初中数学竞赛精品标准教程及练习25：十进制的记数法

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习25十进制的记数法一、内容提要1. 十进制的记数法就是用0，1， 29 十个数码记数的方法，位率是逢十进一；底数为10 的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1 个位数第 1 位 ， 10 1=10 十位上的数 -第 2 位 ，102=100百位上的数 -第 3 位 ，10n 第 n+1 位上的数 例如 54307 记作 5× 104+4×103+3×102+0× 101+7× 100n2. 十进制的 n 位数n 为正整数 ， a1a2

2、 a3an记作：10n-1a1+10n-2a2+10n-3+102an-2 +10an-1 +an其中最高位 a1 0，即 0<a1 9，其它是 0a1,a 2,a 3an93. 各位上的数字相同的正整数记法：例如 999=100011031， 9999 104 1， 999n个 99 10n-1111n个110n191 ， 333n个 310n331 ， 555n个 55 10n15 94解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要依据各位上的数字都是表示 0 到 9 的整数，这一性质进行争论；二、例题例1.一个六位数的最高位是1，如把 1 移作个位数，其余各数的

3、大小和次序都不变，就所得的新六位数恰好是原数的3 倍，求原六位数；解：设原六位数 1 右边的五位数为 x, 那么原六位数可记作1×105 x ，新六位数为 10x 1，依据题意，得10x13（1×105x）7x=299999x=42857原六位数是 142857例2.设 n 为正整数，运算999n个 99 × 999n个99 19999n个 9解：原数（ 10 n 1）×（ 10 n 1） +1×10n+10n 1102n2×10n+1+10n +10n1102n例3.试证明 12，1122，111222，11n个11 22n个 22

4、 这些数都是两个相邻的正整数的积证明： 123×4，112233×34，111222 333×334留意到 333×334333×（ 3331）103 -1×（31033- 1 1）由体会归纳法，得nn111 222 101 ×10n+ 2 101n个1n个 29910n3110n（3 2 ）310n3110n1（13上述结论证明白各数都是两个相邻的正整数的积例4.试证明：任何一个四位正整数，假如四个数字和是9 的倍数，那么这个四位数必能被9 整除；并把它推广到 n 位正整数，也有同样的结论；证明：设一个四位数为103 a+

5、102b+10c+d,依据题意得a+b+c+d=9k k 为正整数 ， d=9ka b c, 代入原四位数，得323210 a+10 b+10c 9ka bc（ 10 1）a+10=9111a+11b+c+k111a+11b+c+k是整数，四位数 103a+102b+10c+d, 能 9 被整除-1b+9c+9kn 1n-2推广到 n 位正整数：n 位正整数记作 10a1+a2+an-1 +an=9kk 是正整数 an=9ka1a2 an-1代入（ 1）得a1+10a2+10an-1 +an（ 1）原数 10n 1an-21+10a2+10an-1 +9ka1a2 an-112n-1（ 10n

6、-1 1）a +（10n-2 1） a +9a+9k10n-1 1， 10n-2 1，101 分别表示 999 ， 999 ，9n 1 个 9n 2 个 9原数 9（ 11n1a1 111 n1 a2 an +k）2这个 n 位正整数必能被9 整除例5.已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和； 求：这个三位数；解：设这个三位数为102a+10b+c其中 0a9, 0 b,c 9100a10b 11c 9a b ab11c 且 8 a-b+c 18它能被 11 整除， a-b+c 只能是 11 或 0； 当 a-b+c 11 时，商是 9a+b+1,依据题意得 9a+b+1a+

7、b+c，c=8a+1a只能是 1，c=9, b=a+c-11=-1 不合题意 当 a-b+c 0 时，商是 9a+b, 9a+b= a+b+c且 a-b+c 11a1解得b9c8答这个数是 198例6.一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的次序颠倒过来，再加上原数，其和是 8877，求这个正整数；解：次序颠倒过来后 , 两个数的和是 8877,可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c就个位数是 c-2,依据两个数的和是8877 试用列竖式争论答案ab cc-2从个位看 c-2+a=7或 17+ c-2cb a从千位看 a+c-2=8 没进入万位

8、8 8 7 7可知 c-2+a=7即 c+a=91从十位上看 b+c=7 或 17从百位上看 c+b=8进入千位 可知c+b=1722+1得b-a=80<a9 0 b9 b=9a=1, b=9, c=8， c-2=6答这个正整数是1986三、练习 251. 设 a 是个两位数， b 是三位数；当 a 接在 b 的左边时，这个五位数应记作 ，当 a 接在 b 的右边时，这个五位数应记作 ；2. 有大小两个两位数；大数的 2 倍与小 数的 3 倍的和是 72；在大数的右边写上一个0 再接着写小数，得到第一个五位数；在小数的右边写上大数再接着写个0，得到其次个五位数；已知第一个五位数除以其次个

9、五位数得商2，余数 590；求这两个两位数；3.运算： 1987×198619861986 ×198719874.一个 22 位数，个位数字是7，当用 7 去乘这个 22 位数时，其积也是 22 位数，并且恰好是将这个数的个位数字 7 移到最高位，其余各数的大小和次序都不变；求原22 位数；5.试证明： 112，111122，111 222 ，各数都能写成某个正整数的平方； （即证明各数都是完全平方数）2n个1n个 26. 一个两位数的两个数字对调后， 所得新两位数与原两位数的比是47；求符合条件的全部两位数；7. 已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有abcdef 

10、15;6 defabc求原六位数 abcdef8. 已知四位数 abcd 除以 9 得四位数 dcba ，求原四位数；9. 一个五位正奇数x，将 x 中的全部 2 都换成 5，并把全部 5 都换成 2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y，如 x,y i满意等式：y=2x+1,那么 x= 10. 已知存在正整数n 能使数 111n 个111被 1987 整除，求证： p=111n 个111 999n个 999 888n个 888 777n个 777 能被 1987 整除11. 一个三位数被 11 整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和；求符合条件的全部三位数；12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7；求这个三位数；13. 求证： 11111是一个合数；1990个1练习 25 参考答案：1.1000a+b, 100b+a2. 21,103. 04.仿例 1，这数是 1014492753623