的顶点在x

32、轴上=0；k0图象过二、四象限在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大；学习必备欢迎下载3 利用抽样收集数据时应留意考虑以下三点：顺口溜：反比性质很特殊，一三k 正二四负；一增一减k 为正，同增同减k 是负；（ 3）反比例函数是既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称中心是原点；（ 4） k 的几何意义k被调查的对象不得太少被调查的对象应有随机性被调查的数据应是真实的 二 反映数据集中趋势的特点数 1平均数1设 p x， y 是反比例函数y图象上任一点，过点px1x1 ， x2 ，xn 的平均数：xx1nx2.xn 作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为a，就111(2) 加权平均数：假如n 个数

33、据中，x1 显现f1 次，x2 显现f2（1） opa的面积oa paxyk 222次，xk 显现fk 次 这里 f1f2.f kn ，就（2）矩形 oapb的面积oa paxyk ；这就是系数 k的几何意义并且无论p 怎样移动， opa的面积和矩形oapb的面积都保持不变；xx1 f1f1x2 f2f 2.xk f kfk矩形 pcef面积 = 4 k ，平行四边形pdea面积 = 2 ky(3) 平均数的简化运算：当一组数据x1 ， x2 ，xn 中各数据的 数 值 较 大 ， 并 且 都 与 常 数 a 接 近 时 ， 设 x1a ，bpcbpoadoaxx2a ，xna 的平均数为&#

34、39;x ，就'xxa ef说明： k 打算双曲线的位置(1) k>0图象在一、三象限内(2) k<0图象在二、四象限内其次部分统计与概率主要内容是学习现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对大事发生的可能性的刻画，来帮忙人们做出合理的推断和猜测，以下分别从各个学问点加以整理概述一、统计初步2中位数：将一组数据按从小到大的次序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，假如数据的个数为偶数， 中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数 3众数：在一组数据中，显现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据的众数可能不止一个 4极差

35、：最大值减去最小值的差 三 反映数据波动大小的特点数 1方差1x1 ， x2 ，xn 的方差：xx 2 xx2.xx2s212nn1（2） s2 x2x2.x2 nx 2 一 总体和样本1总体和个体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做12nn总体，其中每一个考察对象叫做个体2样本和样本容量： 从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本， 样本中个体的数目叫做样本容量样本容量没有单位；说明：当较简便x1 ， x2 ，xn 为较小的整数时，用该公式运算方差23数据收集与处理的有关概念(1) 普查：为了肯定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普3x1 ， x2 ，xn 方差为s ，设 a 、

36、b 为常数，2查；(2) 从总体中抽取一部分个体进行调查称为抽样调查；就 x1b ， x2b ，xnb 的 方 差为 s； ax1b ，ax2b ，axnb 的方差为a2 s2学习必备欢迎下载们的可能性相同就称为等可能大事等可能大事必需具备条件均等及随机性3概率说明 x1 ， x2 ，xn 各数据较大且与常数a 较接近时，用该法关注大事可能显现的结果数运算方差较简便2标准差：方差 s2 的算术平方根叫做标准差s p 关注大事 全部可能显现的结果数 四 频率分布1有关概念(1) 分组：将一组数依据统一的标准分成如干组，称为分组，当数据在 100 个以内时，通常分成5 12 组(2) 频数： 每个

37、小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和等于数据总数n(3) 频率：每个小组的频数与数据总数n 的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l (4) 频率分布表： 将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表(5) 频率分布直方图：将频率分布直方表中的结果，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距；每个小长方形的面积等于该组的频率；全部小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另ij占样本容量 n 的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总

38、体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估量总体的频率分布 2讨论频率分布的方法：得到一组数据的频率分布的方法，通常是先整理数据，后画频率分布直方图其步骤是：运算最大值与最小值的差打算组距与组数打算分点列频率分布表绘频率分布直方图 五 各种统计图的特点1条形统计图：能清晰地表示出每个项目的详细数目2折线统计图：能清晰地反映事物的变化情形3扇形统计图：能清晰表示出各部分在总体中所占的百分比二、概率1必定大事：对于一个大事，假如每一次都能发生或者百分之百发生的大事称为必定大事不行能大事：对于一个大事，一 定不能发生的大事称为不行能大事2等可能大事：一个大事只有两种结果，即一正一反，并且他简记作

39、 p= 关注数目全部数目4几种概率(1) 必定大事概率为1，记作p必定大事 =1(2) 不行能大事概率为0，记作p不行能大事 =0(3) 假如 a 为不确定大事，那么0<pa<15几何型概率= 关注大事全部可能结果所组成的图形面积全部可能结果组成的图形的面积6余大事概率：一个大事a 的余大事的概率=1pa7试验频率与理论的关系当试验次数很大时，试验频率稳固在相应的邻近但这并不意味着试验次数越大，就越为靠近 8嬉戏规章公正性的标准是各方获胜的概率相同9运算概率的常用方法：一是画树状图；二是列表10求概率的一个重要技巧：求某一大事的概率较难时，可先求其余大事的概率即正难就反易第三部分生

40、活中的图形一、空间图形1图形是由点、线、面构成的点动成线，线动成面，面动成体面与面相交得线，线与线相交得点2常见的几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球3棱柱的有关概念和特点(1) 在棱柱中， 任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱(2) 棱柱的全部侧棱长都相等，棱柱的上、下底面的外形相同，侧面的外形都是长方形 4截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面 5几何体的三视图：把从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图二、图形的平移与旋转 一 平移学习必备欢迎下载5 作线段的垂直平分线2等腰三角形的性质定理：1概念：在平面内，将

41、一个图形沿某个方向移动肯定距离，这样的图形运动称为平移2平移的特点(1) 平移不转变图形的外形和大小(2) 经过平移， 对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等 二 旋 转1概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心， 转动的角称为旋转角2旋转的特点(1) 旋转不转变图形的大小和外形(2) 经过旋转， 图形上的每一点都绕旋转中心沿同方向转动了相同的角度任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 三 位 似 变 换1位似图形：假如两个图形不仅是相像图形，而且每组对应点 所在的直线都经过同一点，

42、那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相像比又称为位似比；(1) 等腰三角形的两个底角相等简写成：等边对等角推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重 合简写成：等腰三角形底边上三线合一推论 2：等边三角形的各角都相等，且每一个角都等于60°(2) 等腰三角形的判定定理：假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成：等角对等边推论 1：三边都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角等于60；的等腰三角形是等边三角形推论 3：在直角三角形中，假如一个锐角等于30°那么官所

43、对的直角边等于斜边的一半3线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4勾股定理：直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c的平方即：a 2b2c2 2位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 四 空 间 的 垂 直 关 系1棱与平面的垂直：在长方体中，一条棱垂直于一个面内两条相交的棱，这条棱与这个面就相互垂直 2面与面垂直：一个面经过另一个面的一条垂直的棱，这两个逆定理：假如三角形边长a，b，c 有关系： a2b 2么这个三角形为直角三角形 二 线段与角1直线、射线、线段、角的有关概念2两点间的距离：连接两点的线段的长度3直线公理和线段公理c2 ，那面就相互垂直第四部分平面图形与三角函数主要内容涉及到现实世界中的物体，几何体和平面图形的外形、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地熟悉和描述生活空间并进行沟通的重要工具以下分别从各个学问点加以整理收集一、线段、角与三角形 一 命题、定理、逆定理1基本作图(1) 作一条线段等于已知线段(2) 作一个角等于已知角(3) 平分已知角(4) 经过一点作已知直线的垂线(1) 直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线简写成：过两点有且只有一条直线(2) 线段公理：两点之间，线段最短4余 补 角性质：同角