初中数学证明一、二、三知识点汇总及练习题

1、名师总结优秀学问点证明（一、二）证明（一、二、三）一、命题，判定一件事情的句子，叫做命题；1. 每个命题都有 和 两部分组成； 是已知的事项， 是由已知事项推断出的事项；一般地， 命题都可以写成 “ ”的形式，其中“假如”引出的部分是 ，“那么”引出的部分是 ；2. 正确的命题称为 ，不正确的命题称为 ；3. 具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子成为反例；二、公理 ：1. 平行判定： 相等，两直线平行； 相等，两直线平行； 互补，两直线平行；2. 平行性质：两直线平行， ；3. 与三角形的有关公理（ 1） 对应相等的两个三角形全等（sss）（ 2） 对应相等的两个三角形全等（sas）（

2、 3） 对应相等的两个三角形全等（asa ）（ 4）全等三角形的 相等三、与三角形有关的定理1. 三角形内角和 2. 三角形的一个外角等于 3. 三角形的一个外角大于 4. 依据上面的公理和已证明的定理，可以证明下面的推论和定理：（ 1） 对应相等的两个三角形全等（aas ）（ 2）等腰三角形 相互重合； （简称“三线合一” ）（ 3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 ；（ 4）有一个角等于60°的 是等边三角形；（ 5）在直角三角形中， 假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ；（ 6）在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角

3、等于 ；（ 7）三个角都相等的三角形是 三角形；（ 8）等腰三角形的 相等（简称为“等边对等角”）（ 9）有 相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）（ 10）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 ；（ 11）假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 （ 12） 对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或 “hl ”）（ 13）线段垂直平分线上的点到 的距离相等；（ 14）到一条线段 距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；（ 15）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到 的距离相等；（ 这 个 交 点 也 叫 三 角 形 的 ； 不 同 的 三 角 形

4、 ， 的 位 置 不 同 ：名师总结优秀学问点 ）（ 16）角平分线上的点到这个角的 的距离相等；（ 17）一个角的内部，且到角的两边 相等的点，在这个角的平分线上；（ 18）三角形三条角平分线相交于一点，交且这一点到 的距离相等；（这个点也叫三角形的 ，都在三角形的 ）5. 反证法：在证明时， 先假设命题的结论不成立，然后推导出了冲突的结果，从而证明命题的结论肯定成立，这种证明方法称为 ；6. 互逆命题、互逆定理：在两个命题中， 假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为 ，其中一个命题称为另一个命题的 ；假如一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个定理，这

5、两个定理称为另一个定理的 ；证明（三）本章所证明的定理和推论：（ 1）平行四边形的对边 （ 2）平行四边形的对角 ，邻角 （ 3）平行四边形的对角线 （ 4） 的两个角相等的梯形是等腰梯形（ 5）两组对边分别 的四边形是平行四边形（ 6）两组对边分别 的四边形是平行四边形（ 7）一组对边 的四边形是平行四边形（ 8）对角线 的四边形是平行四边形（ 9）三角形的中位线 第三边，且等于第三边 （ 10）一个角是 的平行四边形是矩形（ 11）矩形的四个角都是 （ 12）矩形的对角线 （ 13）有 个角是直角的四边形是矩形（ 14）对角线 的平行四边形是矩形（ 15）一组邻边 的平行四边形是菱形（ 1

6、6）菱形的四边都 （ 17）菱形的对角线 ，并且每条对角线 a ） 条边相等的四边形是菱形 b）对角线 的平行四边形是菱形（ 18）本章证明的其他可以在推论过程中使用的内容： a ）夹在两边平行线间的平行线段 b）对角线 的四边形是平行四边形 c）两组对角 的四边形是平行四边形d）正方形的两条对角线 并且相互 每条对角线平分一组对角e）一个角是直角的 是正方形 f）对角线相等的 是正方形 g）对角线 的矩形是正方形 i）直角三角形斜边中线等于 h）假如三角形的一边中线等于这一边的一半，那么这个三角形是 名师总结优秀学问点答案：一、命题：1. 条件结论条件结论假如那么条件结论2. 真命题假命题二

7、、公理：1. 同位角内错角同旁内角2. 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补3. （ 1）三边（2）两边及其夹角（ 3）两角及其夹边（4）对应边、对应角三、与三角形有关的定理1. 等于 180°2. 和它相邻的两个内角之和3. 任何一个和它不相邻的内角4. （ 1）两角及其中一角的对边（ 2）顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高（ 3） 60°（ 4）等腰三角形（ 5）斜边的一半（ 6） 30°（ 7）等边（ 8）两个底角（ 9）两个角（ 10）平方（ 11）直角三角形（ 12）斜边和一条直角边（ 13）这条线段两个端点（ 14）两个端点（ 15）三个顶点外心外

