《应力状态分析》PPT课件

1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析7-1 7-1 应力形状概述应力形状概述AF轴向拉伸杆件轴向拉伸杆件FFFpxnFp)2sin(2cos2斜截面应力：斜截面应力：问题问题1 1：同一点处不同方位截面上的应力不一样；：同一点处不同方位截面上的应力不一样；横截面应力：横截面应力：梁弯曲的强度条件：梁弯曲的强度条件： .,*maxmaxmaxmaxbISFWMzszzzFFFl)(B问题问题2 B2 B点处应力该如何校核？点处应力该如何校核？BB 有必要研讨一点的应力形状。有必要研讨一点的应力形状。 横截面上正应力分析和切应力分析的结果阐明：横截面上正应力分析和切应力分析的结果阐明：同一面

2、上不同点的应力各不一样，此即应力的点的概念。同一面上不同点的应力各不一样，此即应力的点的概念。QFMzNF应力的三个重要概念应力的三个重要概念应力的三个重要概念应力的三个重要概念 单元体平衡分析结果阐明：即使同一点不同方单元体平衡分析结果阐明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不一样的，此即应力的面的概念。向面上的应力也是各不一样的，此即应力的面的概念。yxy 研讨应力形状的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最研讨应力形状的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面思索构件破坏的缘由，建立适当大应力，从而全面思索构件破坏的缘由，建立适当 的强度条件。的强

3、度条件。 过一点不同方向面上应力的过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力形集合，称之为这一点的应力形状。状。 x y z xy yx yz zy zx xz1 1、主平面与主应力：、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力：作用于主平面上的正应力。xxyyxy主应力陈列规定：按代数值由大到小。主应力陈列规定：按代数值由大到小。321 过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：单位：MPa3010;30;10;50321;30; 0;10321a、单

4、向应力形状：只需一个主应力不等于零，另两个主应力、单向应力形状：只需一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力形状。都等于零的应力形状。b、二向应力形状：有两个主应力不等于零、二向应力形状：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力，另一个主应力 等于零的应力形状。等于零的应力形状。c、三向应力形状：三向主应力都不等于零的应力形状。、三向应力形状：三向主应力都不等于零的应力形状。 2)2)、应力形状的分类、应力形状的分类平面应力形状：单向应力形状和二向应力形状的总称。平面应力形状：单向应力形状和二向应力形状的总称。复杂应力形状：二向应力形状和三向应力形状的总称。复杂应力形状：二向应力形状和三向

5、应力形状的总称。空间应力形状：三向应力形状空间应力形状：三向应力形状简单应力形状：单向应力形状。简单应力形状：单向应力形状。纯剪切应力形状：单元体上只存在剪应力无正应力。纯剪切应力形状：单元体上只存在剪应力无正应力。yxz x y z xy yx yz zy zx xzxyx y yx xyxyxxy yx xy应力表示应力表示单元体：单元体：dzdydxBCDdxdx、dydy、dzdz微小的正六面体微小的正六面体单元体某斜截面上的应力就代表了构件内单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。对应点同方位截面上的应力。PABCDB、C单向受力，单向受力，0A纯剪切，纯剪切，

6、 0D既有既有 ，又有，又有FPl/2l/2S 截面截面5432154321S截面截面4PlFMz 2PF5432154321S 截面截面4PlFMz 2PF1x12 2x2233FPlaS截面截面xzy4321yxzMzFQyMx43211pxWM 1 zzxWM 1 43pxWM 3 p3WMxzzxWM3yzx7-2 7-2 二向和三向应力形状的实例二向和三向应力形状的实例42DpF02 plDl0sin2plDdDplFN2pD DpD427 73 3 二向应力形状分析二向应力形状分析 解析法解析法等价等价xxxyyxyyxyoxyozxyxyxyyx空间问题简化空间问题简化为平面问题

7、为平面问题xyxyxyyxxyon- - 逆时针转为正。逆时针转为正。设：斜截面面积为设：斜截面面积为A A，由分别体平衡得：，由分别体平衡得：;0 FndAxyxyxyyxafetnxxyxyyxafe:cos:sinefdAaedAafdA单元体各面面积单元体各面面积cos)cos(dAx(cos )sinxydAsin)sin(dAy(sin )cos0yxdA2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由切应力互等定理和三角变换，可得：tnxxyxyyxacb:;:cos ;:sinefdAaedAafdA0,(cos)sin(cos)cos(sin)cos(sin)si

