初中数学竞赛精品标准教程及练习44：数的整除

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（44）数的整除（二）一、内容提要第一讲介绍了能被2，3，4， 5， 7， 8， 9， 11，13，25 整除的自然数的特点，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法就：n 个连续正整数的积能被n！整除. （n 的阶乘： n！ 1×2× 3×× n）.例如： a 为整数时， 2aa+1 ，6aa+1a+2,24aa+1a+2a+3，如 a b且 ac,就abc.如 a,b 互质，且 ac,bc，就 abc .反过来也成立： a,b

2、 互质，abc，就 ac,bc.例如： 8 和 15 互质， 8a, 15|a，就 120a.反过来也成立：如 120 a.就8a, 15|a.由乘法公式（ n 为正整数）推得：n-1n-2n-2n-1nnnn由a ba+ab+ab+b=a b.得ab|a b .2n2n 12n12n2n+12n+12n+12n+1a+ba ab+ab+b =a+b.a+b|a+b.a+ba 2n 1 a2n 2b+ab2n2 b2n 1=a 2nb2n .a+b|a2nb2n.概括起来：齐偶数次幂的差式a2n b2n 含有因式 a b 和 ab.齐奇数次幂的和或差式a2n+1 b2n+1 或 a2n+1b2

3、n+1 只分别含有因式ab 或 ab.例如（ a+b）| a6b6,a b| a8b8 ；a+b|a5+b5 ，a b|a5b5.二、例题53例1.已知: 整数 n>2.求证： n 5n +4n 能被 120 整除.5342证明： n 5n +4nnn 5n +4=nn 1n+1n+2n 2.n 2 n1nn+1 n2 是五个连续整数，能被n. 整除，120n5 5n3+4n.3例2.已知： n 为正整数 .求证： n + 32n + 1 n22是 3 的倍数 .3证明： n + 32n + 1 n221 n（2n +3n+1）22= 1 nn+12n+121=nn+1n+2+n 12=

4、1 nn+1n+2+21 nn+1n 1.23！ nn+1n+2，且 3！ nn+1n 1.31 nn+1n+2+21 nn+1n 1.2即 n3+ 32n2+ 12n 是 3 的倍数 .（上两例关鍵在于制造连续整数）例 3.求证：33255 1；1989（ 1990199019881988）.证明：255 1 25×111113211111.32 1|3211+111 ，即 332551.1990198819901990199019881990 1988199019881988 1988. （添两项）19901990（ 19901988）（ 19901988）.19901990即

5、1989×2（ 19901988） .19881990 19881988=198819881988 2 1 19881988（ 1988 1）（19881）.即19901990198819881989×2n 1989× 19881988×1987.（n是整数）1989 1990199019881988.例 4设 n 是正整数，求证： 7（ 32n+1+2n+2）.2n+1n+22nnnnnn证明： 3+2 3× 3+4× 2 =3×9+4×2 3× 2 3× 2（添两项）（ 4×2 n

6、 3× 2 n）（ 3×9 n 3×2 n）nn（ 43） 3（9 2）n7× 2 3（92）n .（n 是整数） 7（ 32n+1+2n+2）（例 3， 4 是设法利用乘法公式）例5.已知 19 xy87 能被 33 整除，求 x,y 的值.解： 333×11，19+x+y+8+7 其和是 3 的倍数，即 x+y=3k25 k为整数 .又（ 1 x+8） 9+y+7 其差是 11 的倍数，即x y=11h+7h 是整数 .0x9，0 y 9，0xy18，9xy9，x+y>xy,且 x+y 和 xy 同是奇数或偶数 .符合条件的有x11x

7、或14x8或.y7y4y4x 9x解得或5x2或.y 2y9y6例 6. 设 n 2 x78 ， 且 17 n,求x.解： n2078100x=17×122417× 6x2x17×（ 122 6x）+4 2x.17n，17 4 2x ， 当42x=0.x=2.三、练习 441.要使 2n+1 能被 3 整除，整数n 应取，如6（ 5n 1）,就整数 n 应取 .2. 求证：43224.| （ n +2n n 2n）；24 nn 13n+2 ；356（ n +11n）；30（ n3. 求证：n）.1033332222100 99 1）；57（ 27）；995（ 99

8、6996994994）；1992（ 997997 995995）.4. 设 n 是正整数，求证3n +3n+2+62n 能被 33 整除.5. 求证：六位数abcabc 能被 7， 11，13，整除 .6. 已知：五位数 3 xy98 能被 77 整除，求 x,y 的值.7. 已知： a,b,c 都是正整数，且6（ a+b+c）.求证： 6（ a3+b3+c3）.三、练习 44 参考答案：1.正奇数；正偶数2.，分解为4 个连续整数 nn-1n+1+12nnn-1n+1n2-4+53. 81111 491111添项 1， 1添项 995997 9959974.化 为 3n1+3 2+36 n=11× 3n36