8、心锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点上（ 16）两边（ 17）距离（ 18）三条边内心内部5. 反证法6. 互逆命题逆命题（ 1）平行且相等（ 2）相等互补（ 3）相互平分（ 4）同底上（ 5）相等（ 6）平行（ 7）平行且相等（ 8）相互平分（ 9）平行于一半（ 10）直角（ 11）直角（ 12）相等真命题互逆定理其中一个定理称为逆定理证明（三）（ 13）三（ 14）相等（ 15）相等（ 16）相等（ 17）相互垂直平分一组对角a ）四b）相互垂直（ 18）a ）相等b）相互平分c）相等 d）平分、相等垂直e）菱形f）菱形1g）相互垂直j）斜边的2h ）直角

9、三角形名师总结优秀学问点【典型例题】1. 如图：当（ 1）、（ 2）中的直线ma nb 时，请分别找出apb 与 map 和 nbp 的大小关系，并证明；分析： 此类题目属于探干脆题目，是现在比较流行的题目，在解这类题目时，应第一搞清已知和求证； 对于图形的变形，要力求找到新图形与旧图形之间的关系，以便推出所得结论；解： （1）延长 ap 交 nb 于 q 点 ma nb 1= 2， apb= 2+b apb= 1+b= map+ nbp（ 2） ma nb map= aob aob= apb+ nbp map= apb+ nbp apb= map nbp2. 已知： p 是线段 cd 的垂直

10、平分线上一点，pc oa ，pd ob ，求证： oc=od ； op 平分 aob分析： 此题已知中“ p 是线段 cd 的垂直平分线上一点”，简单让人错误地认为op 就是 cd 的垂直平分线了，这是不对的，期望同学们能仔细审题，把握好方向，以便顺当地解出题来；解： p 是线段 cd 的垂直平分线上一点 pc=pd pc oa ，po ob op=op rtcop rt dop（ hl ） oc=od cop= dop即 op 平分 aob名师总结优秀学问点3. 已知：de 是 ab 的垂直平分线， fg 是 ac 的垂直平分线， 点 e、g 在 bc 上，bc=10cm ， 求 aeg 的

11、周长；分析： 依据垂直平分线定理，可得ae=be ， ag=gcae 、ag 又是 aeg 的两条边， eg 是它的第三条边， aeg 的周长就是bc 的长；解： de 是 ab 的垂直平分线 be=ae gf 是 ac 的垂直平分线 gc=ag aeg 的周长 =ae+eg+ga=be+eg+gc=bc=10cm，4. 正方形 abcd 中， m 是 bc 上一点， n 是 cd 中点，且 am=dc+cm ，求证： an 平分dam ；分析： 已知 am=dc+cm ，于是可以把mc 延长并与an 的延长线交于e，利用正方形边相等和三角形全等证明am=me ，从而证明 ame为等腰三角形，

12、得到两底角相等，进 而证明 an 平分 dam ；证明： 延长 mc 交 an 延长线于e n 是 dc 中点， dn=cn又四边形abcd 是正方形， ad=cd ， d= nce=90 ° ad cb， 1= 2在 adn 和 ecn 中dncn dane dnce adn ecn （aas ） ce=ad=cd又 am=cm+cd am=cm+ce=me ame 为等腰 e= eam又 e= dan dan= nam名师总结优秀学问点即 an 平分 dam ；【模拟试题】1. 已知， abc 中， dac= b，求证： adc= bac ；2. 如图：求证： bdc> a

13、 bdc= b+ c+ a如点 d 在线段 bc 的另一侧，结论会怎样；3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的a 沿侧面到点 c'处吃食物，它怎样走路径最短？并求出其长？5. 已知：沿折痕ac 折叠长方形abcd 的一边，使点d 落在 bc 边上一点f，如 ab=8 ，且 s abf =24 ，求 ec；6. 已知：de 是 ab 的垂直平分线， fg 是 ac 的垂直平分线， 点 e、g 在 bc 上，bc=10cm ， 求 aeg 的周长；7. abc 中， ab=ac=9cm ， bac=120 °， ad 是 abc的中线， ae 是 bad 的平分线， df ab 交 ae 的延长线于f，求 dff名师总结优秀学问点【试题答案】1. 证明： adc 是 abd 的外角 adc= b+ bad bac= dac+ bad b= dac adc= bac2. 证明：延长bd 交 ac 于 e bdc 是 cde 的外角 bdc> dec dec 是 abe 的外角 dec> a bdc> a同理， bdc= c+ dec dec= a+ b bdc= a+ b+ c bdc=360 °（ a+ b