8、n0txxyyyxFdAdAdAdAdA符号规定：符号规定：1 )1 )“正负号同正负号同“ ； 2) 2) “t at a正负号同正负号同“t t ； 3) 3) “a a为斜面的外法线与为斜面的外法线与 x x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。留意：用公式计算时代入相应的正负号。为负。留意：用公式计算时代入相应的正负号。2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(讨论：讨论：yx0901)、090cos2sin222xyxyxy090sin2cos22xyxy 即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。090 即又一次

9、证明了剪应力的互等定理。, 00dd2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(讨论：讨论：2)、 的极值的极值 主应力以及主平面方位主应力以及主平面方位002sin2cos2202xyxy0002(sin2cos2)202xyxy 00即yxxytg220 可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。主平面的方位)90;(00002sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(22maxmin()22xyxyxy主应力的大小主应力的大小讨论：讨论：2)、 的极值的极值 主应力以及主平面方位主应力以及主平面方位显然,

10、在面上0maxmin3)3)、 切应力切应力t a t a 的极值及所在截面的极值及所在截面,2cos2sin2xyyxxyyx22tan1最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置22minmax)2(xyyxxy xy 面内的最大切应力面内的最大切应力01dd令令)90;(011112tan2tan10)45(001由由111cos2sin222xyxyx maxmin面上的正应力:yxxy22tan0主平面的位置主平面的位置)90;(0000 xyyx22tan1最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置)90;(0111将将 与与 画在原单元体上。画在原单元体上。maxminmax,0

11、0145xyyxmaxminminmax0maxmin例：如下图单元体，求例：如下图单元体，求a 斜面的应力及主应力、主平面。斜面的应力及主应力、主平面。单位：MPa300405060解：解：1、求斜面的应力、求斜面的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3 .58)60sin()50()60cos(260402604000MPa)( 3 .18)60cos()50()60sin(2604000MPa30,50,60,40 xyx5040602 2、求主应力、主平面、求主应力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7 .60)(7 .80)

12、50()26040(2604022MPaMPa16040)50( 2005 .67)(7 .60, 0),(7 .80321MPaMPa主应力：主应力：主平面位置：主平面位置：31yxxx0 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，阐明低碳钢拉伸时发生屈服的主要缘由。低碳钢拉伸时，其上恣意一点都是单向应力形状。x xy 22cos2yx2sinxcos222xx 2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax 低碳钢试样拉伸至屈服时外表沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。低低 碳碳 钢钢 拉拉 伸伸 试试 验验 分析圆轴改动时最大切应力的作用面，阐明铸铁圆试样改动破坏

13、的主要缘由。 xy 22cos2yx2sinx2sin 2sin2yx2cosx2cos045min045max0450045minmax 铸铁圆试样改动实验时，正是沿着最大拉应力作用面即450螺旋面断开的。因此，可以以为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。铸铁铸铁 扭扭 转转 试试 验验 7 -4 7 -4 二向应力形状分析二向应力形状分析 图解法图解法xyoxyxyxyyxsin 2cos22xyxycos2sin222xyxyxycos2sin222xyxyxy(1)(2)对(1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用22sin 2cos 21消去 和 ，得sin2cos2xyyxyx22

14、22)2()2( xyyxyx2222)2()2( 222)(Ryax这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆)0 ,2(yx圆心：圆心：半径：半径：22)2(xyyxRxyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx应力圆：应力圆：2.应力圆是个信息源(从力学观念分析1假设知一个应力单元体两个相互垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体恣意斜截面 上的应力。2平面应力形状下恣意斜截面 上的应力相互制约在圆周上变化。a(sx ,txy)d(sy ,tyx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyADx 在s-t

15、坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应的点a和d 。 连ad 交 s 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面 上的正应力和切应力上的正应力和切应力a(sx ,txy)d(sy ,tyx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2转向对应转向对应半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。xxxxAD odacxyy45x245245beBE1对根本变形的

16、应力分析xyBExxxx45o45oBE45o45o 45 45方向面既有正应力又有方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。切应力却最大。可见：45o45o45o45o o a (0,t )d(0,-t )A ADbec24524511 33 BE33 11 BE主应力单元体主应力单元体BE BE4545o45o 2平面应力形状下求恣意截面上的应力点面相对应，首先找基准。转向要一样，夹角两倍整。 yyxxn),(E),(xx),(yyE23平面应力形状下主平面、主应力及主方向yyxxyyxx oc20adA AD主平面： = 0,与应力圆上和横

17、轴交点对应的面1A1B主平面确实定3平面应力形状下主平面、主应力及主方向主应力确实定xxxxyyyyA AD oc2oad1A1B1oA10cAc 2yxxyyx22)2( 1oB10cBc 2yxxyyx22)2(3平面应力形状下主平面、主应力及主方向主应力的排序 oc2qpad12 o13 o233平面应力形状下主平面、主应力及主方向主方向确实定xxy yxxyyyyx xA AD oc2 oad o o(sx ,txy)02tan2xyxy0tan22xyxyxg4面内最大切应力mxmx 224212xyyx o oc c2 2o oa ad d1A1BD例：求例：求 1图示单元体图示单

18、元体=300 斜截面上的应力斜截面上的应力 2主应力、主平面单位：主应力、主平面单位：MPa。60EFO.;003030EFOF2 2、量出所求的物理量、量出所求的物理量.2.; 0;1023211DCAOAOA解：解：1、按比例画此单元体对应的应力圆、按比例画此单元体对应的应力圆408060DC),(30301A2A02020 7-5 7-5 三向应力形状三向应力形状主单元体：六个平面都是主平面NoImage123 假设三个主应力知，求恣意斜截面上的应力:NoImage112233332NoImage1(1)求平行于3的方向面的应力 、 ,其上之应力与3 无关.于是由1 、2作出应力圆I12

19、3NoImage112233NoImage(2)求平行于2的方向面的应力、 ,其上之应力与2 无关.于是由1 、3作出应力圆II123NoImage112233NoImage(3)求平行于1的方向面的应力 、 ,其上之应力与1 无关.于是由2 、3作出应力圆III123NoImage123NoImage 这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。NoImage123 至于与三个主方向都不平行的恣意斜截面，弹性力学中已证明，其应力n和n可由图中阴影面内某点的坐标来表示。 在三向应力形状情况下：max1NoImage123 max 作用在与

20、2平行且与1和3的方向成45角的平面上，以1，3表示min3max132o 3 3 1 1 1).1).弹性实际证明，图弹性实际证明，图a a单元体内恣意截面上的应力都对单元体内恣意截面上的应力都对应着图应着图b b的应力圆上或阴影区内的一点。的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b2).2).整个单元体内的最大切应力为：整个单元体内的最大切应力为： max结论结论 max31132例7-5-1 ：求图示应力形状的主应力和最大剪应力。应力单位为MPa。NoImageMPa2 .422 .524022030220302231解：NoImageMPa502max.132472MPa7-5-2 求图

21、示应力形状的主应力和最大剪应力应力单位为MPa。NoImage123MPaMPaMPaMPa 50505025013max解：7-5-3 试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。(a)解: 1. 图a所示单元体上正应力z=20 MPa的作用面(z截面)上无切应力，因此该正应力为主应力。 2. 与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力z无关，故可画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。(a)从圆上得出两个主应力46 MPa和-26 MPa。这样就得到了包括z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为 146 MP

22、a， 220 MPa， 3-26 MPa。(b)(a)3. 根据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。2a034可知为a017且由x截面逆时针转动，如图c中所示。(c)(b) 4. 最大切应力max由应力圆上点B的纵座标知为 max36 MPa，作用在由1 作用面绕2 逆时针45 的面上(图c)。(c)(b)二、三向应力形状：二、三向应力形状：3121EEEmm112233121233+ + +一、单向应力形状：一、单向应力形状：EEEmm 7 -8 7 -8 广义胡克定律广义胡克定律广义虎克定律广义虎克定律1123223133121()1()1()EEEm m m )(1zyxxE m m

23、 Gxyxy 三、广义胡克定律的普通方式三、广义胡克定律的普通方式: :)(1xzyyE m m )(1yxzzE m m Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xzxy广义胡克定律的运用广义胡克定律的运用求平面应力形状下恣意方向求平面应力形状下恣意方向 的正应变：的正应变：901mE 9090 xy求出求出 , ,就可求得就可求得 方向的正应变方向的正应变 90,例例 槽形刚体内放置一边长为槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢块正方形钢块，试求钢块的三个主应力。的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, = 0.3。 yF?,

24、xyyxx,80 MPaAFyMPayx24m)(1zyxxEm. 0zxyz解：解：1) 1) 研讨对象：研讨对象：.?, 0zyx2)2)由广义虎克定律：由广义虎克定律：.10yxEm.80,24, 0321正方形钢块正方形钢块展开上式，并略去高阶微量：展开上式，并略去高阶微量：dx21dy四、体积应变四、体积应变,dxdydzdV ,)1)(1)(1 (321dxdydzdV3,)1 (321dVdV321dVdVdV),(21321mE体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系: :mEm)21 ( 3 )(1)(1)(1213313223211mmmEEEm3321-平均应力。平均应力。体积应变体积应变单位体积的体积改动单位体积的体积改动1233(1 2 )3(1 2 )()mEEmm3,)21 (3321mmEK体积虎克定律体积虎克定律: :2a2311aKm即体积应变与三个主应力之和有关,与主应力的大小比例无关.讨论:纯剪切平面应